1、1第 2 章 长期增长 II：内生增长理论正如我们在第 1 章中所指出的，在索洛于 1956 年发表的经典文章之后，增长经济学经历了将近 20 年的繁荣，但却在上世纪 60 年代末沉寂下来。究其原因，大概可以说是索洛模型的中心结论是让人失望的：在缺乏连续技术进步的情况下，人均增长将最终停止。但是，从实践的角度来看，这并不是一个多世纪以来人们所观察到的经验事实。因此，增长经济学需要注入新的理论活力才能有后续的发展。自上世纪80年代中期以来，关于经济增长的研究进入了又一次的繁荣。在Romer(1986)发表20年后的今天，无论是经济增长的理论研究还是经验研究都显著地改善了其在整个经济学中的地位。现
2、在，经济增长既是整个宏观经济学领域的研究重点，也是现代宏观经济学教材中不可或缺的组成部分。这和60年代末到80年代中期的状况形成了鲜明的对比，那时候，经济学家们的研究兴趣主要集中于短期的经济波动，无论是在发表于各种学术期刊的文章中，还是在各种级别的经济学教材中，关于经济增长的内容扮演的都只是次要的角色。Romer(1986)和Lucas(1988) 是今天我们称之为内生增长理论或新增长理论这一领域的两篇经典文章，尽管他们强调的重点有所不同，分别是知识资本和人力资本。在他们的模型中，资本这一生产要素被赋予了新的解释，从而克服掉了资本边际报酬递减这一导致了索洛模型的中心结论的关键性假定，进而长期的
3、人均经济增长可以内生地实现。但是，这一类型的内生增长模型并不需要真正的内生技术进步，经济的长期正增长来源于知识在生产者之间的扩散或者人力资本所带来的外部效应或替代效应。众所周知，知识的一个重要特征是非竞争性。因此，要想实现知识的连续进步的话，就必须赋予知识的发明者一定的垄断权利作为激励，即其在知识的使用方面应当具有一定的排他性，这就要求研究增长的经济学家们突破传统的完全竞争框架来为知识或技术进步在生产中的作用建模，真正地将知识的这种特征引入增长理论的研究始于Romer(1987,1990) 以及Aghion and Howitt(1992)，这就是今天我们所说的内生技术进步模型。他们在各自的增
4、长模型中都不约而同地引入了不完全竞争框架，从而有垄断利润作为R&D活动的激励，这就为技术进步的内生化提供了一个合理的解释。此外，内生增长理论还包括试图将索洛模型中的另一外生变量人口增长率内生化的研究工作，其中关键的想法是将生育选择分析整合进增长理论的框架，或者构造一些涉及到迁移或劳动/闲暇选择的模型，这方面的开创性文献包括 Braun(1993)以及 Becker 和 Barro(1988,1989)等。第一节 生产性要素的非递减报酬2我们已经知道，索洛模型中的条件收敛性质或者正的长期人均增长依赖于连续的外生技术进步的性质都是源自资本的边际报酬递减的假定。构造内生增长理论的途径之一正是设法消除
5、掉这一可积累要素所经历的报酬递减的长期趋势。关于报酬递减或递增的讨论由来已久。例如，埃德蒙惠特克（Edmund Whittaker）在经济思想流派一书中写到（第177页） ， “.农业会随着生产规模的扩张而报酬递减，而工业制品则在报酬递增的条件下扩张，是十九世纪绝大部分时期英国正统经济学家的特色，既使在二十世纪也并未完全消失” ；在同一著作中，埃德蒙惠特克还写到（同上书，第179页） ， “李嘉图在他的论述中承认，农业和制造业都受到两种互相矛盾的力量的影响：（1）由于自然原料，尤其是食物费用的增加而出现的报酬递减趋势，以及（2）由于生产方法改良而出现的报酬递增趋势。 ”这就是说，报酬递减或递增
6、取决于我们如何去理解生产过程中所使用的基本要素。如果我们只是在传统的意义上去理解生产要素的话，则实物资本、劳动以及土地所经历的报酬递减可以说是合理的。但是，技术进步或知识这一类要素对于生产的贡献则很难说是报酬递减的。这是因为，知识并不同于一般的消费品，它的使用在一定的意义上是非竞争性的。例如，一张关于某个在建工厂的蓝图也可以同时用于其他10个工厂的建设，却并不带来设计成本的增加；又如，在现代增长经济学的学习中我们经常要用到的庞特里雅金（Pontryagin）最大值原理，一位研究者使用的同时并不防碍其他研究者的使用；再比如，微软公司设计发行的Windows 操作系统，众多计算机的同时使用并不会降
