1、第七章基本知识小结刚体的质心 定义： dmrmrcic /求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。刚体对轴的转动惯量 定义： rIrIi 22平行轴定理 Io = Ic+md2 正交轴定理 Iz = Ix+Iy.常见刚体的转动惯量：（略）刚体的动量和质心运动定理 ccamFvp刚体对轴的角动量和转动定理 IIL刚体的转动动能和重力势能 cpkmgyEI21刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程： cccIaF（不必考虑惯性力矩） 动能： 2121cckImvE刚体的平衡方程 ， 对任意轴 0F07.1.2 汽车发动机的转速在 12s 内由 1200rev/min 增加
2、到 3000rev/min.假设转动是匀加速转动，求角加速度。在此时间内，发动机转了多少转？解： 21260/)30( /7.5sradt r7.5)/)(2 1039.20 对应的转数= 414.39267.1.3 某发动机飞轮在时间间隔 t 内的角位移为。求 t 时刻的角速度和角加速度。):,(43stradctbat解： 232 16ctbcbdtdt A7.1.4 半径为 0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立 o-xy 坐标系，原点在轴上，x 和 y 轴沿水平和铅直向上的方向。边缘上一点 A 当 t=0 时恰好在 x 轴上，该点的角坐标满足 =1.2t+t 2 (:rad
3、,t:s)。t=0 时，自 t=0 开始转 45 时，转过 90 时，A 点的速度和加速度在 x 和 y 轴上的投影。 y解： o x0.2.1dtdttt=0 时， smRvyx /12.,22/.01. /4./smRavyynx =/4 时,由 =1.2t+t 2,求得 t=0.47s,=1.2+2t=2.14rad/ssvyx /15./.45sin0co222 222 2/18.0)4.0(1. )(45sinsi5sin/6. cocmRRayx =/2 时,由 =1.2t+t 2,求得 t=0.7895s,=1.2+2t=2.78rad/s222 /7.01.78. 0/sRav
4、vyx y7.1.5 钢制炉门由两个各长 1.5m 的平行臂 A CAB 和 CD 支承，以角速率 =10rad/s 逆时针转动，求臂与铅直成 45 时门中心 G 的速度和加 B D速度。解：因炉门在铅直面内作平动，所以门中 G心 G 的速度、加速度与 B 点或 D 点相同，而 B、D 两点作匀速圆周运动,因此，方向指向右下方，与水平方向成 45；smAvB/15.0，方向指向右上方，与水平方向成 452220aG7.1.6 收割机拨禾轮上面通常装 4 到 压板6 个压板，拨禾轮一边旋转，一边随收割机前进。压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割器，一方面把切下来 切割器的作物铺放在收割
5、台上，因此要求压板运动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反。已知收割机前进速率为 1.2m/s，拨禾轮直径 1.5m，转速 22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度。解：拨禾轮的运动是平面运动，其上任一点的速度等于拨禾轮轮心 C 随收割机前进的平动速度加上拨禾轮绕轮心转动的速度。压板运动到最低点时，其转动速度方向与收割机前进速度方向相反，压板相对地面（即农作物）的速度 smRvc /53.02.12.160负号表示压板挤压作物的速度方向与收割机前进方向相反。7.1.7 飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为 150cm，发动机转速 2000rev/min. 桨尖相对于飞机
