1、王家林 编著1第 2 章 分析动力学基础2.1 基本概念2.1.1 约束对质点系各质点的位移和速度提供的限制，约束在数学上通过约束方程来表达。对于 n 个质点组成的系统，约束方程的一般形式为： mktrrfnk ,10),.,.(2121 或简写为： ktrfik,0),(式中， 、 分别为质点 的位置矢量和速度矢量，i i为时间， 为约束方程的个数。tm注：弹性支座不对位置和速度提供直接限制，不作为约束。约束方程的分类：（1） 几何约束和运动约束几何约束：约束方程中不显含速度项，如： 0),(trfik运动约束：约束方程中显含速度项，如： i下图中，如果圆轮与地面之间无滑动，则其约束方程为：
2、 0axc（2） 定常约束和非定常约束定常约束：约束方程中不显含时间 ，如：t0),(ikrf非定常约束：约束方程中显含时间 ，如： ti王家林 编著222lyx 22)(utlyx（3） 完整约束与非完整约束完整约束：几何约束以及可积分的运动约束非完整约束：不可积分的运动约束方程 可积分为 ，因此是完整约束。0axc 0axc（4） 单面约束与双面约束单面约束：约束方程为不等式，如： 0),(trfik双面约束：约束方程为等式，如： i下图中，如果考虑到绳子可以缩短，则其约束方程为： ，表现22lyx为不等式形式，就是一个单面约束。一般分析力学的研究对象为：完整的双面约束，方程为： 。0),
3、(trfik2.1.2 广义坐标与自由度广义坐标：描述系统位置状态的独立参数，称为系统的广义坐标。广义坐标的个数：（1） 空间质点系： mnN3（2） 平面质点系： 2王家林 编著3对于如图双连刚杆的平面两质点系统，约束方程为： 21212)()(lyx广义坐标个数为： ，具体地可选择为： ； ；N),(21x),(21y； ； 等。),(21yx),(21x),(21如果系统的位移状态 可以通过一组基函数 来线性组合，如：,txu)(xfi，由于各系数 相互独立，因此系数 也是一种广义iiftqtxu)(),( )(tqi tqi坐标。例：简支梁的挠度曲线可表示为 ， 为与基函数ilxitq
4、txysn)(),( )(tqi对应的广义坐标。lxisn根据广义坐标的概念，设系统的广义坐标个数为 ，当选定系统的广义坐N标 后，系统的位置状态可以由全部广义坐标来表示，也即有：),1(Nkq，),(),.2tqrtrkii ni,1自由度：某瞬时，系统独立运动的个数。自由度强调的是独立运动也即独立速度，广义坐标强调的是独立坐标（位移） 。对于完整系统，自由度与广义坐标的个数相同；对于非完整系统，由于存在非完整约束，对独立速度的限制多于对独立坐标的限制，因此自由度数比广义坐标个数少。2.1.3 力的功对于力 ，设在微小时间间隔 内力作用点的位移为ktZjtYitXF)()(dt，则该力做的功
5、称为元功：kdzjyixrd王家林 编著4dztXytdxtXrtFrdtW)()()(cos)()( 式中， 为 与 的夹角。tF经过一段路径 ，做的总功为：AB dztZytYdxtXrt )()()()(对于力偶 ，设在微小时间间隔 内物体在力偶作用下的转角为 ，则元功为：MddtW)(转过一定角度 ，做的总功为：12121)(t力、力偶在单位时间内做的功称为功率： rtFdtWdtp)()(Mt2.1.4 有势力与势能有势力：在作用点变化过程中，力做的功如果只与起止位置有关，而与中间路径无关，则这个力称为有势力，有势力所在的空间称为该有势力的势力场，如重力与重力场。势能：在势力场中，物
6、体从位置 运动到任选的位置 ，有势力),(zyxM),(00zyxM所作的功称为物体在位置 相对于位置 的势能，以 表示：0V0MZdzYyXxrdFV位置 的势能等于零，称为零势能位置（点、状态） 。0M势能 是位置 的函数，记为 。有势力分量与势能具有如下关系：),(zyx),(zyxV， ，XYzVZ证明如下：当 具有微小变化变为 时，势能的增量为：),(zyxM),( dydxM王家林 编著5 0000ZdzYyXxrFrdrFrVMM因此有：， ，xVyzV当弹性体变形后，恢复变形到原始状态的过程中，弹性力会做功，做的功等于变形状态改变释放的变形能，只与前后变形状态有关，因此具有势能
7、的性质。弹性体因变形而具有变性能为： dV zxyzxyzyx )(21 2.1.5 虚位移虚位移：某瞬时，约束所容许的任意微小位移。要点 1：“某瞬时”意味着虚位移不考虑时间的变化，也即是虚位移无时间过程。要点 2：“约束所容许”表示不破坏约束，满足约束条件。要点 3：“微小位移”指位移小到只考虑一阶变化。要点 4：“任意”指无需考虑真实的力、速度和时间等真实运动因素，可以人为地设定。要点 5：对于一个系统，由于存在内部的约束联系，各位置点的虚位移不具有完全的任意性。要点 6：根据定义，独立虚位移的个数等于系统的自由度数。概念辨析：可能位移：考虑时间，但不考虑运动的原因，约束所容许的位移称为
