1、,复变函数与拉氏变换 主讲 栾静闻,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.1 复数及其代数运算,第一章 复数与复变函数,1.2 复平面上的点集,1.3 复变函数及其极限与连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.1 复数及其代数运算,1.1.1 复数的概念,1.1.2 复数几何表示,1.1.3.复数的四则运算,1.1.4.复数的乘幂与方根,1.1.5.复球面、扩充复球面,1.1 复数及其代数运算,1.1.1 复数的概念,逆运算的封闭性使得数的概念不断扩张，加法在自然数,集中封闭，但是减法在自然数集中不封闭，于是自然数,扩张到整数；乘法在整数中封闭，除法
2、在整数中不封闭，,整数又扩张到有理数。乘方运算的逆运算开方在实数,域中不封闭，实数进一步扩张，则是复数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复数,虚单位,称 为虚单位，且,一般地，,称形如 或 的数为复数。,记 ，,称之为复数 的实部；,记 ，,称之为复数 的虚部。,实数可看作虚部为零的复数： ，,因此,实部为零的复数 被称为纯虚数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,共轭复数,称实部相同而虚部为相反数的两个数，即,和,互为共轭复数，简称共轭数。,设 ，,则复数 的共轭复数记为,复数的相等,若 且 ，则称复数 与复数 相等。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复数没有序关系,任意两个复数
3、不能比较大小。,1.1.2 复数几何表示,复平面与复数的几何表示,复数的点表示法：,实平面,复平面,实平面上的点,复平面上的点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复数的向量表示：,表示向量 的长度，,称之为复数 的模，记为,表示以 x 轴为始边，以向量 为终边的角度，,称之为复数 的辐角，记为 ，辐角不唯一。,称满足 的辐角为 的主辐角，记为 ，,因此,复平面与复数的几何表示（续）,复数 时，辐角无定义。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由极坐标变换知：,复数 可表示为：,称之为复数 的三角表示。,复平面与复数的几何表示（续二）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复数的主辐角计算,O,
4、O,O,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.1.1,将下列复数化为三角表示式：,解,由于 在第三象限，根据主辐角计算公式：,所以 的三角表示式为 ：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,所以 的三角表示式为 ：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.1.3.复数的四则运算,复数的加(减)法,加减法的几何意义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复数的乘法,复数的除法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复数的运算律,（1）加法、乘法运算律,结合律,交换律,分配律,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（2）共轭运算律,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（3）模的性质,三角不等式,z
5、1,z2,z2,z1+ z2,z,|x|,|y|,|z|,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.1.2,证明对任意两个复数,下式成立：,证明（方法一）设 则,证明（方法二）,1.1.4. 复数的乘幂与方根,复数的乘积与商,定理1.1.1,设,则,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复数乘法的几何意义,将向量 旋转角度 后，,再将它的长度伸缩 倍，所,得即为向量 。,特别地，当 时，向量 z1 z2 就是将向量 z2 旋转角度,所得的向量。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论1.1.2,推论1.1.3 (De Moive 公式),复数的乘方与开
6、方,(1) 乘方,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 开方,设 ，,则称 是 的 次方根。,记为 ，,表示 的 次方根的主值。,方根的计算公式,设 ，则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明,设 由 ，得,则,即,所以,n次方根有n个相异的根。,由正弦、余弦函数的周期性可知，非零数的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方根的几何意义,/n,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方根的几何意义,/n,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以原点为圆心，以 为半径的圆周，作辐角为 的射线，,交于圆周上的点 ；,为顶点作圆周的内接 正 n,以,边形，,其n个顶点就对应着,z 的 n 次方根
7、的 n 个值：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.1.3 求,解,1.1.5.复球面、扩充复球面,复球面,单位球面切于复平面于原点O,球面上点 S与点O重合,点S的对径点为N。,S - 南极点,N- 北极点,球面上任意点 直线 PN 与复平面交于点 z,即得球面(除去北极点N外)与复平面上点的 11的对应关系。,复平面上任意点 直线 zN 与球面交于点 P，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,扩充复平面,对于球面上的北极点N，在复平面C上没有对应点。,设想在复平面上增加一个理想点 , 即无穷远点,与之对应,由此得到的扩充复平面 与球面1-1对应。,关于新“数”需作如下几点规定：,(1) 复平面上每一条直线都通过点，同时没有一个半平面包括点;,(2) 的实部，虚部及幅角都无意义, | | = + ;,(3) b0 (但可为)时， b= b , b/0= ;,(4) a时, /a=0, a/0=, a=a = 。,(5) 运算 , 0 , 0, / , 0/0无意义。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P 311;3;4(1)(3)(5)(6);7(1)(3)(5)(7);8(2)(4);14(2)(4);15.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再 见 ！,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