6、的线速率等于多少？若飞机以 250km/h 的速率飞行，计算桨尖相对地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹。解：桨尖相对飞机的速度：smrv/3145.602桨尖相对地面的速度： ，飞机相对地面的速度与螺旋桨相对飞机的速机 地v度总是垂直的， sv/.9601253机 地所以， sm/6.3214. 2机 地显然，桨尖相对地面的运动轨迹为螺旋线7.1.8 桑塔纳汽车时速为 166km/h，车轮滚动半径为 0.26m，发动机转速与驱动轮转速比为 0.909, 问发动机转速为每分多少转？解：设车轮半径为 R=0.26m，发动机转速为 n1, 驱动轮转速为 n2, 汽车速度为v=166km/h。显然，
7、汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度，所以：90./21Rnv min/1054./436.4390.2.013 revhrevnRv 7.2.2 在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。圆锥体为匀质；密度为 h 的函数： = 0（ 1-h/L） , 0 为正常数。解：建立图示坐标 o-x,据对称性分析，质心必在 x 轴上,在 x 坐标处取一厚为 dx o r a x的质元 dm= r2dx，r/a=x/L，r=ax/L dm= a2x2dx/L2 h 圆锥体为匀质，即 为常数，总质量： LadxdmLa231022L质心： LdxxLLadxdmc 4303/23 LxLh0)1()(
8、00总质量： addLa20410332质心： dmxcx0547.2.3 长度为 L 的匀质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到下。求杆子的上端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式） 。解：设杆在 o-xy 平面内运动。因杆 y在运动过程中，只受竖直向上的支承力和竖直向下的重力的作用，在水平方向不受外力作用，v cx=0,acx=0，即质心 C 无水平方向的移动，只能逆着 y 轴作加速直线运动，直到倒在桌面上。 o x取杆的上端点的坐标为 x,y，匀质杆的质心在其几何中心，由图示的任一瞬间的几何关系可知：4x 2+y2=L2(x0,y0)7
9、.3.1 用积分法证明：质量为 m 常为 l 的匀质细杆对通过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量等于 ；用积分法证明：质量为 m 半径为 R 的匀质薄圆盘对通过中心且在盘21ml面内的轴线的转动惯量等于 241R证明：取图示坐标，在坐标 x 处取一线元， ，它对 y 轴的转动惯量为：dxlm，dxIlm2整个细杆对 y 轴的转动惯量： 21832/32/ )(|3lI llmllllm在坐标 x 处取细杆状质元， dxRdRdmm2222它对 x 轴的转动惯量： dxRI m2/323231212 )()()( xydx l/2-l/2xxR整个圆盘对 x 轴的转动惯量： RmdxI2/3232)
10、(为了能求出积分，作如下变换： xsin,cos32/32/322/32 )in()cos()( RRxR代入上式： 04320332 siiinddI mm据三角函数公式： co1c,os1si 22)4s()co1( )()sin 2123412cos1442s 24108102360232 )|sin|si(cosco2 mRddImRmR7.3.2 图示实验用的摆， l=0.92m,r=0.08m,ml=4.9kg,mr=24.5kg,近似认为圆形部分为匀质圆盘，长杆部分为匀质细杆。求对过悬点且与盘面垂直的轴线的转动惯量。 o解：摆对 o 轴的转动惯量 I 等于杆对 o 轴的转动惯量
11、Il 加上圆盘对 o 轴的转动惯量 Ir，即 I=Il+Ir.根据平行轴定理 2 222131223116 )08.9.(5408.549.04)(,)kgmrlrlIllrrlll 7.3.3 在质量为 M，半径为 R 的匀质圆盘上挖出半径为 r 的两个圆孔，圆孔中心在半径 R 的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。解：大圆盘对过圆盘中心 o 且与盘面 R垂直的轴线（以下简称 o 轴）的转动惯量 r r 为 .由于对称放置，两个小圆21I盘对 o 轴的转动惯量相等，设为 I，圆盘质量的面密度 =M/ R2，根据平行轴定理， 241221)()( rMrrI Rrolr