7、低这一软件本身的性能。考虑到知识的这一特殊性质，传统的规模报酬不变的生产函数就会遇到技术上的困难。因为由欧拉定理可知，竞争性要素投入所要求的回报将会把最终产品分配净尽，从而非竞争性要素投入将无法获得补偿。因此，如果要在生产函数中引入非竞争性的生产要素话，原有的规模报酬不变的性质就会被破坏，这就是最初的内生增长理论假定规模报酬递增的主要原因。接下来的问题是，具有非竞争性的知识是如何产生，又是由谁来提供的呢？一种简单的办法是将知识处理为公共物品，例如第1章中介绍的索洛模型以及本节要介绍的内生增长模型都是采取的这一办法。但是，这两类模型在关于知识的假定上又有重要的区别，索洛模型直接假定知识是外生给定
8、的，并同时具有公共物品的性质，而本节的模型则是通过假定资本的投资具有一定的正外部性，即知识是在投资的过程中逐渐获得的，并且一经获得就具有了公共物品的性质。另一种办法则是在保证知识使用的非竞争性的同时，赋予知识的使用以一定的排他性，从而知识的发明者可以通过他所享有的这种对于知识的垄断权而获得一定的垄断利润，以此作为对于知识的创造者的激励。这就意味着，如果要想将知识资本引入增长模型，就必须突破传统的完全竞争框架，这在一定程度上增加了理论的难度，这3是下一节中要介绍的内生技术进步模型的主要思想。Romer(1986)和Lucas(1988) 模型是内生增长理论的开端标志。Romer(1986) 模型
9、秉承的是Young(1928)中的报酬递增和Arrow(1962)中的将知识处理为公共物品的思想，通过假设知识的创造是投资的一个副产品来消除掉报酬递减的趋势。因此，这一模型仍然容许完全竞争的框架，并没有真正地刻画出知识本身的特征，而只是通过经济的外部性来间接地捕捉知识资本的效应，当然其最终的结果将不再是帕累托最优的。Lucas(1988)模型也是将知识处理为公共物品，但是和Romer(1986)模型不同的是，卢卡斯模型秉承的是Uzawa（1965）中的思想，强调的是人力资本，并且假定人力资本的积累具有外部性。下面我们将要具体讨论这两种类型的增长模型，而在此之前，首先介绍一个最简单的内生增长模型
10、AK 模型。一、 最简单的内生增长模型：AK 模型在所有试图消除资本报酬递减趋势的内生增长模型中，AK 模型是最早的也是最简单的一个。在索洛模型中，假定生产函数具有如下的AK 形式：AKY其中 是大于零的常数，这意味着资本的报酬并不随着自身的积累而递减，而是保持为一个恒定的水平 。我们继续沿用索洛模型中关于各种参数的假定，于是，人均资本存量的增长率为：nsAk由于 以及 ，从而此模型中的所有人均变量 、yysc1 y、 都以速度 增长。若 ，则 ，从而经济的长kcknA0k期人均正增长得以实现，并且更重要的是，这一正增长率是依赖于模型中的各种行为参数的，这将为各种经济政策的使用提供一个理论基础
11、。AK模型的一个重要缺陷是缺乏收敛的性质，即在AK模型中，增长率不依赖于模型的状态变量 ，具有不同初始水平的经济都将以相同的速度k增长，这是和大量关于经济增长的经验研究的文献所支持的条件收敛结论相悖的。为得到具有转移动态的内生增长模型，Jones and Manuelli(1990)提出了如下修正形式的AK型生产函数：1LBKAY这是一个AK型生产函数和一个新古典型生产函数的组合。在这样的生产函数假定下，资本的报酬率在渐近的意义上是非递减的，从而此模型可以在实现内生增长的同时又预测出条收敛的性质。4客观地说，AK模型及其变种（有时亦将这一类模型称为凸性增长模型）通过假定的方式来消除掉资本的报酬
12、递减趋势的这一方式过于简单，至今为止，对此种假定的唯一流行的解释是： 表示的是广义的资本概念，从K而可以避免积累过程中的长期递减趋势。但是，无论是从经验研究的角度来看，还是从理论建模的观点出发，这种假定都失于简单。我们不妨自问一下，AK模型中的这种报酬非减的资本概念到底应该和现实生产过程中的哪些具体资本形式联系在一起呢？或者说，我们到底应该组合现实生产中多少形式的资本后才能认为这种复合资本的报酬率是非减的呢？这在经验上是一个难以回答的问题。另一方面，从理论上讲，如果我们已经将增长模型中的唯一可积累要素的报酬假设为非递减的，那么此模型最终表现出稳态的内生增长就不应该是太让人惊讶的结论，毕竟我们一
