1、第一章复数及复变函数,高等数学基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,复变基础,函数,极限,解析, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,第三节 复变函数,第二节 复平面上的点集,第一节 复数运算及几何表示,第一章复数及复变函数,第一章、复数及复变函数,第一节 复数1、复数域 2、复平面 3、复球面与无穷大,Math,SNNU,复数:形如:z=x+iy或z=x+yi的数，其中x和y是任 意的实数，i是虚数单位( 的平方根）. x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：,注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等. 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为
2、一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.,复数域: 1. 复数,2.复数的四则运算,复数的四则运算定义为：,全体复数引入以上的四则运算后就称为复数域 . 记为C，复数域可以看成实数域的扩张. 注:在复数域中不能规定复数像实数那样的大小关系.,z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，,共轭复数的性质,3. 共轭复数,定义 若z=x+iy , 称z=xiy 为z 的共轭复数.
3、,(conjugate),复平面,1. 复平面的定义,2. 复数的模(或绝对值),显然下列各式成立,3. 复数的辐角,说明,辐角不确定.,辐角主值的定义:,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,欧拉介绍,4.复数的三角表示和指数表示,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,指数表示式为,故三角表示式为,指数表示式为,故三角表示式为,指数表示式为,例2,解,(三角式),(指数式),5. 利用平行四边形法求复数的和差,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,6. 复数和差的模的性质,7.
4、基本不等式:,关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：,例3,证,两边同时开方得,三角形两边之和大于第三边！,例4,证,两边平方, 并化简得,下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.,例5 试用复数表示圆的方程:,其中，a,b,c,d是实常数。 解：利用,8.乘积与商,定理一,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,证,两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.,从几何上看, 两复数对应的向量分别为,证毕,定理二,两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角
5、等于被除数与除数的辐角之差.,证,按照商的定义,证毕,例6,解,9.幂与根,1. n次幂:,棣莫佛公式,推导过程如下:,2.棣莫佛公式,根据棣莫佛公式,当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.,从几何上看,当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.,从几何上看,例7,解,即,例8,解,即,小结,本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的表示与运算(等式与不等式运算), 它是本节课的重点.,复球面与无穷大:,0,N,x1,x2,x3,o,z(x,y),x,y,P(x1,x2,x3),x1,x2,x3,N(0,0,2r),除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复
6、数.,对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作. 这样的球面称作复球面.,无穷远点:,关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：,它和有限复数的基本运算为：,这些运算无意义：,扩充复数域-引进一个“新”的数:,扩充复平面-引进一个“理想点”: 无穷远点 .,小结,学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍了复数域、复平面、复球面和扩充复平面.,注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈,作业:第25页 1, 5, 7, 14, 15.,Math,Thank you!,
