1、 官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： 北京市西城区 2011 年高三一模试卷数 学（文科）2011. 4第卷（选择题 共 40 分）一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集 1,2345U，集合 2,A， ,B，则 ()UAB等于（A） ,（B） 1,（C） 245（D） 52. 函数 lgyx的定义域是（A） 0,（B） (0,2)（C） 0,（D） 1,23.为了得到函数
2、 xcosin的图像，只需把 xycosin的图象上所有的点（A）向左平移 4个单位长度 （B）向右平移 4个单位长度（C）向左平移 2个单位长度 （D）向右平移 2个单位长度4. 设 log3a， 4lb， 12c，则（A） c（B） ab（C） bca（D） cba5一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （A） 6（B） 12（C） 4（D） 366对于平面 和异面直线 ,mn，下列命题中真命题是（A）存在平面 ，使 ， （B）存在平面 ，使 ，（C）存在平面 ，满足 ， /n（D）存在平面 ，满足 /m，7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污
3、损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为正(主)视图俯视图侧(左)视图3443 33甲899 80123 3 79乙官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： （A） 52（B） 107（C） 54（D） 1098某次测试成绩满分为 150 分，设 n名学生的得分分别为 12,na （ iaN，1in）， kb（ 5）为 名学生中得分至少为 k分的人数.记 M为 名学生的平均成绩.则（A） 12150M （B） 12150b（C） bn （D） 二、填空题：本大题共
4、6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 若复数 (1i)a是纯虚数，则实数 a等于_.10.设向量 ,s， b(1,cos)，若 3b，则 2sin_.11.双曲线2:xCy的离心率为_；若椭圆21(0)xya与双曲线 有相同的焦点，则 a_.12. 设不等式组 2,xy表示的区域为 W,圆 :C2()4xy及其内部区域记为 D.若向区域 内投入一点，则该点落在 区域 D内的概率为_.13. 阅读右侧程序框图，则输出的数据 S为_.14. 已知数列 na的各项均为正整数， n为其前 项和，对于 1,23n，有 1 135,2nn nkkaa 为 奇 数为 偶 数 .其 中 为 使 为
5、奇 数 的 正 整 数，当 3a时， 1的最小值为_；当 时， 1220S _.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分 13 分）设 ABC的内角 ， ， C所对的边长分别为 a， b， c，且 4os5B,b.（）当 o30时，求 a的值；（）当 ABC的面积为 3时，求 ca的值.16. （本小题满分 13 分）如图所示，正方形 ABCD与直角梯形 EF所在平面互 相垂直，90ADE， EF/， 2A.()求证： 平面 ；A BCDFE官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰
6、 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： ()求证： /AC平面 BEF；（）求四面体 D的体积.17. （本小题满分 13 分）已知 na是公比为 q的等比数列，且 123a.（）求 的值；（）设 nb是首项为 2，公差为 q的等差数列，其前 n项和为 nT. 当 2时，试比较 nb与 T的大小.18. （本小题满分 14 分）已知函数 ()lnfx.（）求函数 的极值点；（）若直线 l过点 (0,1)，并且与曲线 ()yfx相切，求直线 l的方程；（）设函数 ()gxfax，其中 aR，求函数 ()gx在区间 1,e上的最小值.（其中 e为自然对数的
7、底数）19.（本小题满分 14 分）已知抛物线 24yx的焦点为 F，直线 l过点 (4,0)M.（）若点 到直线 l的距离为 3，求直线 l的斜率；（）设 ,AB为抛物线上两点，且 AB不与 x轴重合，若线段 AB的垂直平分线恰过点 M，求证：线段 AB中点的横坐标为定值.官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： 20.（本小题满分 13 分）将 n,32,1 这 个数随机排成一列，得到的一列数 na,21 称为 n,32,1 的一个排列.定义 )(a | 321
8、na 为排列 a 的波动强度.（）当 时，写出排列 ,的所有可能情况及所对应的波动强度；（）当 0n时，求 1210(,) 的最大值，并指出所对应的一个排列；（）当 时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列 1210,a ，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为 9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明.官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： 北京市西城区 2011 年高三一模试卷参考答案及评分