13、般来说是以模型的假设前提与最终结论之间的距离远近来评价一个模型的理论价值大小的。二、 边干边学（Learning by Doing）模型AK模型中产生内生增长的关键在于不存在可积累要素的递减报酬。在八十年代重新激活了增长理论领域的经典文章中，Romer(1986) 借用了Arrow(1962)的框架，通过假设知识的创造是投资的一个副产品来消除掉报酬递减的趋势。也就是说，一个增加了其物资资本的企业同时也学会了如何更有效地生产。经验对于生产率的这一正向影响被称为边干边学或干中学。在j介绍Romer(1986)中的模型之前，我们利用一种简单的方式来阐明边干边学的思想。 1假定代表性企业 的生产函数为
14、：iiiiLKFY,其中 、 、 分别表示企业的产出、资本投入、劳动投入。 表示经iii K济的总资本存量： 。注意，这里的新古典生产函数 和我们在i F前两章讨论过的新古典生产函数的一个重要区别在于，之前的生产函数中代表技术水平的参数现在由经济的总资本存量来表示。这就意味着，在每一个厂商增加自己的资本投入的同时，也增加了自己的生产效率。但是，我们要假定，对于单个企业来说，它是意识不到投资的这种正外部经济的，在其进行决策时，唯一关注的仍是要素投入的私人边际产品。当然，这里的另外一个隐含假定是，每个企业的知识都是公共品，任何其他企业都可1 Barro and Sala-i-Martin (199
15、5) Economic Growth, McGrawhill.5以无成本地获得。因此，知识一经发现，就立刻外溢到整个经济范围内。 2 企业的利润最大化问题是：iiiii wLKrLF,max其中 表示企业的利润， 和 分别表示资本的利息率和折旧率， 表示i w工资率。上述问题的一阶条件是：，rKYii/ wLYii/从人均资本存量的角度来看，我们可将上述条件改写为：rkfyiii,/1KkfLYiiiii ,1其中 表示资本的私人边际产品，这里并未考虑 通过经济的总资Kkfi,1 ik本存量 （即生产率参数）对于产出所作出的正向贡献。由于经济中的所有企业都是对称的，从而在经济均衡时每个企业都将
16、选择相同的资本投入，这意味着代表性企业的人均资本存量 等于整个经ik济的人均资本存量 。于是，资本的平均产品为：kLfkKff iii /,1/, 而资本的私人边际产品为：fLfkfi ,1需要注意的是，这里我们所得到的资本的平均产品和边际产品的表达式都不依赖于资本存量本身，换句话说，在前一章中所遇到的资本的报酬随着资本存量的增加而递减的趋势不存在了。如果我们假定经济的总人口是不变的，则资本的平均产品和边际产品就都是不变的量，这和我们在上一节中介绍的AK模型是一致的。在这样的生产函数的假定之下，如果我们继续沿用上一章中介绍拉姆齐模型时的记号，易知人均消费增长率的表达式为：2 在最初的讨论边干边
17、学的模型中，这种关于知识外溢效应的假定是不可或缺的。6 Lffcuc 与AK模型一样，上述增长率是不变的。在一定的参数假定之下，我们可以得到正的人均增长率。 31986年，保罗罗默在著名的“政治经济学杂志”上发表的文章“递增报酬与长期增长”重新激活了关于增长经济学的研究。在这篇文章中，罗默假定知识是一种具有递增边际产品的资本品，并且当其他的投入要素给定时，消费品的生产是知识存量的函数。确切地说，如果某一企业牺牲数量的当前消费而投入于研究部门，并且该企业的当前知识资本存量为I的话，则该企业的知识资本的积累规律为：kkIG,函数 被假定为是一次齐次且凹的。因此，kIgk/其中 。进一步假定函数 是
18、上有界的，并且 。1,/GIg0g消费品的生产函数假定为：XKkFy,其中 表示代表性厂商所特有的知识资本， 表示总的知识资本存量，tk而 表示除去知识资本之外的物资资本、劳动等生产要素。关于函数 的X F假定主要有两个：一、对于 的任意给定值， 关于 和 是凹且一次齐FX次的；二、对于 的任意给定值，如果 （这里 表示经济中企业NK的数目）的话，则 关于 是凸的。第一个假定捕捉的是私人知识资本的Fk竞争性特征，第二个假定强调的是从整个社会的角度来看，知识的边际生产力是递增的，即生产函数 表现出规模报酬递增的性质。这一特征同时也是Romer(1986)中的生产函数和Arrow(1962) 中的
