1、3.2 利息公式,（一）相关概念,1、利息一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增值，用“I”表示。,2、利率利息递增的比率，用“i”表示。,计息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、季度来计算，用“n”表示。,3.2 利息公式,3.2.1利息的种类,1、单利计息,1. 单利每期均按原始本金计息（利不生利）,设：I利息P本金n 计息期数 i利率F 本利和,则有,例题1：假如以年利率6%借入资金1000元,共借4年,其偿还的情况如下表,年,年初欠款,年末应付利息,年末欠款,年末偿还,1,1000,1000 0.06=60,1060,0,2,1060,1000 0.06=60,1120,0,3,11
2、20,1000 0.06=60,1180,0,4,1180,1000 0.06=60,1240,1240,3.2 利息公式,2、复利,将本期的利息转为下期的本金，下期将按本利和的总额计息，这种计息方式称为复利（计息）利滚利,P(1+i)2,P(1+i)n-1,P(1+i)n,1,P,Pi,P(1+i),2,P(1+i),P(1+i) i,n1,P(1+i)n-2,P(1+i)n-2 i,n,P(1+i)n-1,P(1+i)n-1 i,例题2：假如以年利率6%借入资金1000元,共借4年,其偿还的情况如下表,年,1000,1000 0.06=60,1060,0,1060,1060 0.06=63
3、.60,1123.60,0,1123.60,1191.02,0,1191.02,1262.48,1262.48,1123.60 0.06=67.42,1191.02 0.06=71.46,（二）现金流量图（cash flow diagram),描述现金流量作为时间函数的图形，它能表示资金在不同时间点流入与流出的情况。,是资金时间价值计算中常用的工具,大 小,流 向,时间点,现金流量图的三大要素,（二）现金流量图（cash flow diagram),1、水平线是时间标度，每一格代表一个时间单位（年、月、日），第n 格的终点和第n +1格的起点是相重合的。,2、箭头表示现金流动的方向，向下的箭头
4、表示支出（现金的减少），向上的箭头表示现金收入（现金的增加），箭头的长短与收入或支出的大小成比例。,3、现金流量图与立脚点（着眼点）有关：如贷款人的立脚点，或者借款人的立脚点。,300,400,时间,200,200,200,1 2 3 4,现金流入,现金流出,0,（二）现金流量图（cash flow diagram),注意： 第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初。 立脚点不同，画法刚好相反。净现金流量 = 现金流入 现金流出 现金流量只计算现金收支(包括现钞、转帐支票等凭证)，不计算项目内部的现金转移(如折旧等)。,3.2.3复利计算公式,1、一次支付复利公式,案例,1、一次支付复利公式,第
5、一年年初,第一年年末,第二年年末,第n年年末,P,P +Pi=P(1+i),P (1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2,P(1+i)n,1、一次支付复利公式,在第一年年初，以年利率6%投资1000元，则到第四年年末可得本利和若干？,分析,2、一次支付现值公式,案例,2、一次支付现值公式,为了在第四年年末得到1262.50元，按年利率6%计算，现在必须投资多少？,分析,3、等额支付系列复利公式,案例,3、等额支付系列复利公式,A,1,累 计 本 利 和 （ 终 值 ）,等额支付值,年末,2,3,A,A,n,A,A,A+A(1+i),A+A(1+i)+A(1+i)2,A1+(1+i)+(1+i
6、)2+(1+i)n-1=F,3、等额支付系列复利公式,即 F= A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 (1)以(1+i)乘(1)式,得 F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 +A(1+i)n (2)(2) (1) ，得F(1+i) F= A(1+i)n A,3、等额支付系列复利公式,连续5年每年年末借款1000元，按年利率6%计算，第5年年末累积借款若干？,分析,4、等额支付系列积累基金公式,案例,4、等额支付系列积累基金公式,如果要在第5年年末得到资金1000元，按年利率6%计算，从现在起连续5年每年必须存储若干？,分析,5、等额支付系列资金恢复公
7、式,案例,根据,5、等额支付系列资金恢复公式,5、等额支付系列资金恢复公式,如果现在以年利率5%投资1000元，在今后的8年中，每年年末以相等的数额提取回收本利和，则每年年末可以等额提取若干？,分析,6、等额支付系列现值公式,案例,6、等额支付系列现值公式,按年利率6%计算，为了能够在今后5年中每年年末得到100万元的利润，现在应投资若干？,分析,7.均匀梯度系列公式,A1,（1）,（3）,（2）,图（2）的将来值F2为:,F2=G（F/A,i,n1）+G（F/A,i,n2）+ + G（F/A,i,2）+ G（F/A,i,1）,=,G,梯度系数（A/G,i,n）,注：如支付系列为均匀减少，则有