12、设挖去两个小圆盘后，剩余部分对 o 轴的转动惯量为 I” )/2(2“ 42121214 RrMrMRIIr 7.3.5 一转动系统的转动惯量为 I=8.0kgm2，转速为 =41.9rad/s，两制动闸瓦对轮的压力都为 392N，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为 =0.4 ，轮半径为 r=0.4m，问从开始制动到静止需多长时间？解：由转动定理： sradII /68.15,0.84392制动过程可视为匀减速转动， tst 7.2./941/7.3.6 匀质杆可绕支点 o 转动，当与杆垂直的冲力作用某点 A 时，支点 o 对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则 A 点称为打击中心。设杆长为 L，
13、求打击中心与支点的距离。 y解：建立图示坐标 o-xyz,z 轴垂直纸面向外。 N 据题意，杆受力及运动情况如图所示。由质心运 o x动定理： ac )1(,02LcmaFmgN由转动定理； A F31IAo把代入中，可求得 27.3.7 现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量。用轻线且尽可能润滑轮轴。两端悬挂重物质量各为 m1=0.46kg，m 2=0.5kg，滑轮半径为 0.05m。自静止始，释放重物后并测得 0.5s内 m2 下降了 0.75m。滑轮转动惯量是多少？解： T2 T1 x o Ra a y m2g m1g T2 T1 隔离 m2、m 1 及滑轮，受力及运动情况如图所示。对 m2、m
14、 1 分别应用牛顿第二定律：)();(12 aaT对滑轮应用转动定理： （3）RIT/(2质点 m2 作匀加速直线运动，由运动学公式： ，21aty22/065/70/ smtyamgm1m2闸瓦闸瓦由 、可求得 ,代入（3）中，可求得 amgT)()(121212 ，代入数据：212)(/)( RmagmI 22039.05.96.0.84. k7.3.8 斜面倾角为 ，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为 R，转动惯量为 I，受到驱动力矩 ，通过绳所牵动斜面上质量为 m 的物体，物体与斜面间的摩擦系数为 ，求重物上滑的加速度，绳与斜面平行，不计绳质量。解：隔离鼓轮与重物，受力分析如图， 其中 T
15、 为绳中张力，f= N 为摩擦力，重物上滑加速度与鼓轮角加 速度的关系为 a=R对重物应用牛二定律：T- N- mgsin=ma, N=mgcos，代入 前式，得 T- mgcos- mgsin=ma 对鼓轮应用转动定理：- TR=I=Ia/R 由联立，可求得重物上滑的加速度： 22)sinco(mRIg7.3.9 利用图中所示装置测一轮盘的转动 惯量，悬线和轴的垂直距离为 r，为减小因不计轴承摩擦力矩而 产生的误差，先悬挂质量较小的重物 m1，从距地面高度为 h 处由 静止开始下落，落地时间为 t1，然后悬挂质量较大的重物 m2，同 样自高度 h 处下落，所需时间为 t2，根据这些数据确定轮
16、盘的转 动惯量，近似认为两种情况下摩擦力矩相等。解：隔离轮盘与重物，受力及运动情况如 图示： f 为摩擦力矩，T 为绳中张力，a=r对轮盘应用转动定理：， ，两式相减，得：11If22ITf )/()(),()( 12121212 rTIIrT对重物应用牛顿二定律：，两式相减，可得：222111, rmaTgmragm，代入中，可得：)()( 122 T )/( 1221 rrI由运动学公式： ,/,21thattah，将角加速度代入中，得：2212,rttthamgTNfa T m1,m2hrTTmga fr)(2)()(/)()(21211222221121thtmrtgrmtrgrIrt