19、生产函数的不同之处。为简单起见，假定只有知识资本存量是可以增加的，而以 表示的其X他生产要素的供给则是固定不变的，于是可以将生产函数简记为 。Kkf,在上述这些假定条件下，罗默构造出下述形式的无限期界增长模型：3 比如，我们可取 CIES 的效用函数，并假定：/1LfLff7dtetcu0max.tstktcKfgtk,给定0需要注意的是，上述模型忽略掉了人口增长、折旧以及其他的生产要素，而只专注于由递增报酬导致的长期增长。利用库恩-塔克定理，罗默证明了在一定条件下，上述优化问题存在一个具有外部性的竞争均衡，在这样的均衡状态下，人均消费和人均知识资存量可以无限地增长。特别地，由于罗默构造的是一
20、个单部门的增长模型，并且模型中只有一个状态变量和一个控制变量，因而可以利用标准的二元微分系统的相图分析来得到经济从初始状态向稳态过渡的直观表示。在Romer (1986)中，他首先选取了Cobb-Douglas形式的生产函数，然后针对两种特殊的效用函数分析了经济的转移动态行为。 4三、 人力资本模型在模型中引入人力资本是产生内生经济增长的另一条途径。但是，人力资本概念引致的内生增长机制与上一小节中介绍的边干边学思想不尽相同。从本质上来说，人力资本概念更像是我们将在下一节中介绍的技术进步的一种替代。为更好地阐述具有人力资本的增长理论，我们首先介绍一个单部门的人力资本模型，然后再简要介绍卢卡斯在1
21、988年发表的著名模型。假定生产函数是Cobb-Douglas 型的：，1HAKY0其中 表示生产中的人力资本投入。经济的产出有三种用途：消费 、物C资资本的投资 ，以及人力资本的投资 。于是，经济所面临的资源约IHI束为：KICHAY1我们假定物资资本和人力资本以相同的速度 折旧。于是，这两0种资本的积累规律为：4 具体内容可参阅 Romer(1986)。8，KIHI假定家庭具有通常的跨期可分形式的效用函数，在中央集权经济制度的规定下，最优化问题的Hamilton函数为：HKHKt ICAwIIecuL 1利用最大值原理，我们得到优化问题的一阶必要条件：LIIICHKK/,/ 0/,/,0/
22、这些必要条件再加上对应于不同边界条件的横截性条件，我们就可以确定出最优的消费路径、物资资本积累路径和人力资本积累路径。同时，我们也可以利用这些必要条件计算出模型的稳态增长率。为了得到具体形式的解，我们取效用函数为CIES的形式：，1/1Cu0则由上述一阶条件可得：1/HKA K/1于是/因此，1Ar这意味着物质资本和人力资本的净报酬率在 保持不变时是一个常HK/数，也就是说当 和 以相同的速度增长时，递减报酬不再使用。于是，KH我们得到了稳态的增长率：11A在上述表达式中，如果各种参数选择适当，就可以得到一个正的增长率。关于原始的Lucas(1988) 模型，我们可简单介绍如下：9dtNtce
23、t01maxs.t. thuAKtNa1tGh1其中 ，即生产函数呈现出报酬递增的性质，而且人力资本通过教育0部门的生产是密集于人力资本的。利用最大值原理，卢卡斯得出了此模型丰富的动态特征，并证明了在一定条件下可得到内生增长。 5其中的关键性结论是，物质资本和人力资本之间的不平衡对于增长率的影响是不对称的：如果人力资本相对丰富，则产出和消费的增长率会随着人力和物质资本之间的不平衡程度的加大而上升；如果人力资本相对稀缺，则它们就会随着不平衡程度的加大而下降。这一结论和具有物质和人力资本的单部门内生增长模型的结论是不同的，在那里，物质和人力资本的不平衡对于增长率的影响是对称的。产生上述性质的原因是
24、关于人力资本生产技术的特殊假定，即人力资本的生产是密集于人力资本的。例如，当人力资本相对稀缺时，则在物资资本的生产过程中，人力资本的边际产品就要相对地高，因而可以预期经济增长的发生主要是由于人力资本的高增长率；但是，宇泽- 卢卡斯模型中的人力资本相对稀缺也意味着一个较高的工资率水平，这就使得人力资本生产部门的经营成本较高，这一较高的成本刺激人们把人力资本更多投入于物资资本的生产，而不是原本就相对稀缺的人力资本的生产，这种效应最终会延缓经济的增长率。需要指出的是，Romer(1986)模型和 Lucas(1988)模型产生内生增长的机制是不一样的。在罗默模型中，由于知识的积累存在外溢效应，这使得
