1、算 法 案 例,案例1 辗转相除法与更相减损术,学习目标1.通过辗转相除法与更相减损术的学习,进一步体会算法思想2.通过古代著名的算法,理解掌握辗转相除法与更相减损术算法的含义;了解其计算过程;了解其算法程序框图和程序,1. 回顾算法的三种表述：,2. 思考：,小学学过的求两个数最大公约数的方法？,先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互为质数为止，然后把所有的除数连乘起来.,复 习,2、除了用这种方法外还有没有其它方法？,算出8251和6105的最大公约数.,1、辗转相除法（欧几里得算法）,所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数.若余数不为零,则将余数和较小的
2、数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.,例1.用辗转相除法求98与63的最大公约数.,98=16335 63=1 3528 35=1 287 28=4 70,所以，98与63的最大公约数为7,新 课,辗转相除法的原理：如果q和r是m除以n的商及余数, 即 m=nq+r,则gcd(m,n)=gcd(n,r).,证明: 设 a=gcd(m,n),b=gcd(n,r) 则有a|m 及a|n,因此a|(m-nq), 即 a|r及a|n,所以a|b,又 b|r及b|n,所以b|(nq+r), 即b|m及b|n,所以b|a 因为a|b并且b|a,所
3、以a=b,即gcd(m,n)=gcd(n,r).,如计算 gcd(546, 429) 546=1429+117,429=3117+78,117=178+39,78=239,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374,所以37是8251和6105的最大公约数,求8251和6105的最大公约数.,P45)练习1(1)用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,所以45是225和135的最大公约数,思考：从上面的两个例子可以看
4、出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤,这实际上是一个循环结构,m=nqr,思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,程序框图,程 序,直到型循环结构,程序框图,程 序,当型循环结构,2、更相减损术,第一步：任意给定两个正整数;判断他们是否都是偶数.若是,则用2约简;若不是则执行第二步.,第二步：以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止,则这个等数就是所求的最大公约数.,例3 用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,986335 633528 35287 28721 21721 1477,所以，98和63的最大公约数等于7,98=63135 63=35128 35=2817,辗转相除法与更相减损术的区别 (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显. (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到,用更相减损术求两个整数m，n的最大公约数,