17、ht tht7.4.1 扇形装置如图，可绕光滑的铅直轴线 o 转动，其转动惯量为 I.装置的一端有槽，槽内有弹簧，槽的中心轴线与转轴垂直距离为 r。在槽内装有一小球，质量为 m，开始时用细线固定，使弹簧处于压缩状态。现在燃火柴烧断细线，小球以速度 v0 弹出。求转动装置的反冲角速度。在弹射过程中，由小球和转动装置构成的系统动能守恒否？总机械能守恒否？为什么？解：取小球、转动装置构成的物体系为研究对象。在弹射过程中，物体系相对竖直轴o 未受外力距作用，故物体系对转轴 o 的角动量守恒，规定顺时方向为正，有 v0 rIrmvrI /00在弹射过程中，物体系动能不 o I守恒，因弹力做正功使动能增加
18、；总机械能守恒，因为只有保守内力（弹力）做功。7.4.2 质量为 2.97kg，长为 1.0m 的匀质等截面细杆可绕水平光滑的轴线 o 转动，最初杆静止于铅直方向。一弹片质量为 10g，以水平速度 200m/s 射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角 . o 解：将子弹、杆构成的物体系作为研究对象，整个过程可分为两个阶段研究：第一阶段，子弹与杆发生完全非弹性碰撞， 获得共同的角速度 ，此过程时间极短，可认 为杆原地未动。由于在此过程中，外力矩为零， m v因此角动量守恒， 2312312 )(lMlmlvsradlMmv /01)3/97.20()3/(第二阶段，子弹与杆以共同的初角
19、速度 摆动到最大角度 ，由于在此过程中，只有重力做功，所以物体系的机械能守恒，物体系原来的动能等于重力势能的增量： 8635.011cos )cos1()cos()( .9)7.20(3/.2)2(3/321 2 gMml lgl=30347.4.3 一质量为 m1，速度为 v1 的子弹沿水平面击中并嵌入一质量为 m2=99m1，长度为L 的棒的端点，速度 v1 与棒垂直，棒原来静止于光滑的水平面上，子弹击中棒后共同运动，ml M求棒和子弹绕垂直与平面的轴的角速度等于多少？解：以地为参考系，把子弹和棒看 作一个物体系，棒嵌入子弹后作平面运动，可视为随质心 C 的 平动和绕质心 C 的转动，绕质
20、心 C 转动的角速度即为所求。据质心定义: CALOmA2910,2121 ， LLCOLA 05.49.5.0,495.02/9 据角动量守恒： )(22121 COmAvmLvLm/058. )05.9/49( (1 22217.5.1 10m 高的烟囱因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度，设倾倒时，底部未移动，可近似认为烟囱为匀质杆。解：设烟囱质量为 m，高为 h，质心高度 hC=h/2，对转轴的转动惯量，倒在地面上时的角速度为 231221)(hIh由机械能守恒： hghgIghC /3,231221 上端点到达地面时的线速度： smhv /.708.937.5.2 用四根质
21、量各为 m 长度各为 l 的匀质细杆制成正方形框架，可绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点 o 是光滑的。最初，框架处于静止且 AB 边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当 AB 边达到水平时，框架质心的线速度 vc 及框架作用于支点的压力 N.解：先求出正方形框架对支点 o 的转动惯量：Ep=023723421)(42 lIllIIolcco 设 AB 边达到水平位置时，框架的角速度为 ，据机械能守恒定律： 2372121)(mlImgolllvclg7321712,AB 边在水平位置时，框架所受到的向上的支撑力 N 和向下的重力 W 的作用线均通过支点 o，对 o 轴的力矩为零，据转动定理，
22、框架的角加速度为零，a c= 2l/2=6g/7，方向向上。规定向上方向为正，对框架应用质心运动定理： mggNmgNc 73676)1(444 ABB AoOCA m2,Lv1m1据牛顿第三定律，支点受到的压力，大小等于 N，方向向下。7.5.3 由长为 l，质量为 m 的匀质细杆组成正方形框架，其中一角连于水平光滑转轴O，转轴与框架所在平面垂直，最初，对角线 OP 处于水平，然后从静止开始向下自由摆动，求 OP 对角线与水平成 45时 P 点的速度，并求此时框架对支点的作用力。解：先求出框架对 O 轴的转动惯量：据平行轴定理， 23102241212 )()(4 mllllCI 设对角线
