1、分离变量法在导数中的应用例 1.已知函数 设 在区间 中至少有一个极值点，求13)(23xaxf )(f)3,2(的取值范围。a解法 1：（利用方程根的分布知识解决）因为 ，所以 。 在区间 中至少3)(2xxf 6)(2axxf )(f)3,2(有一个极值点，即 在 中至少有一个根，根据方程根的分布036)( af ,知识，有： 或者 ，解得： ，无解。0)3(2f0)3(212f 354a因此 的取值范围是 .a)5,4(观察导函数 的特点，可知它过 定点，且 的两根62axxf )3,0(0)(xf之积为 1，所以，当 的根一个过 点或 点时，两一个根分别为 ，0)( ),2( 31,2
2、显然不在 内。)3,2(思路 2：利用变量分离思想解决。若导函数在 内没有零点，则有以下两种情况：),(在 内恒成立即 在 内恒成036)2axxf ),2( )1(2xxa3,(立。易知当 时， ，所以，此时有 。),(35145x45在 内恒成立即 在 内恒成036)2axxf ),2( )1(2xxa3,(立。易知当 时， ，所以，此时有 。),(35145x35所以，当 在区间 中有极值点，即 或者xf),2( 06)(2axxf在 内恒成立时，有 或者 。036)(2axf 54从而，当 在区间 中至少有一个极值点时， 的取值范围是 。)(xf),( )35,(点评：这种解法中，把
3、分离出来以后，转化成了求 或者a 12xxa在 内恒成立的问题，也是学生熟悉的函数基本题型，遇上一)1(2xxa3,(种解法比较，显得更为简捷，有效率。思路 3：分离变量，建立函数，求给定范围内的函数的值域解：函数 在区间 中有极值点，等价于方程 在)(xf)3,( 036)(2axxf中至少有一个根，转化成函数 ，要求 的取值范围即是要求该),2( 21,(,3xa函数的值域即可，当 时， ，因此 的取值范围是 。(2,3)x25(,)4xa)35,4(例 2 已知函数 ，若方程 有解，求 m 的取值范围。()(0)ef()0f提高练习3.函数 ，过曲线 上的点 P 的切线方程为cbxaxf
4、23)( )(xfy)1(f，（.1y（1）若 在 时有极值，求 的表达式；)(f)(f（2）在（1）的条件下，求 在-3,1上的最大值；)(xfy（3）若函数 在区间-2,1上单调递增，求实数 b 的取值范围. )(xfy4. 已知 1x是函数 321()(1)5fxax的一个极值点（1）求函数 f的解析式；（2）若曲线 ()yx与直线 2yxm有三个交点，求实数 m的取值范围5. 已知函数 xaxfln1)()R（1）讨论函数 在定义域内的极值点的个数；（2）若函数 在 处取得极值，对 , 恒成立，)(f x),0(2(bxf求实数 的取值范围.b6.已知函数 （ 为自然对数的底数）xef)(（1）求 的最小值;x(2)设不等式 的解集为 P，且 ,求实数 的取值范围.af)( Px20|a7、已知函数 ，其中 xaxf ln)1( 2)(2Ra若 是 的极值点，求 的值；若 ， 恒成立，求 的取值范围0f分离也不是万能的例 3、设函数 ， （注：e 为自然对数的底数 ）axeaxfx)1()() R(1)当 时，求函数的单调区间；1a(2)(i)设 是 的导函数，证明：当 时，在 上恰有个 使得)(gf 2),0(0x0)(x(ii)求实数 a 的取值范围，使得对任意的 ，恒有 成立,x)(xf
