1、科技信息 高校理科研究浅谈三重积分积分限明确定孙爱珍1(1江西农业大学理学院陈 希22江西师范大学数信学院)摘要】三重积分积分限的确定一直是高等数学教学的难点与重点，计算方法主要有投影法、截面法、柱面坐标法、球面坐标法等。针对学生空间想象力及作图能力欠缺的现状，结合教学经验和实践，笔者以投影法为实例总结归纳了几种常见的求三重积分积分域的投影区域及积分限的类型，并指出如何确定积分限，以有效解决三重积分的计算，对学习者有一定的指导意义。【关键词三重积分 积分区域积分限投影 投影区域引育三重积分计算的思想是化三重积分为三次定积分，其重点、难点和关键点是选择适当的坐标系、积分次序和积分限的确定。但要具
2、体地实现这一点。既要有较强的几何直观能力。以便于将积分体表示成适当的形式(即确定积分限)，又需要灵活选择计算公式和方法，以便于计算。但从教学实践的情况看，学习者欠缺的正是空间想象力，要由Q的边界曲面方程画出所围的区域很困难。针对这种现象，笔者以投影法为实例总结归纳了几种常见的求三重积分积分域的投影区域及积分限的类型，并指出如何确定积分限，以有效解决三重积分计算，对学习者有一定的指导意义。1 Q由以()(o、yo、zo)为球心的球面(或椭球面)所围设方程为r(x，Y，z)-orF(xvz)-o(1j作出。 的交线在xoy面的投影L12(2)确定D。(由L所围) j(3)确定z的上下限。从Fy力=
3、0中解出z雄y)(诘1，2)，在D。中比较联】【y)的大小，大者为上限，小者为下限。(4)根据(2)、(3)写出Q的积分限，计算三重积分。2 Q由FI(x，Y，z)-o Ii=l，2)所围一(1)叫鬻落的交线在xoy面的投影L(2)确定D。(由L所围)(3)确定z的上下限。从Fi(x，Y，z)-o(i=1，2)中解出z伍y)，在D。中比较丘ky)的大小，大者为上限，小者为下限。(4)根据(2)、(3)写出Q的积分限，计算三重积分。例l计算I=J z(1+x+y)dV其中Q由乒、云：孓予和z=x2+)r2所围。r解：由对称性知l=0 zdvf筘囊碍在xoy面上的投影为冉卢ltZ=X-+v因此棚x
4、2+y2q1，又因为在。，中、趼x2-y：。所以x2+y2z、历工予蚴2重zav。圳妇专尉2抖一80一面dxdy=吾霄3 Q由FI(x，Y。z)=0 (i=l，2，3)所围。其中F1。F2为同型曲(1)作出憋势憋盏的交线在删面的投影h和k(2)确定D。对于这种类型，交线在xoy面上的投影为2条封闭曲线，令LI为内曲线、IJ2为外曲线，D。,=D1+D2(da LI所围的区域为D1，由L，和k所围的区域为D2)(3)确定z积分限。从Fx,y，z)-o(i-1，2，3)中解t丑z=qx,y)K须分片进行，在Dl上，比较同型曲面的上下位置，Rpminfi(x,y)lzm戤联x，y)l(i=1，2)；
5、在D2上，比较IJ2的原象C2所涉及的2个曲面的上下位置，即Inin札y)li厶(x，y)或f舡，y)zma)(姚y)l(i=l，2)(4)根据(2)、C3)写出n的积分限，计算三重积分。例2化三重积分l f(x,y，z)dv为选一重后二重的积分，其中苎n为z=、研、2z=、研和z=1所围。解：z=v研和2z=v碍是同型曲面两曲面交线fz：，在xoy面上的投影Ll为蚌1，所围区域记D1两曲面交线f2彳师在xoy面上的投阢为x2+y2=4，所围区域记D2因此D沪D，+Dz=D2 在D。中丑监z、i碍所以一灿=xZ+yf24蛐显z 豆 Y婪监4 0由Fj(，Y，z)=O(i=1，2)和g。(x，y
