1、,标题,正多边形与圆、 弧长与扇形的面积、 圆锥的侧面积与全面积,学习目标,3.会用圆锥侧面积计算公式计算有关问题。,2.会运用弧长计算公式、扇形面积公式计算有关问题。,1.了解正多边形的概念、正多边形与圆的关系，会判断一个正多边形是轴对称图形还是中心对称图形。会用两种方法画正多边形。,学习目标,1.正多边形的概念,各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.,2.正多边形与圆的关系,我们可以借助量角器将一个圆n(n3)等分,依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.,这个圆是这个正多边形的外接圆,正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.,？,正多边形的性质:,1.正多边形的各边相等
2、,各角相等.,2.正n边形是轴对称图形,有n条对称轴;但不一定是中心对称图形,除非n是偶数.,用量角器画正四边形、正六边形？,你能用尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？,O,A,B,C,E,F,D,以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形,你能用尺规作出正八边形吗？ 据此，你还能作出哪些正多边形？,A,B,C,D,O,只要作出已知O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与O相交，或作各中心角的角平分线与O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形,说说
3、作正多边形的方法有哪些?,归纳 ：（1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形,例1.有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).,.,O,B,C,r,R,P,解:,亭子的周长 L=64=24(m),把正多边形转化为直角三角形问题是解决正多边形问题的有效方法。,典型例题,？,使用给定的一种或几种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不相互重叠？结论：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个片面图形。,典型例题,例2（1）把
4、正三角形、正方形结合，是否能铺满地面？（2）把正三角形、正方形、正六边形三者结合能铺满地面吗？请你试试看。（3）用任意四边形能否铺满地面？请你试试看。,90+90+60+60+60=360,正方形、正三角形的组合。,正六边形、正方形和正三角形的组合。,任意四边形,小结：,当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个片面图形。,1.下列说法中正确的是( ) A.平行四边形是正多边形 B.矩形是正四边形 C. 菱形是正四边形 D.正方形是正四边形 2. 下列命题中,真命题的个数是 ( ) 各边都相等的多边形是正多边形; 各角都相等的多边形是正多边形; 正多边形一定是中
5、心对称图形; 边数相同的正多边形一定相似.A.1 B.2 C. 3 D. 4,D,A,及时反馈,3.已知正n边形的一个外角与一个内角的比为13,则n等于( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4.如果一个正多边形绕它的中心旋转90就和原来的图形重合,那么这个正多边形是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形,C,B,5.正多边形一定是_对称图形,一个正n边形共有_条对称轴,每条对称轴都通过_;如果一个正n边形是中心对称图形,n一定是_. 6.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转_度,才能与原来的图形位置重合. 7.两个正三角形的内切圆的半径分别为12和18,则它
6、们的周长之比为_,面积之比为_。,轴,n,中心,偶数,72,23,49,？,一、圆的周长公式,二、圆的面积公式,C=2r,S= r2,三、弧长的计算公式,四、扇形面积计算公式,例3；制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm),解：由弧长公式，可得弧AB 的长,答：管道的展直长度为2970mm,我们应该学会把实际问题转化为数学问题.,典型例题,典型例题,例4: 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m。求截面上有水部分的面积？,弓形面积可转化为扇形面积减去三角形面积来求解.,解：如图，连接OA、OB
7、，作弦AB的垂直平分线，垂足为D, 交 与点C。 OC=0.6 DC=0.3 OD=OC-CD=0.3 在RtOAD中，OA=0.6 利用勾股定理可得，AD=0.3 在RtOAD中,OD= OA OAD=30AOD=60AOB=120 有水部分的面积 S=S扇形OAB -SOAB,答：有水部分的面积为,1、已知扇形的圆心角为120，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=_ .,2、已知扇形面积为 ，圆心角为120，则这个扇形的半径R=_,2,3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，S扇=_,及时反馈,4. (2006,武汉)如图,A、B、C、D相互外离,它们的半径都是1,顺次连接
8、四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的面积之和是_.,5.（2007，山东）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位,6.如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于点D，求图中阴影部分的面积 ,分析：阴影部分的面积是不规则的图形，用扇形面积公式不可能直接用。这里AB是直径、又AB=AC,所以连接AD用割补法求出阴影部分的面积。,解：连接AD. 因为AB是直径，所以ADB=90。 又因为AB=AC，所以AD=BD= BC， 则弓形BED面积=弓形AFD的面积。 所以，S阴影=ACD的面积=
