1、河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第七章 自旋与全同粒子17-3 正常塞曼效应碱金属原子在强磁场中每一条谱线分裂成三条谱线，这就是正常塞曼效应。碱金属原子由原子实和一个价电子组成，由于原子实内的电子概率分布不仅与 有关，n而且还与 有关，因此对碱金属原子其能量应与 和 有关。当外磁场很强时，可忽略电子l nl轨道与自旋之间的作用，这时外磁场与电子轨道磁矩和自旋磁矩的相互作用能为 BSeLBSeLBMUSL 22)( 取外磁场方向为 轴方向，则z zzeU则碱金属原子系统的哈密顿算符为 212 )( 210 HSeBLrHHzHz只与空间坐标有关， 只与自旋有关。12满足的本征方程为0 )
2、,(),() rErUnlmnlm的本征值为 ，本征函数为 。0HnlE,l我们知道， 与 有共同本征函数，有zL0H),(),(rrnlmnlmz所以， 的本征值为 ，本征函数为 。zeB2eB2,nl由此可知， 的本征值为 ，本征函数为 。1HEnl),(rnlm的本征方程为2 ssmmzeBSe其本征值为 。 （ ）smeB21s综上所述， 的本征值和本征函数分别为H (2)(1)snlmnl snl snleBeeBEEmEm河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第七章 自旋与全同粒子2ss mnlnlmr),(例如，钠原子 、 能级在外磁场中分裂如下图所示。s3p注意跃迁定则： 任
3、意， ， ， 。n1l,0m0s7-4 两个角动量的耦合前面已经分别讨论了只有轨道角动量或只有自旋角动量的情况。下面我们讨论既有轨道角动量又有自旋角动量的情况，二着之间的作用称为 耦合，为使问题更具有普遍LS性，我们讨论任意两个角动量的耦合问题（ 耦合等） 。,J两个角动量（磁矩）发生耦合，体系便出现附加能量，在此情况下，可以证明两个角动量合成的总角动量为守恒量。核壳层结构为强自旋轨道耦合，原子光谱的精细结构，复杂塞曼效应都必须由 耦合才能得到合理解释（ 的原子要考虑 耦合；LS40ZJ要考虑 耦合， 耦合能 库仑能） 。40Z一、两个角动量的相加（耦合）考虑由两个不同子体系构成的量子体系。设
4、两个子体系的角动量分别为 和 ，它们12满足11Ji22Ji且 （ ）2,0,0zyx,由于 和 属于不同子体系，所以相互对易，即1J2或 （ ）12,J,21J,定义：体系的总角动量 满足角动量的一般定义。这是因为JJi JiJiJ JJ )( )()( 212121 212112121 或者图中，a 、a /频率相同，b、b /频率相同，c 、c /频率相同河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第七章 自旋与全同粒子312121212,xyxyxyxyzzzJJJJiJi注意： 不是角动量。二、 、 、 、 、 、 的对易关系2z21z2z1 、 、 、 彼此对易JJ22112J12zz
5、J（1） 0,2z2222,0zxyzxzyzx zyxyyxyJJJJiiii（2） 221,0JJ2221111,JJ同理 。2,0（3） 0,221JJzz 0, 2121211 JJzzzz同理 。0,2z（4） 1J上式的对易是显然的。综上所示， 是彼此对易的，它们了组成第一套力学量完全集，其共同221(,)zJ本征矢 组成了正交归一完备基矢组。1jm2 彼此对易zzJ2,这一组算符的对易很明显。所以， 组成第二套力学量完全集，它们212(,)zzJ的共同本征矢 组成了正交归一完备基矢组。121jjm3耦合表象和无耦合表象以 的共同本征矢 为基矢的表象称为耦合表象；以2(,)zJ12
6、j的共同本征矢 为基矢的表象称为无耦合表象。它们的本征方1z 1j程分别为 22121122()()zJjmj jjJ河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第七章 自旋与全同粒子42 21121222()zzJjmj jjJ三、耦合表象与无耦合表象的关系1表象变换耦合表象的基矢可以用无耦合表象的基矢表示出来，即 1212121212112112jjmjjjjj jmjjj展开系数 称为矢量耦合系数或克来布希-高登系数（ClebschGorden）121jj系数，简称 C-G 系数。因为 ，所以 、 有共同本征矢，因此0, 12zzz JJzJ1122212()()jmjmjm即 的本征值为
7、，所以zJ)( 21则 21212212,mjjjjjj2量子数 和 、 的关系jj（1） 21max取值： ，最大值为 ；jj,jmax取值： ，最大值为 ；1 1取值： ，最大值为 。2 22, 2由 知， ，所以1axaxmax1jj（2） 21minjj对于给定的 ， 有 个取值，即 共有 个；同理给定 ， 有11jm12j2jm个取值，即 共有 个。所以，给定 和 ，无耦合表象基矢共有2j2j2j个，也即无耦合表象空间的维数是 。)(21j )(是各种可能的 的线性叠加，所以 和 给定后，相互独立的1 1j2的数目也应是 个。实际上，幺正变换不改变空间的维数。不过，2j )(2jj这
8、些 对应于不同的 和 。1jm另一方面，对应于一个 值， 有 个取值，即m1jjj,于是相互独立的 的数目也可以表述为12j河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第七章 自旋与全同粒子5 maxin )12()12(1jj jj而左边 是公差为 2 的等差数列之和，其项.12 maximinjj数为 11)2()1( minaxinmax jjj于是，有 2min212minaxinaxi inaxin )()1( )1()()()2( jjjj jjjjj 项 数末 项首 项所以 )()( 212in21 jjjj得 21minjj（3） 的取值j当给定 和 后， 的取值为12j 2121
9、21,.,jjj即 2121jjj每一步的改变为 1。河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第七章 自旋与全同粒子6小 结一、正常塞曼效应碱金属原子在强磁场中每一条谱线分裂成三条谱线，这就是正常塞曼效应。 )1(2)2(2 meBEmeBEemBEnlsnlsnlnlms ssnlnlr,二、两个角动量的耦合11Ji22Ji且 （ ）2,0,0zyx,12Ji三、耦合表象和无耦合表象以 的共同本征矢 为基矢的表象称为耦合表象；以,212Jz ,|21jmj的共同本征矢 为基矢的表象称为无耦合表象。1zJ|21jjjJz 212121 |)()(|212121212 |)(| mjjmjJzz 四、耦合表象与无耦合表象的关系1表象变换 1212 21212121212121 |jjmjjjj mjjjjjj 2量子数 和 、 的关系j12j21maxj21minjj河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第七章 自旋与全同粒子7212121,.,jjjj