23、OP 转过 45后框架的角速度为 ，且势能为零，由机械能守恒： 235212,)5sin( lmgImgl lvplgl 566,设支点 O 对框架的作用力为 N，由定轴转动定理：= I ，质心的法向加速度 glalgmlI 10232,3/10245sin62lgCan在 方向应用质心运动定理： ， nnmagN45cos4ggmNn 2)2(25642在 方向应用质心运动定理： ag45sin4mg)56(1034，设与- 方向夹角为 ，gNn32.232 79.|/|arctarctg7.5.4 质量为 m 长为 l 的匀质杆，其 B 端放在桌上，A 端用手支住，使杆成水平。突然释放 A
24、 端，在此瞬时，求： 杆质心的加速度，杆 B 端所受的力。解：以支点 B 为转轴，应用转动 B A定理： ，质lglg232312心加速度 ，方向向下。 xalc4设杆 B 端受的力为 N，对杆应用 y质心运动定理：N y=0，O PCn 4mgNNx - mg = - m ac , Nx = m(g ac) = mg/4 N = mg/4，方向向上。7.5.5 下面是匀质圆柱体在水平地面上作无滑滚动的几种情况，求地面对圆柱体的静摩擦力 f.沿圆柱体上缘作用一水平拉力 F,柱体作加速滚动。水平拉力 F 通过圆柱体中心轴线，柱体作加速滚动。不受任何主动力的拉动或推动，柱体作匀速滚动。在主动力偶矩
25、 的驱动下加速滚动，设柱体半径为 R。解：规定前进方向和顺时针方向为正方向。假设静摩擦力方向向后，其余受力情况如图所所示。对每种情况，都可以根据质心定理、绕质心轴的转动定理和只滚不滑条件，建立三个 方程求解。 RamRfFaf cc ,)(,21可求得 f = - F/3,负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。 fcc,21可求得 f = F/3,正号说明静摩擦力方向与假设方向相同，向后。 a c = 0 , f = 0 ,求得 RamfRcc ,21 Rf32负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。7.5.6 板的质量为 M，受水平力 F R 的作用，沿水平面运动，板与平面间的 M
26、2 F摩擦系数为 .在板上放一半径为 R 质量为 M2 的实心圆柱，此圆柱只滚动不滑动。求板的加速度。解：隔离圆柱，其受力及运动情况如图 所示，其中 ac 为质心对地的加速度， 为相对质心的角加速度，f 2、 N2 分别为板施加给 W2 ac 圆柱的静摩擦力和压力。 f2由质心定理： N2 )(),1(22gMfc对质心应用转动定理： N1 32Rf隔离木板，其受力及运动情况如图所示， f2 F 其中 a 为板对地的加速度，f 1、 N1 分别为水平 f1= N1 Mg面施加给板的滑动摩擦力和压力。 N2 a 应用牛顿第二定律（或质心定理）：)4(21MgN)5(21MfFmgfN F(1)F
27、(2)C圆柱在木板上只滚不滑的条件是：a = a c + R (6) (圆柱与板接触点对地的加速度等于质心加速度加上绕质心转动的加速度，即 ac+ R，它必须等于木板对地的加速度 a,才能只滚不滑)将（2）代入（4）求得：N 1=(M+M2)g；由（1） （3）可解得，2a c=R 与（6）联立，可求得，a c=a/3, 代入（1）中，f 2 = a M2 /3；将 N1、 f2 代入（ 5）中，有3)(32)( MgFgMF7.5.7 在水平桌面上放置一质量为 m 的线轴，内径为 b，外径为 R,其绕中心轴转动惯量为 mR2/3,线轴和地面之间的静摩擦系数为 。线轴受一水平拉力 F,如图所示
28、。使线轴在桌面上保持无滑滚动之 F 最大值是多少？若 F 和水平方向成 角，试证，cos b/R 时，线轴向前滚；cosb/R 时，线轴向后滚动。y解：可将（1）看作（2）的特殊 F情况。建立图示坐标，z 轴垂直纸面 C b R x 向外，为角量的正方向。根据静摩擦 力的性质，可知其方向与 F 水平分量 f 方向相反。设线轴质心的加速度为 a，绕质心的角加速度为 。由质心定理： )2(sin)1(cos FmgNf由转动定理： 323RFb只滚不滑：a+ R=0 (4) 由,联立，可求得： )cos3()cos(,)(cos 44343 Rbfa FRbmFRbm F 为水平拉力时，即 mgR