8、可能位移。真实位移：同时考虑时间和运动的原因，约束所容许的位移称为真实位移，真实位移是可能位移中的一种。可能位移和真实位移不具有“微小”性，因此可能位移不一定是虚位移。设系统的广义坐标为 ，系统的位置状态可以由全部广义坐标表示),1(Nkq为：王家林 编著6，),(),.,(21tqrtqrkiNi ni,1根据微积分的概念，任一质点 的位移增量有如下关系： dtrqdtrqdqrrd iNkkiiNiiii 121.略去上式中与时间有关的增量，将 变为虚位移 ，则可得到质点 的虚位移：kiNkkiiqr1上式建立了任一点虚位移与广义坐标虚位移的关系。由于各广义坐标是独立的，因此各广义坐标可以
9、独立发生虚位移。当只有一个广义坐标 有虚位移 时，质点 的虚位移为：kqkqikiir另外，根据约束方程也可建立虚位移之间的关系，方法如下：对于约束方程 ，有：0),(trfik 0)(11 ni ikikikniik zfyfxf例如： 22)(utlyx有： 0yx2.1.5 虚功与广义力虚功：力在虚位移上所做的功称为虚功。力系 中各力作用点的虚位移为：iFNkkiiqr1则总虚功为：王家林 编著7 NkkniiiNknikiiniNkiinii qrFqrFqrFrW1111 )()()()( 记： 为与 对应的广义力，则有：nikiikqQ1)(kNkk1广义力的计算方法：（1）记：
10、，得：kZjYiXFiii ni kikikinikiik qzZyqxqrQ11 )()(（2）单独使一个广义坐标 发生虚位移 ，此时的虚功为：kW因此有： kqQ（3）如果所有力均为有势力，根据：， ， iixVXiiyYiizVZ得： kni kikikii kikikinikiikqVqzVyxZqYXrFQ11 )()(例题 2-1：如图双摆，以 、 为广义坐标，对于重力 、 的广义12 gmP12力。解：方法 1： cosly王家林 编著8212coslly1sin2212silly 22112 211 sinsin)( )si(lPlPlyW因此有： 121i)(lQ2sn方法
11、2：首先只让 产生一个虚位移 ，两质点的虚位移为：1121lr虚功为： 11212sin)(siilPlrW因此广义力为： 121i)(lQ再只让 产生一个虚位移 ，两质点的虚位移为：201r2l虚功为： 22sinilPrW因此广义力为： 22ilQ方法 3： 11cosly王家林 编著9212coslly以 O 处为重力势能零点，系统的势能为： 22121coscs)( )(lPlPyV广义力为： 1211sin)(lVQ222ilP2.2 虚功（虚位移）原理2.2.1 理想约束虚功的计算公式为： NkkniiqQrFW11)(一个系统可能有很多力，但是有些力在虚位移上不做功。在计算虚功时
12、这些力就不必考虑，为计算带来极大的便利。如果不做功的力是约束反力，其约束称为理想约束，比如光滑表面提供的支持力、不可伸长绳子的拉力、光滑铰链的约束反力、刚体的内力等都不作功，都是理想约束。2.2.2 虚功（虚位移）原理虚功（虚位移）原理：物体系统保持平衡的必要和充分条件是：所有力在任意虚位移上所作的虚功之和为零，即： 0)(11NkkniiqQrFW虚功（虚位移）原理的意义：为获取系统的平衡条件、平衡（运动）方程提供了统一的具有普遍适用能力的方法。不管系统中物体的多少，不管物体是变形体还是刚体，不管物体是平衡还是运动（通过 Dalembert 原理转化为平衡） ，虚功（虚位移）原理均适用，均能
13、提供完备的方程组。例题 2-2：对于光滑的墙面和地面，分析使无重刚杆保持平衡的 、 之间的关系，杆长为 。1P2l解：王家林 编著10cos2lxin1y虚位移为： si2lxco1y虚功为： lPlPlyPxW)cossin(cossin121212 根据平衡条件 和虚位移 的任意性，可解得：0cossin12例题 2-3：对于图示双摆，在 处作用一个水平力 ，2m求平衡时两杆与铅垂方向的夹角。 11csly22ol1sinilx1y2212sisill1cocox22121 2211212 sincosin)(cs )cosc()i(i lPlPlllxyW 2. 根据平衡条件 和虚位移