9、标准数学（文科） 2011.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B A C D B D C A二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 10. 45 11. 2， 12. 8 13.31 14. 5， 910注：11 题，14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分 13 分）解：（）因为 54cosB，所以 5sinB . 2 分由正弦定理 bAaiin，可得 10i3a. 4 分
10、所以 3. 6 分（）因为 BC的面积 sin2SacB， 53i，所以 10ac， 10. 8 分由余弦定理 cbos22， 9 分得 6584a，即 202ca. 10 分所以 2()0ac， 2()40， 12 分所以， 1. 13 分16.（本小题满分 13 分）()证明：因为平面 ABCD平面 EF， 90AD，所以 E平面 ，2 分 所以 C.3 分因为 是正方形，所以 B，所以 平面 . 4 分()证明：设 ACBO，取 E中点 G，连结 OF,，所以， G/12D. 5 分因为 DA/， AE2，所以 F/OG，6 分从而四边形 F是平行四边形， . 7 分因为 平面 , 平面
11、 B, 8 分所以 /AO平面 BE，即 /C平面 F. 9 分（）解：因为平面 平面 AE， ,所以 AB平面 DEF. 11 分A BCGFEDO官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： 因为 DEAF/, 90, 2AFDE，所以 的面积为 122， 12 分所以四面体 B的体积 BSDEF343. 13 分17.（本小题满分 13 分）解：（）由已知可得 211aq， 2 分因为 n是等比数列，所以 0. 3 分解得 q或 3. 5 分（）当 1时， 1nb，
12、23nT， 7 分所以，当 2时，20n.即当 1q时， ()b. 8 分当 3时， 71(3n n， 9 分22)6nT， 10 分(14nnb， 12 分所以，当 14时， n；当 时， nTb；当 214n时， nTb.13 分综上，当 q时， (2)T.当 3q时，若 ， ；若 ， n；若 214n，nTb.18.（本小题满分 14 分）解：（） ()ln1fx， 0x， 2 分由 0得 e， 3 分所以， ()f在区间 (,)上单调递减，在区间 1(,)e上单调递增. 4 分所以， 1ex是函数 fx的极小值点，极大值点不存在. 5 分（）设切点坐标为 0(,)y，则 00lnx，
13、6 分切线的斜率为 ln，所以， 001lx， 7 分官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： 解得 01x， 0y， 8 分所以直线 l的方程为 10x. 9 分（） ()gn()a，则 lx， 10 分解 ()0，得 1ea，所以，在区间 ,)上， ()gx为递减函数，在区间 1(a上， 为递增函数. 11 分当 1ea，即 时，在区间 1,e上， ()gx为递增函数，所以 ()gx最小值为 ()0g. 12 分当 1a，即 2a时， 的最小值为 11(e)aa.
14、 13 分当 e，即 时，在区间 1,e上， )gx为递减函数，所以 ()gx最小值为 ()g. 14 分综上，当 1a时， 最小值为 0；当 2a时， ()的最小值 1ea；当 2时， ()gx的最小值为e.19.（本小题满分 14 分）解：（）由已知， 4x不合题意.设直线 l的方程为 (4)ykx，由已知，抛物线 C的焦点坐标为 (1,0)， 1 分因为点 F到直线 l的距离为 3，所以 23k， 3 分解得 2k，所以直线 l的斜率为 . 5 分（）设线段 AB中点的坐标为 0(,)Nxy， ),(),(21yxBA，因为 不垂直于 轴，则直线 M的斜率为 04x，直线 的斜率为 04
15、y， 7 分直线 AB的方程为 00()yx， 8 分联立方程0024(),yx消去 x得 2000(1)(4)4yx， 10 分官 方 网 站 ： 咨 询 电 话 010-821215563T 教 育 社 区 -杰 睿 教 育 旗 下 的 学 生 和 家 长 交 流 平 台 社 区 网 址 ： 所以 0124yx， 11 分因为 N为 AB中点，所以 120y，即 04yx， 13 分所以 02x.即线段 中点的横坐标为定值 . 14 分20. （本小题满分 13 分）解：（） 3n时，排列 321,a的所有可能为 1,23； ,； 2,13； ,； ,12； 3,.2 分2),1(； )
16、,(； ),(；3； ； . 4 分（） 1210(,)a 23910|aaa上式转化为 3910 ，在上述 8个 中，有 9个选正号， 个选负号，其中 10,出现一次， 239,a 各出现两次. 6 分所以 1210(,)a 可以表示为 个数的和减去 个数的和的形式，若使 最大，应使第一个和最大，第二个和最小.所以 1210(,) 最大为：(09876(12345)9. 8 分所对应的一个排列为： 5,9,06.（其他正确的排列同等给分） 9 分（）不可以.例如排列 10,987,23,4，除调整 1,2外，其它调整都将使波动强度增加，调整 1,2波动强度不变. 11 分所以只能将排列 ,1,56调整为排列 0,987,213,456.对于排列 10987234，仍然是除调整 21外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整,2两个数字.如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为 9. 13 分