29、),1. gRb34 若 ，即线轴向前滚；0,cosa若 ，即线轴向后滚。Rb7.5.9 一质量为 m,半径为 r 的均质实心小球沿圆弧形导轨自静止开始无滑滚下，圆弧形导轨在铅直面内，半径为 R。最初，小球质心与圆环中心同高度。求小球运动到最低点时的速率以及它作用于导轨的正压力。解：设小球运动到最低点时，其质心速度为 v，绕质心转动的角速度为 ，由机械能守恒，有 252121)()(mrvrmg只滚不滑条件： =v/r,代入上式，可求得 grRv)(107在最低点应用质心运动定理： )/(2rRmvgN，作用于导轨的正压力与此等大，方向rRvgmN731072)()/(向下。7.6.1 汽车在
30、水平路面上匀速行驶，后面牵引旅行拖车，假设拖车仅对汽车施以水平向后的拉力 F.汽车重 W,其重心与后轴垂直距离为 a,前后轴距离为 l，h 表示力 F 与地面的距离。问汽车前后论所受地面支持力与无拖车时有无区别？试计算之。解：隔离汽车，受力情况如图所示（摩擦力没 C F有画出，因与此题无关） 。 h 在竖直方向应用力平 N1 W a N2 衡方程： )(21N以前轮为支点，由力矩平衡方程， )()(2Fhl由（2）解得： Fhla/)/1(2将 N2 代入(1)中得： W令 F=0，即得到无拖车时前后轮的支持力 N1和 N2。显然，有拖车时，前轮支持力减小，后轮支持力增大。7.6.3 电梯高
31、2.2m，其质心在中央，悬线 亦在中央。另有负载5010kg，其重心离电梯中垂线相距 0.5m。问 当电梯匀速上升时，光滑导轨对电梯的作用力，不计摩擦（电梯仅 在四角处受导轨作用力） ；当电梯以加速度 0.05m/s2 上升时，力如 何？ 解：以 o 为轴,据力矩平衡条件： mgbNllmgbN3104./5.08915/ 设电梯的加速度为 a，以电梯为参考系，负载除受重力外，还受惯性力作用 f*=ma,方向向下, 据力矩平衡条件： bagmNl)(Nlbg 3109.2/5.08.9150/)( llmgMgNo7.7.1 环形框架质量为 0.20kg，上面装有质量为 1.20kg 的回转仪
32、，框架下端置于光滑的球形槽内，回转仪既自传又旋进，框架仅随回转仪的转动而绕铅直轴转动，回转仪自身重心以及它连同框架的重心均在 C 点，C 点与 转动轴线的垂直距离为r=0.02m，回转仪绕自转轴的转动惯量为 4.810-4kgm2,自转角速度为 120rad/s. 求旋进角速度；求支架 球形槽对支架的总支承力。解：根据旋进与自旋的关系式： sradIgrmI /76.41208.4.9)0()( 421 把回转仪与支架当作一个系统，设球形槽对支架的支承力为 N，整个装置的质心 C 相对竖直轴做匀速圆周运动，由质心运动定理： Nzxzx 7363.0)()( 2221 2与竖直轴夹角 610ar
33、ctgrctzx第八章基本知识小结弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，用 表示；如果内力方向在面元内，就叫切应力，用 表示。应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果 l0 表示原长，l 表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变 = l /l0；在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角 表示。力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。在拉压形变中表示为 = Y，Y 是由材料性质决定的杨氏模量，在剪切形变中表示为 =
