1、第 7 讲 奇偶性（一）整数按照能不能被 2 整除，可以分为两类：（1）能被 2 整除的自然数叫偶数，例如0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，（2）不能被 2 整除的自然数叫奇数，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被 2 整除，所以偶数可以表示为2n 的形式，其中 n 为整数；因为奇数不能被 2 整除，所以奇数可以表示为 2n+1 的形式，其中 n 为整数。每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：（1）两个奇偶性相同的数的
2、和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得
3、偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。（6）偶数的平方能被 4 整除；奇数的平方除以 4 的余数是 1。因为（2n） 2=4n2=4n2，所以（2n） 2能被 4 整除；因为（2n+1） 2=4n2+4n+1=4（n 2+n）+1，所以（2n+1） 2除以 4 余1。（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。（8）如果一个整数有奇数个约数（包括 1 和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码
4、，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。例 1 下式的和是奇数还是偶数？1+2+3+4+1997+1998。分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质（2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。11998 中共有 999 个奇数，999 是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。例 2 能否在下式的中填上“+”或“-”，使得等式成立？123456789=66。分析与解：等号左端共有 9 个数参加加、减运算，其中有 5 个奇数，4 个偶数。5 个奇数的和或差仍
5、是奇数，4 个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数=奇数”，所以题目的要求做不到。例 3 任意给出一个五位数，将组成这个五位数的 5 个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于99999？分析与解：假设这两个五位数的和等于 99999，则有下式：其中组成两个加数的 5 个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不会大于 9+9=18，竖式中和的个位数是 9，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之和等于 9。同理，十位、百位、千位、万位数字的和也都等于 9。所以组成两个加数的 10 个数码之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇数。另一方面，因为组成两个加数的 5
6、 个数码完全相同，所以组成两个加数的 10 个数码之和，等于组成第一个加数的 5 个数码之和的 2 倍，是偶数。奇数偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于 99999，所以假设不成立，即这两个数的和不能等于 99999。例 4 在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。分析与解：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手1 次，对于乙也是握手 1 次，两人握手次数的和是 2。所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次数一定是偶数。把聚会的人分成两类：A 类是握手次数是偶数的人，B 类是握手次数是奇数的人。A 类中每人
7、握手的次数都是偶数，所以 A 类人握手的总次数也是偶数。又因为所有人握手的总次数也是偶数，偶数-偶数=偶数，所以 B 类人握手的总次数也是偶数。握奇数次手的那部分人即 B 类人的人数是奇数还是偶数呢？如果是奇数，那么因为“奇数个奇数之和是奇数”，所以得到 B 类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论矛盾，所以 B 类人即握过奇数次手的人数是偶数。例 5 五（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有 50道试题。评分标准是：答对一道给 3 分，不答的题，每道给 1 分，答错一道扣 1 分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？分析与解：本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的
8、，所以应从每个人得分的情况入手分析。因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有 50 道题，50 个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。练习 71.能否从四个 3、三个 5、两个 7 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 22？2.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是 999。这位同学的计算有没有错？3.甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计
9、算出所有同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。游戏规则是：若积是偶数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。请说明谁将获胜。4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？5.A 市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题 30 道，记分方法是：底分 15 分，每答对一道加 5 分，不答的题，每道加 1 分，答错一道扣 1 分。如果有 333 名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由。7.红星影院有 19
10、99 个座位，上、下午各放映一场电影。有两所学校各有 1999 名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？ 第 8 讲 奇偶性（二） 例 1 用 09 这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？分析与解：有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果达到全部要求。这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放 5，6，7，8，9，而个位上放0，1，