14、、 的任意性，可得：0si)(cos121Pn2解得：，211Ptg21tg王家林 编著112.2.3 虚功（虚位移）原理的其它形式（一）以广义力表示的虚功原理用广义力表示的平衡方程：由虚功（虚位移）原理 ，考虑到广义坐标虚0)(11NkkniiqQrFW位移的独立性和任意性，可得 个独立的平衡方程：NkQ,10（二）保守系统的的虚功原理对于保守系统，由 可得系统的独立平衡方程为：kkqVQNkqV,10例题 2-4：半径为 的光滑球形槽内有一长 的无重刚杆，两端质量分别Rl2重 、 ，以杆中心到球心的连线与铅垂线的夹角 为1P2 广义坐标，求杆件的平衡位置。解：记 为 ，有：OAB，Rlco
15、sRl2sin根据几何关系可得： )si(yA sin2)sin(2llB 系统的势能为： sin2)sin()( i)(21 lPRPlyVBAcos)cos()(1221 l由 得：0V0cos2)cos()(21 lPRP王家林 编著120cos2sincos)(21 lPRPitg12221)(sin)(PlRlcltg2.3 DAlembert 原理由牛顿第二定律 有：amF0aF将 视为一个力： ，该力的大小等于质点的质量和加速度的乘I积，方向与加速度矢量的方向相反，称为惯性力。惯性力是一个假想的力，不是一个真实的力。通过惯性力 ，牛顿第二定律 可表达为：amFIamF0I上面式子
16、表明：作用于质点的真实力与假想的惯性力在数学上表现为平衡。因为物体系统由质点组成，如果每一个质点均加上假想的惯性力，则系统中每一个质点均在数学上表现为平衡，则系统也在数学上表现为平衡。DAlembert 原理：对于一个物体系统，真实力与每个质点的假想惯性力组成平衡力系。DAlembert 原理的意义：将动力学问题转化为静力平衡问题，于是动力学问题也可采用静力学问题的解决方法。因此 DAlembert 原理也称为“动静法” 。例题2-5：图示系统中刚杆AC的质量不记，用虚功方程列出运动方程。王家林 编著13解：用杆件 AC 的转角 （相对于 C 点顺时针方向为正）表示系统的位置状态，质点 的加速
17、度为 。此时对于 C 的力矩平衡方程为：ma202Ka4m2.4 Lagrange 方程将 DAlembert 原理和虚位移原理结合，有结论：真实力与惯性力在系统的任意虚位移上所做的虚功之和为零。即： 0)( 111 niiininiii rmrFrmFW 2.4.1 两个基本关系式的推导质点位置矢量可通过广义坐标表达为： ),.,(21tqrNi（1） kiiqrtrqqrddttdr iNiii iiiiii 2121上式表明：质点的速度 是广义速度 、广义位移 和时间 的函数：i kkqt),.,.(2121tqrNNi 对 求偏导数得：ikqrkii ,1王家林 编著14（2） kik
18、iqrdt)(对任意函数 ，有：),.,21tfNtfqfqfdt .21将 取为 ，有：fkirkiik iNiiik ikNikikik kikikikikiqrdt trqqr trqrqrqqdt )( . )()(.)()(.)(2122112.4.2 Lagrange 方程的推导（1） NkkniiqQrF1（2） Nkkniiikkiiini kNkiii kkiinii qramqramra1111 )()(kiki iikiikkiikii kiikii kiikiikii qTdt vmvqmdtrvrvdtdtqra)( )21()21()( ni T)(1王家林 编著1
19、5 Nk kkNknikiiniii qTdtqramra111 )()( 于是 转化为：011niiini rF)(11 Nk kkNk qTdtqQ0)(1k kkt由虚位移的任意性，可得： NqTdtQkkk ,1)(tkk,)(2.4.3 Lagrange 方程的几种形式（1） ，kkQqTdt)(N,1（2）对于保守系统，有： kkqVQkkkTdt)(0)(kkqVt)()(kkTdt0)()(kkqVt王家林 编著16,0)(kkqLdtN1其中， 为 Lagrange 函数。VT（3）部分有势力的 Lagrange 方程：，*)(kkQqLdtN,1或：，*)(kkkqVTdt
20、 ,1为非有势力对应的广义力。*Q例题 2-6：质量为 、半径为 的均质圆柱在半mr径为 的圆弧槽为做纯滚动，求其运动方程。R动能： 2 22)(43)(121rRmrRT势能（以 位置为势能零点）：0)cos1)(rgV代入 Lagrange 方程有： 0sin)()(232rRmr上述公式表明，圆柱在槽内的运动为非线性振动。在微幅振动情况下，有： 0)(23grR可求得固有频率为： )(3rw角度 的运动规律为：王家林 编著17wtBtAcossin其中， 、 由初始条件(位移、速度 )确定2.4.4 小变形线弹性体系的运动方程（1）动能的广义速度表达式根据广义坐标的概念，任意质点的位置可