8、 A=A1A2,8.运用利息公式应注意的问题,1、实施方案所需的初始投资，假定发生在方案的寿命期初（期初惯例）；,2、方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末（期末惯例）；,3、本年的年末即是下一年的年初；,4、P是在当年度开始时发生；,5、F是在当年以后的第n年年末发生；,6、A是在考察期间各年年末发生。当现金流量系列包括P和A时，系列的 第一个A是在P发生一年后的年末发生；当现金流量系列包括F和A时，系 列的最后一个A是和F同时发生。,3.2.4名义利率和有效利率,名义利率和有效利率的概念。,当利率的时间单位与计息期不一致时，,有效利率资金在计息期发生的实际利率。,例如：每半年
9、计息一次，每半年计息期的利率为3%，则 3%（半年）有效利率,如上例为 3%2=6% （年）名义利率,1、离散式复利,按期（年、季、月和日）计息的方法如果名义利率为r，一年中计息n次，每次计息的利率为r/ n，根据一次支付复利系数公式，年末本利和为： F=P1+r/nn一年末的利息为： P1+r/nn P按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率i为：,例：现投资1000元，时间为10年，年利率为8%，每季度计息一次，求10年末的将来值。,每季度的有效利率为8%4=2%， 用年实际利率求解: 年有效利率i为： i=（ 1+ 2%）41=8.2432%F=1000（F/P，8.2432%，10）
10、=2208（元） 用季度利率求解:F=1000（F/P，2%，40）=10002.2080=2208（元）,解：,例:某企业向银行借款1000元,年利率为4%,如按季度计息,则第3年应偿还本利和累计为( )元。 A.1125 B.1120 C. 1127 D.1172,F=1000(F/P,1%,43)=1000(F/P,1%,12)=1127元,答案: C,解:,例: 已知某项目的计息期为月,月利率为8 ,则项目的名义利率为( ) 。A. 8% B. 8 C. 9.6% D. 9.6 解:,所以 r=128 =96 =9.6%,答案: C,2、连续式复利,按瞬时计息的方式称为连续复利。在这种
11、情况下，复利可以在一年中按无限多次计算，年有效利率为：,式中：e自然对数的底，其数值为2.71828,名义利率和有效利率,下表给出了名义利率为12%分别按不同计息期计算的实际利率：,名义利率的实质：当计息期小于一年的利率化为年利率时，忽略了时间因素，没有计算利息的利息 。,名义利率和有效（年）利率的应用： 计息期与支付期相同可直接进行换算求得 计息期短于支付期运用多种方法求得 计息期长于支付期按财务原则进行计息，即现金流入额放在期初，现金流出额放在计息期末，计息期分界点处的支付保持不变。,3.3、等值(Equivalent Value)的计算,在某项经济活动中，如果两个方案的经济效果相同，就称
12、这两个方案是等值的。,例如，在年利率6%情况下，现在的300元等值于8年末的300 (1+0.06)8 =478.20元。这两个等值的现金流量如下图所示。,同一利率下不同时间的货币等值,3.3 、等值(Equivalent Value)的计算,货币等值是考虑了货币的时间价值。即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等；反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值却可能相等。,货币的等值包括三个因素,金额,金额发生的时间,利率,在经济活动中，等值是一个非常重要的概念，在方案评价、比较中广泛应用。,3.3.1 计息期为一年的等值计算,从利息表上查到，当n=9，1.750落在6%和7%之间
13、。,6%的表上查到1.689 7%的表上查到1.839,从,用直线内插法可得,相同,有效利率,名义利率,直接计算,例：当利率为多大时，现在的300元等值于第9年年末的525元？,解： F=P(F/P,i,n),525=300(F/P,i,9),(F/P,i,9)=525/300=1.750,计算表明，当利率为6.41%时，现在的300元等值于第9年年末的525元。,例：当利率为8%时，从现在起连续6年的年末等额支付为多少时与第6年年末的10000 等值？,A=F（A/F,8%,6）=10000 0.1363=1363 (元/年) 计算表明，当利率为8%时，从现在起连续6年1363 元的年末等额
14、支付与第6年年末的10000 等值。,解：,例：当利率为10%时，从现在起连续5年的年末等额支付为600元，问与其等值的第0年的现值为多大？,解：P=A(P/A,10%,5)=2774.59元 计算表明，当利率为10%时，从现在起连续5年的600元年末等额支付与第0年的现值2274.50元是等值的。,3.3.2 计息期短于一年的等值计算,1.计息期和支付期相同例：年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，连续3年，每半年为100元的等额支付，问与其等值的第0年的现值为多大？ 解：每计息期的利率,（每半年一期）,n=(3年) (每年2期)=6期 P=A（P/A，6%，6）=100 4.9173=