6、)=0(j=1，2s)所围(I)在xoy面上分别作出gj(x，y)=0(j=l一2S)，Fi(x，yz)-o(i1，2)各截痕(2)确定投影区域Dxy(各截痕所围的公共部分Dxy)(3)确定z的上下限从Fi(x，Y，z)=0(i=l，2)中解出z-f,(x，y)，在Dxy中比较Hx，y)的大小，大者为上限。小者为下限。(4)根据(2)、(3)写出Q的积分限，计算三重积分。注：在xoy面上岛(x，y)：0的各截痕所围区域若为闭区域，则不需考虑Fi(x，y，o)-o(i=l，2)各截痕。 (下转82页)科技信息 高校理科研究表1采用不同镇流器点燃荧光灯测试数据镇流器类型 工频电感镇流器 普通电子镇
7、流器 电容电子镇流器输入功率W 403 330 321功率因数 05l O62 079灯管电压，v 1280 1112 11092006，25(4)【3】蔡可健，一种新型日光灯电路，淮阴师范学院学报，1999，21(3) 【4】陆国和，电路与电工技术，北京，高等教育出版社2005【5】王云亮，电力电子技术，北京，电子工业出版社2004【6】任万强，高功率因数可调光荧光灯电子镇流器，电力电子技术，2005，39(5)(上接79页)x y yyz x yyz z xyZ Z ZX解记fn(x)=D，按泰勒公式在z处展开：f疆x)-f(z)+掣(x-z)+等(x一扣+孕(x甘(1)易知zy 00 z
8、yO O O0 Y0 yzy y0 z=z(zy严I”(2)由(2)得丘(z)：z(z-y严1，k=l，2，Il时都成立根据行列式求导的规则，有f：傩以-(x)。，(x)却一1)铷)，厶，(x)=2fl(x)，fl，(x)=l。于是(x)在x=2处的各阶导数为，(z战飞x)LFr-(扣眦(z_y严，f(0-f“(x)i=nL。，(z)=n(n一1)z(z-y)s，f”(z)”(x)I，卸(n1)珥，(z)=n(n1)2z,f：构=n(n1)21把以上各阶导数代入(1)式中，有(x)=z(z-yp“-昔之一y严(x一加+世坚等F山xzr若z=y，有f。(x)=(xy)”1【x+(n一1)y】，若
9、zy，有f。(x)；型墨二z)!￥(兰=!)=z-y以上我们举了十二个例子，简单的概括了泰勒公式的七个方面的应用，以供参考。参考文献【l】同济大学教学系高等教学(第六版)M北京：高等教育出版社。200r7【2】华东师范大学数学系数学分析(第三版)M北京：高等教育出版社，2001【3a万常微分方程习题解【M】济南：山东科学技术出版社，2004。【4】刘大任求解条件极值问题的两个充分条件J沈阳建筑工程学院(自然科学版)2004，20(I)：8083【5张禾Jg，郝专丙新高等代数M北京：高等教育出版社，1990【6Mclachlan G，Ped DFinite Mixture Models嗍New
10、York：John WiLeSonsInc，2000(上接80页)推广 若n由Fi(x，y国=o(i=l，2)和gi(x,z)-0或g舡z)=o(j=12$)所围(1)在舶z(或y倪)面上分别作出gi(x，z)=0或gp，z)=o(j=1，28)和Flx，0，z)=O(i=12)各截痕(2)确定投影区域Dxz或Dyz(各截痕所围的公共部分为Dxz或Dye)(3)确定Y或x的上下限。从FZx,y,z)-O(i=l，2)中解出y-f,(x，z)或x_(yz)，在Dxz或Dyz中比较y-玉(x，z)或x(y，z)的大小，大者为上限，小者为下限。(4)根据(2)、(3)写出Q的积分限，计算三重积分。郴
11、牡曼1y2dV舯蚴z=O,x+y-z：-O,x-y-z-O,x=l胭解：含y的方程只有2个所以投影到xoz面上x+y-z=O,x-yz=O和x=l，z=l在xoz面的截痕为直线x=za=l，z=O一82一因此D曲眨美在时杰yxz舢=曼咖：卜j严击5结束语本文主要介绍了四种确定三重积分积分限的类型，与传统做法相比优势明显，作图简单，积分限的确定方便；可避免学习者因作图能力、审闻摈象力欠缺所带来的解题困惑。参考文献【l】同济大学应用数学系高等数学【M北京：高等教育出版社。2002年7月，第5版【2】何率天，柴眷红直角坐标系下三重积分的计算叽高等数学研究，2005，8(2)：8-93】王浚岭三重积分