34、N ，N 是由材料性质决定的切变模量。发生形变的弹性体具有形变势能：拉压形变的形变势能密度 ，210Ep剪切形变的形变势能密度 。2N梁弯曲的曲率与力偶矩的关系 3YbhkxzrNC(m1+m2)g杆的扭转角与力偶矩的关系 lNRC2,48.1.1 一钢杆的截面积为 5.010-4m2，所受轴向外力如图所示，试计算 A、B ，B、C和 C、D 之间的应力。 NFNF4434241 103,105,108,06 解： E G HF1 F2 F3 F4A B C D根据杆的受力情况，可知杆处于平衡状态。分别在 AB 之间 E 处，BC 之间 G 处，CD之间 H 处作垂直杆的假想截面 S。隔离 A
35、E 段，由平衡条件，E 处 S 面上的内力 F=F1,A、B 之间的应力 2810.561 /./4mNFS隔离 AG 段，由平衡条件，G 处 S 面上的内力 F=F2-F1,B、C 之间压应力 2810.5)68( /.412s隔离 HD 段，由平衡条件，H 处 S 面上的内力 F=F4,C 、D 之间的应力 2810.534 /./4mNSF8.1.2 利用直径为 0.02m 的 C钢杆 CD 固定刚性杆 AB.若 CD 杆内的应力不得超过 max=16107Pa T.问 B 处最多能悬挂多大重量？ A D B解：隔离 AB，以 A 点为轴，由力矩平衡条件，有 WT39.0)6.01(.2
36、8.01 隔离 CD，杆 CD 应力 =T/S, T= S=(D/2) 2.杆能承受的最大拉力 N47241max4ax 15.32 DB 处能悬挂的最大重量 Tmaxax096.08.1.3 图中上半段为横截面等于 4.010-4m2且杨氏模量为 6.91010Pa 的铝制杆，下半段为横截面等于 1.010-4m2 且杨氏模量为 19.61010Pa的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为 7.8107Pa,0.8m1.0m 0.6mW3m2m钢杆内允许最大应力为 13.7107Pa.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。 F解：设铝杆与钢杆的长度、横截面、杨氏模量、应
37、力分别为：l1、 S1、 Y1、 1， l2、 S2、 Y2、 2., 显然， 1=F/S1， 2=F/S2.设铝杆和钢杆所能承担的最大负荷分别为 F1max，F 2max，则NF 4471maxax1 0.30.8. S22 1713整个杆的最大负荷应取钢杆的最大负荷： F4max.根据拉伸形变的胡克定律，对于铝杆 ，所以，11lSY；对于钢杆，同样有 . 整个杆的伸长量是：1maxSYlF2maxlFl(ax2ll1SYl)2l 310.6.90.49.634 089.)37. 41 8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂。电梯质量为 500kg。最大负载极限5.5kN。每根钢索都
38、能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的 70%，若电梯向上的最大加速度为 g/5,求钢索直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为 6.0108Pa. T T T解：设每根钢索承受拉力为 T,电梯自重为W=mg,负荷为 W=mg.由牛顿第二定律， NWmggWT3331 106.4)105.890(4. ()2. ).(设钢索直径为 D，每根钢索的应力 2)5.(DTmT15.6015.67./(2)/(3 838.1.5 矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为 ，此材料的泊松系数为 ，求证杆体积的相对改变为 (V-V0)/V0=(1-2)，V 0 表示原体即，V 表示形变
39、后体积. 上式是否适用于压缩？低碳钢杨氏模量为 Y=19.61010Pa，泊松系数 =0.3，受到的拉应力为 =1.37P a，求杆件体积的相对改变。解：设杆原长为 l0，矩形截面两边原长分别为 a0 和 b0，据线应变定义：轴向应变，横向应变 ，所以：0l01aba WW，由泊松系数定义 ，拉伸时，0, 01010 )(,)(,)1( ball |1 10, 仍有 1=- 成立，因此上式对压缩情况仍然适用据胡克定律 Y/,12100 8.6.9)3.2(7)2( YV8.1.6 杆受轴向拉力 F，其横截面为 S，材料的重度（单位体积物质的重量）为，试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为 。