15、491.73元 计算表明，按年利率12%，每半年计息一次计算利息，从现在起连续3年每半年支付100元的等额支付与第0年的现值491.73元的现值是等值的。,例：求等值状况下的利率。假如有人目前借入2000元，在今后两年中分24次等额偿还，每次偿还99.80元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。,解： 现在 99.80=2000（A/P，i,24）（A/P，i,24）=99.80/2000=0.0499,查表，上列数值相当于i=1.5%。因为计息期是一个月，所以月有效利率为1.5%。,名义利率 ：r=(每月1.5%） （12个月）=18%,年有效利率：,2.计息期短于支付期,例
16、：按年利率为12%，每季度计息一次计算利息，从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元，问与其等值的第3年年末的借款金额为多大？,第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：,将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）,A=F （A/F，3%，4） =1000 0.2390=239元,239,F=？,季度,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12,经转变后计息期与支付期重合（单位：元）,F=A（F/A，3%，12）=239 14.192=3392元,第二种方法：,把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来
17、值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果,FP，3，8 FP，3，4 F=1 000(1267)+1 000(1126)+l 000=3 392元,式中，第一项代表第1年年末借的1000元将计息8次；第二项代表第2年年末借的1 000元将计息4次；最后一项代表第3年年末借的1 000元。,第三种方法：,将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。,年有效利率是,由此可得FA，1255 %，3 F=1000( 33923 )=3392元,通过三种方法计算表明，按年利率12%，每季度计息一次，从现在起连续三年的1000元等额年末借款与第三年年末的3392元等值。,计息期长于支付期
18、,通常规定存款必须存满整个一个计息期时才计算利息，这就是说，在计息期间存人的款项在该期不计算利息。要到下一期才计算利息。因此，计算期间的存款应放在期末，而计算期间的提款应放在期初。,假如有一项财务活动，其现金流量如图所示。试求出按季度计息的等值现金流量,FP，2%，4 FP，2，3 F=(400200)( 1. 082 )-100( 1. 061)+FP，2，2 (30050)( 1040 )+100=26230元,例:假定现金流量是：第6年年末支付300元，第9、10、11、12年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15、16、17年年末各获得80元。按年利率5计息，与此等值的现金流
19、量的现值P为多少？,解：P=300(P/F,5%,6) 60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8) 210(P/F,5%,13) +80(P/A,5%,3)(P/F,5%,14)=3000.716260 3.5456 0.6768210 0.5303 +80 2.7232 0.5051=369.16也可用其他公式求得P=300(P/F,5%,6) 60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12) 210(P/F,5%,13) +80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)=3000.746260 4.3101 0.5568210 0.5303+80 3.153 0.4363=369.16,例: 求每半年向银行借1400元，连续借10年的等额支付系列的等值将来值。利息分别按:1）年利率为12；2）年利率为12，每半年计息一次3）年利率12，每季度计息一次，这三种情况计息。,解：,1）计息期长于支付期,F=14002（F/A,12，10）49136 （元）,2）计息期等于支付期,F=1400(F/A,12%2，102）51500 （元）,3）计息期短于支付期,F=1400(A/F，3%，2)(F/A，3%，410）52000 （元）,作业,2、3（b、d）、4（b、d）、5（b、d）、6（b、e）、7（a、c）、8（a、d）、9（a、c）、12、14、16、20,
