1、计算物理复习数值计算数值微分，数值积分，求根常微分方程(初值问题)偏微分方程(初边值问题，本征值问题 )线性方程组，矩阵运算,薛定谔方程矩阵解法计算机模拟Monte-Carlo 方法 （随机模拟）分子动力学方法 （确定性模拟）数值统计与分析最小二乘法插值法拉格朗日插值：数值微分：线性插值： 1001)(yxxy二次差值： 210)(yAyx)()(120201220xxAxN 次差值： niiiyAy0)()(ijji xx)(两点式（由拉格朗日线性插值公式可得） hyxy01)( 向前差分hyxfnn1)(向后差分中心差分yxfnn2)( 1三点公式（可由拉格朗日二次差值公式得出） 2101
2、20021)( yhyhxyhxxy 其中 h= x2-x1 =x1-x0hyxyff234)( 10221100求根方法（没说要考）2.2.1搜索法、Newton-Raphson、割弦法数值积分：1、矩形公式2、梯形公式（利用差值函数的积分代替原积分）其中，截断误差为（正比于 dx 的三次方）由二次插值公式二次微分： 210120021)( yhxyhxyhxy 21 1020)()()( hxffxfAdxfV)(1,2)(nixfSii fniini11)( xfxfxfVnii )(1211 111)( iiii yxyxy线 性 插 值 公 式 ： 1,2)()2)(11 niffd
3、yfSiixiiii (11 xxSVni iini)()“12(131 iiix xfdRii 11111111 )()()() iiiiiiiiiiiii yxxyxyxxy（由于此处的积分范围是 x(i-1)到 x(i+1)，故而每次运算时 i 的值需要加 2）常微分方程的数值解法一、一阶常微分方程的数值解1、 欧拉法向前差分代替微分，f (y,t)用前端点的值 f (yn,tn)代替将微分方程表示为该方法的局部截断误差为故总体截断误差2 改进的欧拉法（尽量不要用，n+1 个点需要现用欧拉法进行估计，精度与二阶Runge_Kutta 法相当）将微分方程表示为故改进后的欧拉法的总体截断误差
4、3、四阶 Runge_Kutta 法（具体应用可参考作业 lorenz-model）xydxyfSiiixiiii 431)(111 xyxyfiiixiiii )(1111 xfffffSV ni )()(4)(2)(4)331 0)(,ytfdt01)(),(yttfnn)(“21ytTnt0)(,ytfdt0 11)( ),(),(2t tyftfnnn2t)2(64311 kktyn),(./,),1342/232nntkyfktf总体截断误差二、二阶常微分方程的数值解将二阶微分方程变为一阶微分方程组一般情况：然后根据一阶常微分方程求解偏微分方程的数值解法（利用差分代替微分；注：初始条
5、件的给定很重要）例：一维热传导方程设定时间步长和空间步长后因此根据初始条件和边界条件，可以得到该方程的稳定条件为从而可以得出 T 时刻的温度分布，具体计算步骤如右图所示4t0)(),(,xytgdtxyf0)(,(0, ,),(),(212tgtlulxxTttutkiiki kiikiiutuhx,1, 2,1,2|空 间 步 长时 间 步 长:h2,1,1, ukikiiii MkgukguNihhki kikikiki ,10)(),(,21)(,1,0, ,12,21, ThlN,21, 2,0.4 )()(.3,2. kikNiugghNTl用 差 分 格 式 计 算计 算 边 界
6、值 ： 计 算 初 值 ：计 算给 定 ， 对于三种边界条件的处理（方法基本类似）第一类边界条件：第二类边界条件：第三类边界条件：二维扩散方程：最终可得方程随时间的演化方式：其中，方程的稳定条件为数值求解方程的本征值：打靶法（可能不考，参考作业求解薛定谔方程的本征值）线性方程组求解问题1、 直接求解a)高斯消元法（当 Akk=0 或者 Akk1 时，精度降低或者计算过程失败）b)主元素消元法（高斯消元法的改进）对调方程的次序或变量的排列，使得除数最大。 （看 2.4 例题）)(,(021tgtlu)(2,1,0kgukN)(,(,21tgxtlu)(2,1,0,1kghukNkk)(,(),(
