1、1164-23 在带钢热轧过程中，用于保持恒定张力的控制系统称为“环轮” ，其典型结构图如图 4-47 所示。环轮有一个 长的臂，其末端有一卷轴，通过电机可将环轮升起，0.6m.9以便挤压带钢。带钢通过环轮的典型速度为 。假设环轮位移变化与带钢张力的10.6s变化成正比，且设滤波器时间常数 可略去不计。要求：T(1) 概略绘出 时系统的根轨迹图；0aK(2) 确定增益 的取值，使系统闭环极点的阻尼比 。0.7+滤波器 210sT电机放大器 aKs发电机 1s电机 .251s轧辊 sRs C+(b)图 4-47 轧钢机控制系统解 本题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择。(1) 绘系统根轨迹图电机
2、与轧辊内回路的传递函数 1 20.250.5Gss令 ，系统开环传递函数为0T2 20510.51aKsKsss式中， 。概略绘制根轨迹图的特征数据为：0.5aK渐近线：交点与交角2.50.64a45,13a分离点：由 120.dd解出 。根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程 20.51ssK432.0列劳思表1171 2 4s K2.5 0.531.8 2s 10.92518K0s令 ，得 。令0.925K.362180s代入 及 ，解出 。交点处sj.0.47.aK系统概略根轨迹图如图(a)所示。- 11- 0 . 5j0.2d0- 2 - 11.62a- 0 . 4 4 70 . 4 4 71
3、s0.72K图(a) 概略根轨迹图(2) 确定使系统 的0.7aK在根轨迹图上，作 阻尼比线，得系统主导极点1,20.5.1sj利用模值条件，得 处的 ；分离点 处的 。由于 ，1s.6Kd0.387K2aK故取 ，可使 ；取 ，可使 。0.740.4a74a120.51as118(3) MATLAB 验证时，系统主导极点及增益和根轨迹分离点处系统增益如图(b)所示；系统根0.7轨迹图如图(c)所示。分别令 为 0.05，0.11，0.4 和 0.8，系统的单位阶跃响应如图(d)所aK示。时，系统动态性能 0.1aK%2.17,27.6sst=%时， 系统动态性能 45359sMATLAB 程
4、序：exe423.m% 建立等效开环传递函数模型G=zpk(, -0 -0.5 -1 -1, 1); z=0.707;% 绘制相应系统的根轨迹figure (1) rlocus(G); sgrid(z,new) % 取阻尼比为 0.707 axis(-0.5 0.1 -0.3 0.3)figure (2) K=0.0612; % 最佳阻尼比对应的根轨迹增益hold on; rlocus(G,K) % 阻尼比为 0.707 时, 系统的闭环特征根axis(-1.5 0.5 -1 1)rlocus(G); % Ka=0.05，0.11，0.4，0.8 时的阶跃响应Ka=0.05; % Ka 可相应
5、设置numc=0.5*Ka; denc=1 2.5 2 0.5 0;num, den=cloop(numc, denc); % 系统闭环传递函数roots(den); % 系统闭环极点sys=tf(num, den); t=0:0.01:120;figure(3)step(sys,t); grid on;119图(b) 确定 以及分离点处的 (MATLAB)0.7aK图(c) 轧钢机系统根轨迹图 (MATLAB)(1) (2) 0.5aK0.1aK(3) (4) 0.4aK0.8aK图(d) 轧钢机系统时间响应 (MATLAB)4-24 图 4-48(a)是 鱼鹰型倾斜旋翼飞机示意图。 既是一
6、种普通飞机，又2V2V120是一种直升机。当飞机起飞和着陆时，其发动机位置可以如图示那样，使 像直升机2V那样垂直起降；而在起飞后，它又可以将发动机旋转 ，切换到水平位置，像普通飞机90一样飞行。在直升机模式下，飞机的高度控制系统如图 4-48(b)所示。要求：(1) 概略绘出当控制器增益 变化时的系统根轨迹图，确定使系统稳定的 值范围；1K1K(2) 当去 时，求系统对单位阶跃输入 的实际输出 ，并确定系12801rtht统的超调量和调节时间 ；%(3) 当 ， 时，求系统对单位阶跃扰动 的输出 ；1Krt Nsnt(4) 若在 和第一个比较点之间增加一个前置滤波器Rs20.51pGss试重