12、先一后二求固定顶的计算方法【J】高等数学研究，20065，9(2)：1315。浅谈三重积分积分限的确定作者： 孙爱珍， 陈希作者单位： 孙爱珍(江西农业大学理学院)， 陈希(江西师范大学数信学院)刊名： 科技信息（学术版）英文刊名： SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION年，卷(期)： 2008，“(14)被引用次数： 0次参考文献(3条)1.同济大学应用数学系 高等数学 20022.何率天.柴眷红 直角坐标系下三重积分的计算期刊论文-高等数学研究 2005(02)3.王浚岭 三重积分先一后二求固定顶的计算方法期刊论文-高等数学研究 2006(02)相似文献(10条)
13、1.期刊论文 何率天.柴春红 直角坐标系下三重积分的计算 -高等数学研究2005,8(2)给出不画出积分区域的立体图而计算三重积分的方法2.期刊论文 银建华 在二重积分、三重积分中积分区域的数学表示 -昌吉学院学报2002,“(3)本文举例说明了如何把二重积分、三重积分的积分区域用点的坐标所满足的不等式表示出来,是对高等数学中相关部分的补充说明.3.期刊论文 贾建文 三重积分的计算方法 -高等数学研究2010,13(2)主要探讨在直角坐标系下三重积分的计算方法与技巧.首先将空间区域分成两大类,并给出用不等式组表示它们的方法,然后就每种区域分别列出化三重积分为累次积分的公式,并举例加以说明.4.
14、期刊论文 倪传京.NI Chuan-jing 利用函数的奇偶性与积分区域的对称性求三重积分的值 -淮南职业技术学院学报2002,2(2)对使用一元奇、偶函数在对称区间上的积分性质,求定积分值的问题进行了推广,阐述了利用三元函数的奇偶性与区域的对称性,求三重积分值的方法.5.期刊论文 严永仙 利用平面投影图形确定三重积分的积分限 -浙江师范大学学报（自然科学版）2004,27(4)三重积分积分限的确定一直是教学的难点与重点.针对学生空间想像力及作图能力欠缺的现状,结合教学实践,提出了用平面图形代替立体图形的方法,给出了积分域的投影区域及积分限确定的几种方法,以有效解决三重积分的积分限的确定问题.
15、6.期刊论文 刘慧钦.蒋婷 三重积分变换公式的证明 -长春工程学院学报(自然科学版)2004,5(2)由于部分三重积分在直角坐标系下计算比较困难,选择适当的坐标变换,使得原坐标下积分区域变换为新坐标系下积分区域,新坐标系下积分面正交.从而各函数在满足一定条件下,证明了积分转换公式的成立.并通过实例验证公式的正确性.7.期刊论文 冯长焕 利用对称性技巧解多元函数重积分 -赣南师范学院学报2004,25(3)用图表的形式给出有对称性的多元函数的二、三重积分的命题,并用实例验证这些命题的正确性,同时指出在高等数学的学习中发现并运用这些技巧能大大地简化计算并减少出错.8.期刊论文 陶爽.卢方芳 关于求解三重积分的方法 -科技信息2010,“(6)根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分.9.期刊论文 董艳梅.林谦.DONG Yan-mei.LIN Qian 在柱坐标系下三重积分计算法的探讨 -云南师范大学学报（自然科学版）2009,29(1)文章主要探讨在柱坐标系下当积分区域的草图不易画出时,如何确定累次积分的上下限,进而据此计算三重积分.10.期刊论文 林谦 再论“在直角坐标系下三重积分的计算法“ -高等数学研究2008,11(2)主要探讨在直角坐标系下当积分区域的草图不易画出时,如何确定累次积分上下限,进而据此计算三重积分.本文链接：http:/