25、知识资本的平均产品不再递减，从而克服了资本的报酬递减趋势，长期的人均正增长得以实现；而宇泽- 卢卡斯模型是一般的具有人力资本的内生增长模型的一种特殊形式，一般来说，在具有人力资本的模型中产生内生增长的主要原因是，资本的报酬率依赖于物资资本存量和人力资本存量的比例，而当这两种资本以相同的速度增长时，递减报酬就不再适用，从而稳态的正增长得以实现。在宇泽- 卢卡斯模型中，物资资本和人力资本由不同的技术所生产，并且人力资本的生产是密集于人力资本的，对于生产结构的这一修正会使得此模型表现出比一般的人力资本模型更丰富的动态特征，具体来说，物资资本和人力资本的不平衡在宇泽- 卢卡斯模型中对于增长率的影响是不
26、对称的。5 模型的具体推导可参阅 Lucas(1988).10第二节 内生技术进步我们已经看到，既使在缺乏技术进步的情况下，只要能够消除掉模型中的资本报酬递减趋势，就可以得到内生的正增长。因此，上一节中的内生增长是由外部经济或物质资本存量和人力资本存量之间比例的变化产生的，并不需要真正地将技术进步引入增长模型，尽管这些模型也常常被称为是实现了技术进步的内生化。真正地将内生技术进步引入增长模型的奠基性工作是Romer(1987,1990)，Aghion and Howitt(1992)以及Grossman and Helpman(1991)，在他们的模型中，技术进步是有目的的科学研究活动的结果，
27、并且由于赋予了知识这种物品既不同于普通物品也不同于公共物品的特殊特征，其报酬将不符合完全竞争经济中作为价格接受者的厂商的行为假定，而是具有了一定的垄断权力，由此获得的垄断利润可以作为对科研活动的激励。Romer(1990)主要讨论的是产品种类的增加对于增长的影响。在他的模型中，新产品的开发类似于基础创新的活动，其中所需的知识是一类特殊的物品，既不同于普通的物品，也不同于公共物品。一般来说，普通物品是竞争性的 （Rivalry ） ，并且也是排他性的（Excludability） ；公共物品一般是非竞争性的，并且也是非排他性的。而Romer(1990) 认为，对于经济增长最有意义的情形，也是最能
28、体现技术进步特征的知识物品却一般是非竞争性，并同时具有一定排他性的。如果我们将罗默模型所描述的产品种类增加型的技术进步称为水平方向的创新（Horizontal Innovation）的话，则Aghion-Howitt模型所定义的技术进步类型则可称为垂直方向的创新(Vertical Innovation)，这种类型的技术进步描述的不是新产品的开发，而是已有产品的质量的不断改进。基于熊彼特提出的“破坏性创新”的思想，Aghion and Howitt(1992)构造了一个内生增长模型，其中的增长源泉正是垂直方向的创新，而这种创新是由竞争性的研究部门提供的。在任一时期当中，研究活动的数量取决于下一时
29、期当中研究活动的期望数量，这是因为下一次创新会导致当前垄断利润的完全丧失，而下一次创新的成功概率的大小取决于研究活动的多少，因此，期望的将来的研究活动越多，从事当前的研究活动的积极性就越低。在 Aghion-Howitt 模型中，经济的产出取决于整个经济范围内研究活动的数量，具体的说，GNP 服从一具有漂移项的随机游走。而作为一随机变量的增长率本身，其均值和方差都是关于创新规模、技术型劳动的规模以及研究活动的生产率的递增函数；都是关于代表性个体的时间偏好率的递减函数。一、 产品种类增加型的技术进步11（1） 一个简单形式 6假定人口的数量 L 固定，每一个体都是无限生存的，并且拥有一单位的可用
30、于制造业的劳动。为简单起见，我们假定没有对于闲暇的需求，从而每一个人都无弹性地提供她所拥有的一单位劳动（无论工资率如何） 。个体每一期的效用只依赖于消费，效用函数取等弹性的形式：1/1cu个体使用不变的时间偏好率 来贴现效用。正如我们在第 1 章中看到的，这意味着稳态的增长率和利息率遵循如下欧拉方程：rg最终产品的生产环境是完全竞争的，使用劳动以及一系列指标为的中间品投入，其中 Mt 是产品种类的度量。在每一时刻 t，最终i0,产品的生产函数为：tMit dxLY01其中 表示产出，x i 表示中间品 i 投入的数量。劳动投入始终是不变的数t量 L。系数 位于 0 和 1 之间。每一种中间产品