7、,0, 2211tgtluxtlu)()(2,2,1, 1,0,0,1 kgukhuNNkkyxDt2,1,12, ,2,1, hyxt kjikjikjikji kjikjikjikji kjikjikji Mijhyxkt 2,10,空 间 步 长时 间 步 长:)2( ,1,1,1,1,1, hDkjikjikjikjikjikjikjikji kjikjikjikjikjikji h,1,1,12,21, )4( 42D稳 定 条 件 ：1、先猜一个试验本征值2、对微分方程作为初值问题求解3、检验所得解是否满足边界条件4、若满足，则该试验本征值为真实本征值，对应的解为本征函数，否则重复
8、1,2,3步2、 迭代解法a)简单迭代法（雅可比方法）对于方程取进行迭代，当相对误差小于预设值时，停止迭代。收敛性判定定理：若系数矩阵 A 不可约且具有对角优势，则简单迭代法必然收敛b)赛德尔迭代法在迭代中将已经得出的 xi 的值带入下一个值得计算中例：求解该方程组简单迭代（雅可比）公式：赛德尔迭代公式：蒙特卡洛方法：1、 任意分布的随机变量抽样首先在0,1区间上抽取均匀分布的随机数列，然后再在该伪随机数列中抽取一个简单子列，使子列的分布满足分布密度函数。13121.bxaxan22. nnn xx.321.,1,iacijjiii 0xnewioldia105231031x 245.130)
9、()(1)1(32)()(2)( kkkkkkx),0(.02)1(2)1()1(332 xxkkk B、连续分布的随机变量抽样a)直接抽样法（反函数法）b)舍取抽样法设随机变量在定义域a,b上的分布密度为 f(x)，且在该区间上 f(x)的最大值存在，即满足L=max f(x) xa,b故 f(x)/L 在定义域上的取值为0,1运用舍取法的步骤为1） 在0,1区间上选取均匀分布的随机数 sigma，构造 aplha=a+(b-a)*sigma 作为自变量2）在0,1区间上选取均匀分布的随机数 beta，若 beta=f(alpha)/L，则将 alpha 作为满足条件的一个抽样值，否则返回步
10、骤 1,重新抽取。2、蒙特卡罗积分1）掷点法：画出积分图形后可知矩形面积 S=(b-a)*f(m) 其中 f(m)=max f(x) xa,b在该矩形区域随机产生随机数N： M：最终可得badxfI)()(0mfybxai )(iify)(mfabNSdIba 2)重要性抽样积分（*）化为其中 g(x)称为偏倚分布函数故根据中心极限定理，可以得到其中 是以 g(x)为分布的随机数2、 随机游走（见课件及程序）3、Metropolis 方法（介绍，应该不考）badxfI)(badxgfI)(bafI)(*niiffEI1)(*)(*分子动力学模拟基本步骤：1、 初始化（给定粒子的初始位置及速度，
11、得到初始动能及其他条件）2、 求力（根据给定的势能公式或者相互作用条件求出粒子受力）3、 积分运动方程（根据每一个时刻的位置和速度条件算出下一时刻的位置和速度，其中需要分子间的作用力以及当下动能、下一时刻动能（速度标定因子）等多个条件）4、 抽样平均，得到所要求的物理量求积分运动方程的几种方式：（应该只需要掌握一种）1、 Verlet 法则2、 速度 verlet 法则3、 leap frog 法则 tvrmf trtrtvnnn nn2112 11 )()(热浴法（可能会考。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。ppt3.2 节）速度标定tmtftvtrr2)()()( 2)(1)0Tdt012Tt )()(tvtv最小二乘法（根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数）例：已知：为求半衰期常数 T，取 T 为参数，将 M 视为 T 的函数，对 T 求导，得带入数据即可求得 T 的值(函数 的情况下，可以取对数后再进行最小二乘法处理)mtkey)/*2lnexp(/0tN10 2/l)/i iitt 10 2,0ln)/exp(l)/exp(ln)(/2i iiii tTtTttN令