40、杆内应力如上式，xSF)(试证明杆的总伸长量 YlSlF2x证明：建立图示坐标 o-x，在坐标 x 处取一截面 S，隔离 o、x 段杆，由平衡条件，截面 x dxS 上的内力 F=F+ Sx ，据应力定义FSFxSF考虑 x 处的线元 dx，该线元在重力作用下的绝对伸长为 dl,据胡克定律， dxYYdlYdl /)/(/,/ 积分： 20)(l lSlFlSFx8.2.1 在剪切材料时，由于刀口不快，没有切断，该钢板发生了切变。钢板的横截面积为 S=90cm2.两刀口间的垂直距离为 d=0.5cm.当剪切力为 F=7105N 时，求：钢板中的 d切应力，钢板的切应变，与刀口相齐的两个截面所发
41、生的相对滑移。已知钢的剪切模量 N=81010Pa。解：据切应力定义 271097/8.45 mSF据胡克定律， radNN4. 109107 cdll 455/ o8.3.1 一铝管直径为 4cm，壁厚 1mm，长 10m，一端固定，而另一端作用一力矩50Nm，求铝管的扭转角 ；对同样尺寸的钢管再计算一遍，已知铝的剪切模量N=2.631010Pa，钢的剪切模量为8.01010Pa解：设管的半径为 R, 管壁厚 d，管长为 l, 外 力矩为 M，由于dR，可认为管壁截面上各处的切应力大小相等， 设为 ，在平衡状态下，内、外力矩相等： )2/(,)2(dRRd据剪切形变的胡克定律： dNRN2,
42、radRMll376.0 011065.243233 对于钢管： rad4.01.2.10.842538.3.2 矩形横截面长宽比为 2:3 的梁，在力偶矩作用下发生纯弯曲，各以横截面的长和宽作为高度，求同样力偶矩作用下曲率半径之比。解：设梁衡截面长为 2d, 宽为 3d，据梁纯弯曲的曲率公式： )12/(,/1)/(1233 YbhRYbhk以 2d 为梁的高： d以 3d 为梁的高： )/(3)(29471832R8.3.3 某梁发生纯弯曲，梁长度为 L,宽度为 b，厚度为 h，弯曲后曲率半径为 R,材料杨氏模量为 Y,求总形变势能。解：建立图示坐标 o-x, 原点 o 在中性层。梁的弯曲
43、 R 是由不同程度的拉伸压缩形 b变组成。在坐标 x 处，取一体元dv=bLdx ，其应变 x x RxxR)(其形变势能密度 21210)(pYE其形变势能 .dxbLYdERLbYRxp 221)(在整个梁中积分，即得到整个梁的形变势能 2/243hRhbLYRLbYp第九章基本知识小结物体在线性回复力 F = - kx，或线性回复力矩 = - c 作用下的运动就是简谐振动，其动力学方程为 （x 表示线位移或角位移） ；弹簧振子： 02=k/m，单,02dtx摆： 02=g/l，扭摆： 02=C/I.简谐振动的运动学方程为 x = Acos( 0t+) ；圆频率、频率、周期是由振动系统本身
44、决定的， 0=2/T=2 v ；振幅 A 和初相 由初始条件决定。在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变；对于弹簧振子，。202121mkAEpk两个简谐振动的合成分振动特点 合振动特点方向相同，频率相同 与分振动频率相同的简谐振动=2n 合振幅最大=(2n+1) 合振幅最小方向相同，频率不同，频率成整数比不是简谐振动，振动周期等于分振动周期的最小公倍数方向相同，频率不同，频率较高，又非常接近出现拍现象，拍频等于分振动频率之差方向垂直，频率相同 运动轨迹一般为椭圆=2n 简谐振动（象限）=(2n+1) 简谐振动(象限)方向垂直，频率不同，频率成整数比利萨如图形，花样与振幅、频率、初相有关阻尼振动的动力学方程为 。022xdttx其运动学方程分三种情况：在弱阻尼状态（ 0） ，振动的方向变化有周期性，对数减缩 = T.2),cos( tAext在过阻尼状态（ 0） ，无周期性，振子单调、缓慢地回到平衡位置。临界阻尼状态（= 0） ，无周期性，振子单调、迅速地回到平衡位置受迫振动动