7、作问题(2)。(b) 控制系统图 4-48 V-22 旋翼机的高度控制系统解 本题属于应用根轨迹法设计系统参数的综合性问题，其中包括引入前置滤波器，以抵消闭环零点的不利影响，改善系统性能。(1) 绘制系统的根轨迹图由图 4-48(b)，系统开环传递函数 21.500.1KsGss.52s式中 10.K渐近线：交点与交角.325a90a分离点： 1110.5ddd NsRs Hs控 制 器 211.50.5Kss 飞 机 动 力 学 模 型120100.51sss高 度1210.2d根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程 0.5.1.510ssKs整理得 4322.1.0K列劳思表1 4s .350.5
8、2.15 3 012s0.32K.1 26.453.0s令 ，解得2.453.60.3K， 1521.368K令 ，代入 、 及 ，解得20ssj， 10.920.97绘出系统概略根轨迹图，如图(a)所示。- 0 . 1j0- 0 . 0 5- 0 . 5- 1- 2.32as2d0 . 0 90 . 9 7 721.501.sKs122图(a) 概略根轨迹图由于 ，因此使系统稳定的 值范围为： 以及 。10K1K10.5136.8K应用 MATLAB 软件包，得到系统根轨迹图如图 (b)所示。图(b) 根轨迹图 (MATLAB)(2) 当 时，确定系统单位阶跃输入响应1280K应用 MATL
9、AB 软件包，得到单位阶跃输入时系统的输出响应曲线，如图(c)-(1)中虚线所示。由图可得， %9.143.9sst2%显然，系统动态性能不佳。(3) 当 时，确定系统单位阶跃扰动响应1280K应用 MATLAB 软件包，得到单位阶跃扰动输入下系统的输出响应曲线，如图(c)-(2)所示。由图可见，扰动响应是振荡的，但最大振幅约为 0.003，故可略去不计。(1) 单位阶跃输入响应 (2) 单位阶跃扰动响应图(c) V-22 旋翼机的高度时间响应 (MATLAB)21.501.ss123(4) 有前置滤波器时，系统的单位阶跃输入响应（ ）1280K无前置滤波器时，闭环传递函数 1432.80.5
10、24ss s有前置滤波器 时，闭环传递函数20.5pG1pss432.42.50.1.4s可见， 与 有相同的极点，但 有 和 两个闭环零点，虽可加快响1s2 1s5应速度，但却极大增加了振荡幅度，使超调量过大；而 的闭环零点被前置滤波器完2s全对消，因而最终改善了系统动态性能。应用 MATLAB 软件包，得有前置滤波器时系统的单位阶跃响应如图(c)-(1)中实线所示，其， %7.0825.8sst2%MATLAB 程序：exe424.m% 建立等效开环传递函数模型G=zpk(-0.5 -1, 0 -0.05 -0.1 -2, 1); % 绘制相应系统的根轨迹figure rlocus(G);
11、 axis( -1.5,1.5,-1.5,1.5 ); % 系统输入时间响应% 原系统K=280;num1=K 1.5*K 0.5*K; den1=0 0 1 0;num2=1; den2=100 215 30.5 1;numc, denc=series(num1,den1,num2,den2);numr, denr=cloop(numc,denc);sysr=tf(numr, denr) ; t=0: 0.01:80; figurestep(sysr,t); hold on; % 添加前置滤波器numf=0.5; denf=1 1.5 0.5;num, den=series(numr,den
12、r,numf,denf);sys=tf(num, den) ; step(sys,t); grid % 系统扰动时间响应K=280;124numh=K 1.5*K 0.5*K; denh=0 0 1 0;numg=1; deng=100 215 30.5 1;numn,denn=feedback(numg,deng,numh,denh);sysn=tf(numn, denn) figurestep(sysn,t); grid4-25 在未来的智能汽车-高速公路系统中，汇集了各种电子设备，可以提供事故、堵塞、路径规划、路边服务和交通控制等实时信息。图 4-49(a)所示为自动化高速公路系统，图