11、2，3，4。根据奇数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是 1 和 3 的两个两位数。要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数，即个位数是 1，3 的两位数。所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换 5 与 4 的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是 4，6，7，8，9，个位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是（4+6+7+
12、8+9）10+（0+1+2+3+5）=351。例 2 7 只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的 2 只杯子。能否经过若干次翻转，使得 7 只杯子全部杯口朝下？分析与解：盲目的试验，可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有 7 只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为 5 只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数 0。也就是说，不可能使 7 只杯子全部杯口朝下。例 3 有
13、m（m2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？分析与解：当 m 是奇数时，（m-1）是偶数。由例 2 的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一开始 m 只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m-1）即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。当 m 是偶数时，（m-1）是奇数。为了直观，我们先从 m= 4 的情形入手观察，在下表中用表示杯口朝上，表示杯口朝下，每次翻转 3只杯子，保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如下：由上表看出
14、，只要翻转 4 次，并且依次保持第 1，2，3，4 只杯子不动，就可达到要求。一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。对于 m 只杯子，当 m 是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转 m 次，并且依次保持第 1，2，m 只杯子不动，这样在 m 次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次。综上所述：m 只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。当 m 是奇数时，无论翻转多少次，m 只杯子不可能全部改变初始状态；当 m 是偶数时，翻转 m 次，可以使 m 只杯子全部改变初始状态。例 4 一本论文
15、集编入 15 篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，15 页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？分析与解：可以先研究排版一本书，各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的，即排版奇数页的文章，第一面是奇数页码，最后一面也是奇数页码，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。一篇有偶数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇（偶）数页码，最后一面应是偶（奇）数页码，而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）数页码上。以上
16、说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章，只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上（如第 1 页），那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有 7篇这样的文章。然后考虑有奇数页的文章，第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数页码上，第三篇的第一面排在奇数页码上，如此等等。在 8 篇奇数页的文章中，有 4 篇的第一面排在奇数页码上。因此最多有 7+4=11（篇）文章的第一面排在奇数页码上。例 5 有大、小两个盒子，其中大盒内装 1001 枚白棋子和 1000 枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑
17、棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了 1999 次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？分析与解：大盒内装有黑、白棋子共 1001+1000=2001（枚）。因为每次都是摸出 2 枚棋子放回 1 枚棋子，所以每摸一次少 1 枚棋子，摸了 1999 次后，还剩 2001-1999=2（枚）棋子。从大盒内每次摸 2 枚棋子有以下两种情况：（1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋
18、子同是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。（2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒内少了一枚黑棋子。综合（1）（2），每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有 1000 枚即偶数枚黑棋子，摸了 1999 次，即改变了 1999 次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下 2 枚棋子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。例 6 一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，到这串数的第 1000 个数为止，共有多少个偶数？分析与解：首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。1+1=2，2+3=
19、5，3+5=8， 5+8=13，这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的加法性质，可以得出这串数的奇偶性：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，容易看出，这串数是按“奇，奇，偶”每三个数为一组周期变化的。10003=3331，这串数的前 1000 个数有 333 组又 1 个数，每组的三个数中有 1 个偶数，并且是第 3 个数，所以这串数到第 1000 个数时，共有 333 个偶数。练习 8 1.在 11，111，1111，11111，这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗？2.一本书由 17 个故事组成，各个故事的篇幅分别是 1，2，3，17页。这