31、都需要最终产品作为投入且一比一地生产出来。也就是说，生产一单位的中间产品 i 需要一单位的最终产品作为投入。产品的种类数可以提高经济整体的生产率。为了说明这一机制，记用于中间品生产的最终产品的数量为 Xt。按照前面提到的一比一的技术，X t必定等于所有的中间品数量： tMitdxX0现在假定每一种中间品都生产相同的数量 x（稍后将看到，在均衡时确实如此） ，则 x=Xt/Mt。将这一表达式代入生产函数可得： ttMttt XLiLY101/在给定 L 和 Xt 的条件下，上式关于 Mt 是递增的：0/tttt Y6 本节内容主要参考 Aghion and Howitt (2009) . Eco
32、nomics of Growth. MIT Press.12最终产品可用于消费和投资（生产各种设计） 。除此之外，其唯一的用途就是生产中间品。因此，经济的国内生产总值（GDP）就是最终产品Yt 减去其用于生产中间品的数量： ttXGDP每一种中间产品都由其发明者垄断地进行生产。在每一期中，此垄断者最大化以最终产品度量的如下利润流：iiixp其中 pi 是以最终产品为单位的价格。也就是说，在给定一比一技术的条件下，垄断者的收益就是价格乘以数量，而成本就等于产出。在完全竞争的经济中，一单位投入的价格等于其边际产品的价值，于是我们有：1/iiti xLYp因此，垄断者的利润依赖于其产出：iii1垄断
33、者选择 xi 来最大化上述表达式，其一阶条件为：01/12iii xL由此得到，每一部门 i 的均衡数量都是一样的：12x进而每一部门的均衡利润流也是一样的：12L将 Xt=Mtx 代入生产函数，然后再由 GDP 的定义式可知，最终产品的产出以及经济的 GDP 都是和产品种类数成比例的：xLMGDPYtt 1于是，GDP 的增长率和如下产品种类数的增长率也是成比例的：dtg产品种类数的增长率依赖于投入到科研中的最终产品数量。也就是说，13科研活动的每一时刻的产出就是新设计的数量，而每一个新的设计都可以开发出一种新产品。因此，我们有：ttRdM/其中 是表示研究部门生产率的一个（正的）参数。假定
34、经济的研究部门是完全竞争的，允许自由进入，则研究部门的利润流必定等于零。对于发明者而言，每一新设计的价值为 ，即利润流/在市场利率为 r 时的贴现值。于是，从事科研的利润流为：ttR/即收益流（产出 R t 乘以价格 ）减去成本。为使得这一利润流为零，/利率必须满足如下的“科研套利”方程： r也就是说，利率必须等于企业家每一单位的科研投入所获得的利润流。将科研套利方程代入增长率的表达式，我们得到： g用表达式（3.7）替换上式中的 ，我们就可将均衡增长率表示成模型的基本参数的函数： 12Lg由此可知，经济增长率随着参数 表示的科研生产率的增加而增加，随着劳动供给 L 表示的经济规模的增加而增加
35、，随着时间偏好率 的增加而下降。g 关于 L 递增的这一预测曾经被认为是上述模型的优点，它表明，规模越大的国家或自由贸易区，增长得越快。但是， C. Jones(1995b)指出，这一预测是不符合事实的，因为自 1950 年以来，美国的研究人员数量显著地增加了，而这一时期的增长率却保持在 2%左右。（2） Romer(1990)的模型*假定经济中具有四种基本的要素投入：物资资本、劳动、人力资本和表示当前技术水平的一种指标（我们可称之为技术方案集） ；经济由三个部门组成：研究部门、中间产品的生产部门和最终产品的生产部门。研究部门利用人力资本以及现有的知识水平来生产（发明）出新的知识（技术方案）
36、；中间产品的生产部门利用研究部门发明的技术方案以及最终的产出作14为投入，以生产出更多的中间物品；最终产品的生产部门则利用劳动、人力资本以及相应的中间物品来生产出最终的产品。假定最终的产品既可以消费掉，也可以作为资本来积累。首先，罗默假定Cobb-Douglas 型的生产函数：AYY diixLHx01, 其中 L,分别表示生产过程中所需的人力资本，劳动以及资本品（中间产品） ； A是可以使用的中间产品的种类，用来表示当前的技术水平。注意，这里关于资本品的假定和我们前面使用过的略有不同。如果我们使用总资本 K来表示资本投入的话，则意味着所有不同类型的资本品之间是完全替代的；而上述关于资本投入的