9、1,如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m。求截面上有水部分的面积？（精确到0.01m2),例1,解：,如图，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交 与点C。OC=0.6 DC=0.3 OD=OC-CD=0.3 在RtOAD中，OA=0.6 利用勾股定理可得，AD=0.3 在RtOAD中,OD= OA OAD=30AOD=60AOB=120 有水部分的面积 S=S扇形OAB -SOAB,C,D,练习园地,变式练习：（1）,思维激活：（1）弧长公式涉及三个量 弧长 圆心角的度数 弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量。（2）当问题涉及多个未知量
10、时，可考虑用列方程组来求解,1、已知扇形的圆心角为120，半径为2，则这个扇形的面积，S扇= .,2、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，S扇=,试一试,理一理,要选择合适的公式,3、已知扇形面积为 ，圆心角为120，则这个扇形的半径R=_,2,4、已知扇形面积为 ，这个扇形的半径 R=2，则圆心角为_,试一试,理一理,120,如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 ，问哪一把扇子扇面的面积大？,a,a,例题精选,等边三角形的边长为，求阴影部分的面积,分析,用割补计算阴影部分面积,做一做,.如图，A是
11、半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是O的切线，BC/OA，连结AC，则阴影部分面积等于 。,例2 我国著名的引水工程的主干线输水管的直径为2.5m,设计流量为12.73m3 /s.如果水管截面中水面面积如图所示,其中AOB=45,那么水的流速应达到多少m/s.,(精确到0.01m/s).,D,例题精选,1、如图，水平放置的一个油管的横截面半径为12cm,其中有油的部分油面高6cm,求截面上有油部分的面积(结果精确到1cm2).,O,A,B,C,D,做一做,变式：若求由优弧ACB和弦AB组成的阴影部分的面积，则,变式2：已知弓形的半径为12cm和弦AB的长为12 cm求弓形的面积。,cm,2
12、、AB、CD是半径为圆O的两条互相垂直的直径，以B为圆心作弧CED，求阴影部分的面积,4.已知：下图中等腰直角三角形ABC的直角边长均为2，求三个图中的阴影部分的面积。,2探索弧长及扇形的面积之间的关系，并能已知l、n、R、S中的两个量求另两个量,1探索扇形的面积公式 ，并运用公式进行计算,课堂回顾,3. 扇形的面积大小与哪些因素有关？,（1）与圆心角的大小有关,（2）与半径的长短有关,4. 扇形面积公式与弧长公式的区别：,5. 扇形面积单位与弧长单位的区别：,（1）扇形面积单位有平方的,（2）弧长单位没有平方的,扇形面积大小（ ）(A)只与半径长短有关(B)只与圆心角大小有关(C)与圆心角的
13、大小、半径的长短有关,C,B,C,课堂小测试,如图，三个同心扇形的圆心角AOB为120，半径OA为6cm，C、D是 的三等分点，则阴影部分的面积等于 cm2,思维激活：有关求阴影部分的面积，要将图形通过旋转、平移、翻折等变换，转化为可求的图形的面积。,3.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以 a/2 为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积。,4.如图：AB是半圆的直径，AB=2r, C、D是半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于,5.巧解难题：如图，扇形OAB的圆心角为90，半径为R，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P、Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P
14、和Q大小关系是（ ） A.P=Q B.PQ C.PQ D.无法确定,P,Q,A,h1,h2,r,圆锥的高,母线,我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线,连接顶点S与底面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高,思考圆锥的母线和圆锥的高有那些性质？,？,由勾股定理得：,如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, 表示圆锥的母线长,那么r,h, 之间有怎样的数量关系呢？,r2+h2= 2,R,母线的长=其侧面展开图扇形的半径,底面周长=侧面展开图扇形的弧长,如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r, (1)此扇形的半径(R)是 , (2)此扇形的弧长(L)是 , (3)
15、此圆锥的侧面积(S侧)是 ; (4)它的全面积(S全)是 .,圆锥的母线,圆锥的侧面积和全面积,是一个扇形.,圆锥底面的周长,圆锥的母线与扇形弧长积的一半,底面积与侧面积的和,圆锥的侧面展开图是什么图形?,考查与圆锥有关的计算,例5；小红准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽,如图,圆锥帽底面积半径为9cm,母线长为36cm,请你帮助他们计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为多少?,|-36cm-|,9cm,.,小结:此类问题可直接运用公式,但是扇形中的弧长与母线、半径之间的关系一定要清晰，不能混淆.,典型例题,例6：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角=144用这个扇形围成一个圆锥的侧
