1、,第一章 行列式,1.1 行列式的定义,1.2 行列式的性质与计算,1.3 Cramer法则,（一） 二阶行列式对二元线性方程组,1.1 行列式的定义,定义,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,（每项是位于不同行,不同列两个元素的乘积）,注意:分母D为原方程组的系数行列式.,例1,解,(二)、三阶行列式,定义,为三阶行列式.,（每项是位于不同行,不同列三个元素的乘积）,三阶行列式的计算,对角线法则,说明 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三
2、阶行列式求解三元线性方程组,则有解：,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.,小结,三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,且三项为正,三项为负.,(三)排列与逆序,由自然数1、2、3、4、n组成的一个有序数组称为一个n级排列，简称为排列。,排列：,自然排列：,n级排列123n 称为自然排列。,n级排列的三要素,n个数中不能有重复数,不能有大于n的数,由n个自然数组成,n级排列的总数,n!个,逆序：,在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.,例如：在三级排列312中，,逆序：31 、32,在四级排列4231中，,逆序：42、21、31,一个排列
3、中逆序的个数称为这个排列的逆序数 。,例如,记为,逆序数:,逆序数的计算方法:,=j1后面比j1小的数的个数+ j2后面比j2小的数的个数+ jn-1后面比jn-1小的数的个数,例如,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,对换：,在一个n级排列（j1 j2 ji jkjn ）中，若仅将其中两个数ji、 jk对调,其余不动，可得一个新的排列（j1 j2 jk jijn ）,对排列所施行的这样一次对调称为一个对换。,定理：一次对换改变排列的奇偶性。,则,奇偶性不同,与,即：,若,例如,2 排列具有奇偶性.,3.一次对换改变排列的奇偶性,1 个不同的元素的所有
4、排列种数为,小结,（四）n阶行列式的定义,二阶行列式,=两项的代数和，每一项是行列式中 不同行不同列的两个元素的乘积,概念的引入,其中,三阶行列式,=,=六项的代数和，,每一项是行列式中 不同行不同列的三个元素的乘积,=,= n!项的代数和，每一项是行列式中 不同行不同列的n个元素的乘积,定义,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、 阶行列式是 项的代数和;,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,例1 计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例2 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3,