20、 17 个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第 1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？3.桌子上放着 6 只杯子，其中 3 只杯口朝上，3 只杯口朝下。如果每次翻转 5 只杯子，那么至少翻转多少次，才能使 6 只杯子都杯口朝上？4.70 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的 3 倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，问：最右边的一个数是奇数还是偶数？5.学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还
21、是偶数？”小明说：“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是 100。”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？6.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到 88，66，99。问：原来写的三个整数能否是1，3，5？7.将 888 件礼品分给若干个小朋友。问：分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？第 9 讲 奇偶性（三）利用奇、偶数的性质，上两讲已经解决了许多有关奇偶性的问题。本讲将继续利用奇偶性研究一些表面上似乎与奇偶性无关的问题。例 1 在 77 的正方形的方格表中，以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子，要求每个方格
22、中放置不多于 1 枚棋子，且每行正好放 3 枚棋子，则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子，这是为什么？分析与解：题目说在指定的这条对角线上的格子里必定至少放有一枚棋子，假设这个说法不对，即对角线上没放棋子。如下图所示，因为题目要求摆放的棋子以 MN 为对称轴，所以对于 MN 左下方的任意一格A，总有 MN 右上方的一格 A，A 与 A关于 MN 对称，所以 A 与 A要么都放有棋子，要么都没放棋子。由此推知方格表中放置棋子的总枚数应是偶数。而题设每行放 3 枚棋子，7 行共放棋子 37=21（枚），21是奇数，与上面的推论矛盾。所以假设不成立，即在指定的对角线上的格子中必定至少有一枚棋子。
23、 例 2 对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为什么？分析与解：因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的 2倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为 1+2+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是 4 矛盾。所以不可能变成右上表。例 3 左下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？分析与解：如右上图所示，
24、将相邻的房间黑、白相间染色。无论从哪个房间开始走，因为总是黑白相间地走过各房间，所以走过的黑、白房间数最多相差 1。而右上图有 7 黑 5 白，所以不可能不重复地走遍每一个房间。例 4 左下图是由 14 个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成 7 个由相邻两方格组成的长方形？分析与解：将这 14 个小方格黑白相间染色（见右上图），有 8 个黑格，6 个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成 7 个小长方形，那么 14 个格应当是黑、白各 7 个，与实际情况不符，所以不能剪裁成 7 个由相邻两个方格组成的长方形。例 5 在右图的每个中填入一个自然数（可以相同），使得任意两个相邻的中
25、的数字之差（大数减小数）恰好等于它们之间所标的数字。能否办到？为什么？分析与解：假定图中 5 与 1 之间的中的数是奇数，按顺时针加上或减去标出的数字，依次得到各个中的数的奇偶性如下：因为上图两端是同一个中的数，不可能既是奇数又是偶数，所以5 与 1 之间的中的数不是奇数。同理，假定 5 与 1 之间的中的数是偶数，也将推出矛盾。所以，题目的要求办不到。例 6 下页上图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马。众所周知，马是走“日”字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？分析与解：马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交
26、点处相间标上和，图中共有 22 个和 23 个。因为马走“日”字，每步只能从跳到，或由跳到，所以马从某点跳到同色的点（指或），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有 23+22=45（个）点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。讨论：如果马的出发点不是在点上而是在点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的。但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了。从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44 点，要跳 44 步，44 是偶数，所以起点和终点应是同色的点（
27、指或）。因为 44 步跳过的点与点各 22 个，所以起点必是，终点也是。也就说是，当不要求回到出发点时，只要从出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。练习 9 1.教室里有 5 排椅子，每排 5 张，每张椅子上坐一个学生。一周后，每个学生都必须和他相邻（前、后、左、右）的某一同学交换座位。问：能不能换成？为什么？2.房间里有 5 盏灯，全部关着。每次拉两盏灯的开关，这样做若干次后，有没有可能使 5 盏灯全部是亮的？3.左下图是由 40 个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成 20 个相同的长方形？4.一个正方形果园里种有 48 棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见右上图）。
28、守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋。可以做到吗？5.红光小学五年级一次乒乓球赛，共有男女学生 17 人报名参加。为节省时间不打循环赛，而采取以下方式：每人只打 5 场比赛，每两人之间用抽签的方法决定只打一场或不赛。然后根据每人得分决定出前 5 名。这种比赛方式是否可行？6.如下图所示，将 112 顺次排成一圈。如果报出一个数 a（在 112之间），那么就从数 a 的位置顺时针走 a 个数的位置。例如 a=3，就从3 的位置顺时针走 3 个数的位置到达 6 的位置；a=11，就从 11 的位置顺时针走 11 个数的位置到达 10 的位置。问：a 是多少时，可以走到 7 的位置？