16、面. (1)求这个圆锥的底面半径r; (2)求这个圆锥的高.,A,C,O,B,r,典型例题,分析:此题把公式 进行灵活运用，n、R、r中知道两个就能求出另外一个。,解:,小结:圆锥的底面周长就是展开扇形的弧长，母线就是扇形的半径，一定要牢记。,例7:已知圆柱的轴截面ACBD,底面直径AC=6, 高为12cm，今有一蚂蚁沿圆柱侧面从A点 爬到B点觅食 问它爬过的最短距离应是多少？,B,D,A,C,动画,典型例题,分析: A,B两点之间的线段最短，把圆柱展开，侧面是长方形，线段AB就是最短距离.,解：,答：它爬过的最短距离是17.48cm,变式:如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底
17、面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？,分析：点B到AC的最短路线是点到线的距离那么垂线段最短。把圆锥展开，侧面是扇形。过点B作AC的垂线，垂足为D，即BD为最短路线。,解：过点B作BDAC，垂足为D，,小结:例7与变式的运用，都是把曲面问题转化为平面问题来处理。,答：它爬过的最短路线为,圆锥可以看做是一个直角三 角形绕它的一条直角边旋转 一周所成的图形,O,A,B,C,？,例8、已知：在RtABC, 求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。,分析：以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就
18、是求两个圆锥的侧面积。,B,C,A,典型例题,例8、已知：在RtABC, C=90, AB=13 cm, BC=5 cm 求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。,B,C,A,解：过C点作 ，垂足为 D点,所以,底面周长为,答：这个几何体的全面积为,所以S全面积,思考：如图，在RtABC中，ACB=90。,(1)分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗?,(2)以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？,(3)若AB=5，BC=4，你能求出题(2)中几何体的表面积吗？,C,B,A,（1）以BC为轴旋转一周所得的圆锥,B,A,C,以AC为轴旋转一周所得的圆锥,(2)以AB为轴旋转一周得到怎样的
19、几何体？,若AB=5，BC=4，则该几何体的表面积是：,扇形面积大小（ ）(A)只与半径长短有关(B)只与圆心角大小有关(C)与圆心角的大小、半径的长短有关,C,B,C,及时反馈,4.如图，把RtABC的斜边放在直线 上， 按顺时针方向转动一次,使它转到 ABC 的位置。若BC=1,A=30。求点A运动到A位置时，点A经过的路线长=_。,5.如图：AB是半圆的直径，AB=2r, C、D是半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于_.,1.了解正多边形的概念、正多边形与圆的关系，解决一些实际问题。 2会运用弧长及扇形的面积之间的关系，并能已知l、n、R、S中的两个量求另外两个量3.运用圆锥侧面积计算公
20、式解决有关实际问题。 4.渗透了转化的思想。（如将圆锥侧面通过展开转化为平面图形加以研究）,课堂小结,课堂小结,我们的认识,圆锥的高,母线,我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线,连接顶点S与底面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高,思考圆锥的母线和圆锥的高有那些性质？,由勾股定理得：,如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, 表示圆锥的母线长,那么r,h, 之间有怎样的数量关系呢？,r2+h2= 2,填空: 根据下列条件求值（其中r、h、 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） （1） = 2，r=1 则 h=_(2) h =3, r=4 则 =_(3) =
21、 10, h = 8 则r=_,5,6,圆锥的侧面展开图是扇形,其侧面展开图扇形的半径=母线的长l,l,侧面展开图扇形的弧长=底面周长,请推导出圆锥的侧面积公式.,S 侧 =rl (r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 ),圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积).,l,r,做一做,(2)已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个圆锥的侧面积为_，全面积为_,(1)已知一个圆锥的高为6cm，半径为8cm，则这个圆锥的母长为_,例1、圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高为38.7cm,求这个烟囱帽的面积（ 取3.14，结果保留2个有效数字）,解：l=80
22、，h=38.7,r=,S侧=rl3.1470801.8104（cm2）,答：烟囱帽的面积约为1.8104cm2。,l,h,r,例2：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角=144用这个扇形围成一个圆锥的侧面. (1)求这个圆锥的底面半径r; (2)求这个圆锥的高.,A,C,O,B,r,r=4,比一比,看谁做得快,1.圆锥的底面直径为80cm.母线长为90cm,求它的全面积. S全=5200 cm2,2.扇形的半径为30,圆心角为120用它做一个圆锥模型的侧面,求这个圆锥的底面半径和高. r=10;h=,做一做,例3、蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的.如果想在某个牧区搭建20个底面积为35m2,高为3.5m,外围高1.5m的蒙古包.那么至少需要用多少m2的帆布?(结果取整数).,r,h1,h2,S 侧 =rl (r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 ),圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积).,思考题：如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？,