37、加性可分形式则意味着某一资本品的边际产品是独立于其他资本品的使用量的，因而一种新型资本品的引入既不是对旧品种的直接替代，也不是直接互补。由生产函数关于要素投入的一次齐次性可知，我们仍然可以在完全竞争的框架内来讨论最终产品的生产者的行为，也就是说，我们仍然可以将整个最终产品的生产行业想象为一个代表性的作为价格接受者的厂商。这一特点是和中间产品的生产厂商的行为很不一样的，由于不同的中间产品是由不同的厂商来承担的，因此不存在一个可以代表整个行业的中间产品的生产者。对于拥有了新的中间产品的设计方案的企业来说，假定需要投入 单位的最终产品才能生产出一个单位的中间产品；而对于设计方案的发明者来说，假定其拥
38、有对发明的永久专利。因此，当设计方案的发明者同时也是相应的中间产品的生产者的话（对于发明者和生产者之间的关系也存在一些其他的制度安排，但是不影响此模型的均衡的存在性） ，则对于已经投入了发明成本的发明者来说，它所获得的补偿就是租售中间产品所获得的净收益流的贴现值。按照通常的单部门模型以及国民收入核算的传统，总资本 K的积累满足：tCYtK其中 表示总消费。我们已经假定为获得一单位任何类型的中间产品，必须放弃 单位的当前消费，从而Axdiix01其中 x表示某一公共使用水平，这是因为每一中间产品都是对称进入生产过程的，从而对于每一中间产品的可获得量来说，应该是相等的。15于是，生产函数可改写成：
39、11, KLHAxLHYY此外，假定知识的积累（技术进步）具有如下形式：A其中 。上式表明，人力资本的投入 A越高，则研究与发展活动的0成功机会也就越大，并且这里的假定和宇泽-卢卡斯模型中假定类似，即知识的生产是人力资本密集的；同时，由于知识的非竞争性，每一个研究者都可以利用当前的知识水平，从而当前的知识水平 越高，技术进步的成功率也就越大。需要指出的是，至此模型所刻画的知识类型恰好符合了前面所要求的部分排他性，即知识在研究部门当中是一种公共品，而在中间产品的生产部门当中则是一种垄断品。最后，假定人力资本的供给 是固定的，满足：HYAH下面我们考虑中间产品的生产者的垄断定价行为。对于最终产品的
40、生产者来说，其面临的优化问题如下：dixpixLYx01ma其中 表示中间产品 的价格。由此可得如下的逆需求函数：ipixHY1这就是中间产品的垄断供给厂商所必须面临的市场需求。在这样的需求函数下，中间产品的供给者面临的优化问题是：xrpxma= xrLY11这里 表示的是利息率。由此可得中间产品的垄断价格：r/p相应的垄断利润流为：16xp其中 满足：xLHY1假定新设计方案的价格为 ，则由中间产品的垄断竞争市场的自由Ap进入条件可知：t Adsret如果 是常数的话，则有：Aptdsrertt 0于是，Apt上式表明，中间产品的垄断厂商的超额利润将正好弥补发明成本的利息损失。利用 A的表达
41、式： rxLHrxprp Y/1/ 1 以及人力资本应该在研究部门和最终产品的生产部门当中获得相同的工资率这一性质，即下式：1xALHwYAH我们得到：rY1考虑到 ， ，以及xALxKYC/我们得到：17rHAKYCg 1/如果在此模型中加入代表性消费者的优化行为：dte01max则对于给定的利率水平 ，我们也可得到人均消费的增长率为：r/c最后我们得到市场均衡的增长率表达式：1/Hg其中 。1/可以说，罗默模型的重要结论基本上都包含在增长率的表达式中。具体说来有以下几点：1）利息率越高，则增长率越低，这是因为较高的利息率会导致作为研究部门的补偿的净收益的贴现值降低；2）人力资本具有加速增长
42、的规模效应；3）如果初始的人力资本太低的话，有可能导致增长行为从未发生；4）更低的 和 的值，即更大的储蓄意愿，导致更快的增长；5）研究部门的效率越高（ 的值越大） ，则增长越快。二、 产品质量改进型的技术进步（1） 一个简单形式 7假设时间是离散的，在每一个时间点上的个体数量为 ，并且每一个L个体都无弹性地供给一个单位的技术型劳动。假定每一个体只生存一个时期，因此，个体的目标是最大化其在期末的消费。在每一时期中，一个单位的最终产品由如下的科布-道格拉斯技术生产出来：Axy7 本节内容参考 Aghion and Durlauf(2006), Handbook of economic growt
