1、2013 中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析例 1 已知平面直角坐标系 xOy（如图 1） ，一次函数 的图像与 y 轴交于点 A，点 M34yx在正比例函数 的图像上，且 MO MA二次函数32yxy x2 bx c 的图像经过点 A、 M（1）求线段 AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函数的图像上，点 D 在一次函数 的图像上，且34yx四边形 ABCD 是菱形，求点 C 的坐标图 1解析（1）当 x0 时， ，所以点 A 的坐标为(0，3)， OA334yx如图 2，因为 MO MA，所以点 M 在 OA
2、 的垂直平分线上，点 M 的纵坐标为 将2代入 ，得 x1所以点 M 的坐标为 因此 3y 3(1,)21（2）因为抛物线 y x2 bx c 经过 A(0，3)、 M ，所以 解得,3,.2cb， 所以二次函数的解析式为 5b3c 253yx（3）如图 3，设四边形 ABCD 为菱形，过点 A 作 AE CD，垂足为 E在 Rt ADE 中，设 AE4 m， DE3 m，那么 AD5 m因此点 C 的坐标可以表示为(4 m，32 m)将点 C(4m，32 m)代入 ，得253yx解得 或者 m0（舍去） 23160m1因此点 C 的坐标为（2，2） 图 2 图 3考点伸展如果第（3）题中，把
3、“四边形 ABCD 是菱形”改为“以 A、 B、 C、 D 为顶点的四边形是菱形” ，那么还存在另一种情况：如图 4，点 C 的坐标为 72(,)416图 4 例 2 将抛物线 c1： 沿 x 轴翻折，得到抛物线 c2，如图 1 所示23y（1）请直接写出抛物线 c2的表达式；（2）现将抛物线 c1向左平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点从左到右依次为 A、 B；将抛物线 c2向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为 D、 E当 B、 D 是线段 AE 的三等分点时，求 m 的值；在平移过程中，是否存在以点 A
4、、 N、 E、 M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由图 1解析（1）抛物线 c2的表达式为 23yx（2）抛物线 c1： 与 x 轴的两个交点为(1，0)、(1，0)，顶点为2(0,3)抛物线 c2： 与 x 轴的两个交点也为(1，0) 、(1，0)，顶点23y为 (,)抛物线 c1向左平移 m 个单位长度后，顶点 M 的坐标为 ，与 x 轴的两个交点为(,3)m、 ， AB2(,0)A(,)B抛物线 c2向右平移 m 个单位长度后，顶点 N 的坐标为 ，与 x 轴的两个交点为(,)、 所以 AE(1 m)(1 m) 2(1 m)(1,)D(,)E
5、 B、 D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况：情形一，如图 2， B 在 D 的左侧，此时 ， AE6所以 2(1 m)6解23ABE得 m2情形二，如图 3， B 在 D 的右侧，此时 ， AE3所以 2(1 m)3解得 1图 2 图 3 图 4如果以点 A、 N、 E、 M 为顶点的四边形是矩形，那么 AE MN2 OM而 OM2 m23，所以 4(1 m)24( m23)解得 m1（如图 4） 考点伸展第（2）题，探求矩形 ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形 ABM 中，因为 AB2， AB 边上的高为 ，所以 ABM 是等边三角形3同理 DEN 是等边三角形当四边形 ANEM 是矩形时， B、 D 两点重合因为起始位置时 BD2，所以平移的距离 m1