21、表示为：，),(),.,(21tqrtqrkiNi ni,1其速度为： trqdtrvikkiii 1系统的动能为： niiiNkNkllk niiiNkkikiikl lniii iiini ikkiiNkl lkiiki niiiniNlliiiNkkiini Nllklikii ni illiikkiiniiii trmqbmtrmqtr ttrq trmqrttqmrm ttrvvT111 111 111111222 22 )( )()(2 式中， ，nilikikl qr1trqbikinik1由 的表达式可知： 。klmlklm在定常约束条件下， ， ，则有：)(,.(21kiNi
22、 rr0tiNkllkqT12矩阵形式为：王家林 编著18qMT21显然， 为对称矩阵。（2）小变形线弹性体系的势能对于小变形线弹性体系，势能可表达为： qKqkVNijji 2121且有： )(jiijK（3）运动方程的推导 NjjkNiikjjkiikNjjkNijjkiijjikjijjijNijjijkqmqqmqqT11111222 记： qMmqmqTNNNjjjj 11111 类似地有： NjjkkqV1qKVqN1带非有势力的 Lagrange 方程为：王家林 编著19，*)(kkkQqVTdt N,1向量形式为： *)(qTqdt 在小变形情况下，有 ，于是：0*)(QqVT
23、dt将 、 代入得：MkqKk*qK2.5 Hamilton 方程目的：应用变分法来建立结构体系的运动方程。动力学中广泛应用的变分法是Hamilton 原理。体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值，一般是极小王家林 编著20值。Hamilton 原理：在任意时间区段 内，体系的动能与势能差的变分加上非保守力),(21t所做的虚功等于 0。 0)(2121 tnct dtWVTNkkncqQ1其中：T 为体系的总动能；V 为体系的势能，包括应变能及任何保守力的势能。为非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的虚功。ncWHamilton 原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力
24、，分别用对动能和势能的变分代替，仅涉及能量的处理。在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。2.5.1 单自由度体系的运动方程对于单自由度体系，动能和势能可分别表示为： 21umTkV变分计算为： ukT)(非保守力所（外力和阻尼力）做的虚功(非保守力在虚位移上作的功) 为：ctpWnc)(将以上两式代入 Hamilton 原理，得： 0)(21 t dtutukm对上式中的第一项进行分部积分：王家林 编著21212121212121 )()(ttttttt udmtdtumdu于是有：21 0)(t tctpkuc2.5.2 多自由度体系的运动方程对于多自由度体系
25、，动能和势能可分别表示为： ),.,.(2121tqqTNN)tV动能的变分为： NkkNkqTqT11势能的变分为： NkkqV1非保守力所作的虚功为： NkkncQW1由 Hamilton 原理可得： 0)( 2121 11 tNkkt NkkNkNk dtqQdqVqT其中：王家林 编著22212121212121 )(|)(tktktktktktktk dtqTqdtTdqdq于是有： 0)( 2121 11 tNkkt NkkNkkNk dtqQdqVqdtqT 0)(21 tQttk kkk根据虚位移的任意性，有：，0)(kkkqVTdtqN,1，kkkQt)( ,记 为 Lagrange 函数，有：VTL，kkqdt)(N,1上式即为非保守系统的 Lagrange 方程。王家林 编著232.6 总结表 2.1 几种建立运动方程方法的特点方法 特点牛顿第二定律动量（矩）定理矢量方法，物理概念明确；对于复杂系统，难度大DAlembert 原理 矢量方法，物理概念明确，建立了动平衡概念；对于复杂系统，难度大虚功（虚位移）原理 代数方法，适应各种情况Lagrange 方程 代数方法，适应各种情况Hamilton 原理 代数方法，适应各种情况