43、h. Elsevier Noeth-Holland.18其中 表示中间产品的投入数量， 是生产率参数，表明中间产品的当前xA质量。中间产品的生产完全依赖于劳动，一个单位的劳动投入就可以生产出一个单位的中间产品。因此， 同时也表示了当前用于制造业的劳动数x量。当然，除此之外，劳动也可以用于技术创新。每一次的技术创新都将中间产品的质量由 提高到 ，这里 表A1示创新的规模。创新的成功来源于研究的投入，我们假定，如果用于研究与开发的劳动投入为 单位，则创新成功的概率为 。zz作为给与创新者的补偿，他将享有生产中间产品的垄断权力，但是这里的垄断权力并不排除其他的生产者可以 单位的劳动生产出一单位1同样
44、的中间产品。因此，如果 ，则这样的潜在竞争者的存在对于/创新者是有约束力的，这也意味着创新者能够确定的最高价位为 。此tw时，创新者的利润为：ttxw1这里的 表示工资。对于这一垄断租金，我们假定只能够存在一个时期，tx在那之后，其他的模仿者就可以同样生产出这一质量的中间产品。下面我们给出模型的两个关键的方程：1 劳动力市场出清方程： ，其中 和 分别表示用于制ttnxLtxtn造业和研究部门的劳动投入数量。2 科研市场的套利方程： 。这一方程表明，在任一时刻，ttw均衡的科研投入数量必定使得一单位科研型劳动的边际收益等于边际成本。如果我们关心的是增长的稳态情形，则可以暂时忽略上述方程中的时间
45、下标，利用上述两个方程以及垄断利润的表达式可得：nL1这意味着用于研究与开发的劳动投入的稳态数量为：)(n19于是，在稳态中，生产率的期望增长率的均衡值为：1ng这是一个依赖于各种经济参数的增长率的表达式，我们可以进一步分析各种经济参数对于增长率的影响。但是，重要的是，这里通过一种最简单的引入质量阶梯的方式得到了一个可能为正的增长率的表达式，这正是内生增长理论的重要特征。（2） Aghion and Howitt(1992)的模型*假定经济中存在三种可交易的物品：劳动、消费品和中间产品；其次，劳动投入可分为三种类型：只能用于生产消费品的原始劳动(Unskilled Labor)、既可用于生产中
46、间产品，也可用来从事研究活动的技术型劳动(Skilled Labor)、以及只能用来从事研究活动的专门化劳动(Specialized Labor)。我们分别用 RNM,来表示经济中上述三种类型的劳动的数量。假定消费品的生产需要投入中间产品以及固定数量的原始劳动，从而生产函数可写为：xAFy这里 0,， y表示消费品， x表示投入于消费品生产的中间品数量，而 表示中间投入的生产率参数。注意，由于原始劳动的使用量并不取决于消费品生产的多少，从而不显式地出现在生产函数中。假定中间产品的生产只需投入技术型劳动，并且生产技术是线性的，即Lx其中 表示中间产品部门的技术型劳动的使用量。研究活动的投入可以产
47、生一随机的创新发生序列，假定在任一时刻创新的发生服从Poisson过程，此过程的到达率(Arrive Rate)，即单位时间内创新发生的概率，为 Rn,，其中 是用于研究活动的技术型劳动的数量，是一给定常数， 是一规模报酬不变且凹的生产函数，并满足：0,R，这意味着如果没有技术型劳动投入的话，创新的发生概率为零。我们知道，关于创新发生的这种Poisson过程假定意味着，在每一次创20新发生前所需等待的时间间隔服从参数为 Rn,的指数分布，即每一次创新所带来的垄断利润的持续时间是一指数型随机变量。每一次创新都会带来一种新的中间产品，而这种中间产品的投入可以使得消费品的生产更有效率。我们简单地假定，新的中间产品的投入通过一常数因子 1来提高生产率参数 A，则：ttA0其中 0是给定的初始生产率水平，下标 t表示从第 t次创新开始，至第1t次创新发生之前的时间间隔。一个成功的创新者可以通过申请专利来垄断中间产品的生产，当然，这种垄断地位只能持续到下一次创新发生之前。对于中间产品的垄断厂商而言，他的目标就是最大化垄断时期利润的期望现值，这里唯一的不确定性因素是垄断的持续时间。首先，考虑消费品的生产商，其最优地选择要素投入来最大化利润。具体地说，第 t期的厂商选择产量 tx来最大化利润流：tt