13、4-49(b)给出的是保持车辆间距的位置控制系统。要求选择放大器增益 和速度反馈系aK数 的取值，使系统响应单位斜坡输入 的稳态误差小于 0.5，单位阶跃响应的tK21Rs超调量小于 ，调节时间小于 。10%2=5%Rs CsaK37s位置1st速度(b) 车辆间距控制系统图 4-49 智能汽车- 高速公路系统解 本题应用等效根轨迹技术及 MATLAB 设计软件包，确定多个系统参数的取值。设计过程中，需要综合运用劳思稳定判据、稳态误差计算法、主导极点法以及动态性能估算法等知识。(1) 稳定性要求由图 4-49 (b)知，速度反馈内回路传递函数 137ataKGss开环传递函数 210atass
14、211tattKss式中，速度误差系数 2avtK闭环传递函数125210ataKss32atas首先， 和 的选取应保证闭环系统具有稳定性。列劳思表如下：tKa1 3s2taK10 21s0aK由劳思稳定判据知：使闭环系统稳定的充分必要条件是， aK1020taK也即， 0a 21.ta(2) 稳态误差要求根据系统在单位斜坡输入下的稳态误差要求 210.5tasvKe导出 0.5at由于要求 ，故应有 ，因此要求0aK.tK210.5ta从系统稳态性能（稳定性与稳态误差）考虑， 和 的选取应满足tK0a21210.5.taa210ta126由于 ，故应有 。于是， 和 选取时应满足的条件可进
15、一步表示为0tK42atKa4210.5ta显然，取 ， 是一组允许值。 的最终确定，可根据对系统0.25tK2184.atKaK动态性能要求去选取。(3) 动态性能要求对于二阶系统，若取阻尼比 ，则0.6%9510因为要求3.2st=故应保证 。1.75在 平面上，作了 和 扇形区，令 ， 从 ，作系统s0.61.750.25tKa根轨迹。在根轨迹图上， 的最终确定应使闭环极点位于扇形区域内。闭环特征方程aK32.4aDsss等效根轨迹方程 41037s式中， 。根轨迹参数：0.25aK渐近线：3a90a分离点：由 1174dd解出 。.8127- 2- 424- 2- 4- 6j1s2s3
16、s.78d- 66- 7- 80.6.5图(a) 概略根轨迹图系统等效根轨迹如图(a)所示。图中，复数根轨迹分支与 阻尼比线的交点为0.61,2.53sj点处的根轨迹增益 ，相应的1s.5K860.2a.0241avtK根据模值条件 ，可以确定第三个闭环极点 。此时系统的近似性能21.5K3.9s%9.503142st=5%.90sveK满足全部设计指标要求。基于 MATLAB 软件包，图 (b)给出 时的根轨迹增益，用以确定 值；车辆间.6aK距控制系统根轨迹图，如图(c)所示，图中三角形表示 时系统的闭环极点。0.6(4) 设计指标验证410.257asK128由于实际系统为无有限零点的三
17、阶系统，负实极点 会增大系统阻尼，减小34.92s超调量。这里仅验证设计指标中的动态性能。作 MATLAB 仿真，可得实际系统的单位阶跃输入响应，如图(d)所示。由图(d)可得系统的动态性能； %51.6sst=2%即； .8st5结果满足设计指标要求。MATLAB 程序：exe425.m% 建立等效开环传递函数模型G=zpk(-4, 0 -3 -7, 1); z=0.6;% 绘制相应系统的根轨迹figure (1) rlocus(G); sgrid(z,new) % 取阻尼比为 0.6 axis(-5.5 0.5 -6 6)figure (2) K=21.5; rlocus(G); % 最佳
18、阻尼比对应的根轨迹增益hold on; rlocus(G,K) % 阻尼比为 0.6 时, 系统的闭环特征根% 控制系统的阶跃响应Ka=86; Kt=0.25;numc=Ka; denc=1 10 21+Ka*Kt 0; % 系统开环传递函数num, den=cloop(numc, denc); % 系统闭环传递函数roots(den); % 系统闭环极点sys=tf(num, den); t=0:0.005:5;figure(3)step(sys,t); grid on;图(b) 确定 处的 (MATLAB)0.6aK129图(c) 控制系统根轨迹图 (MATLAB) 图(d) 控制系统的单位阶跃响应 (MATLAB)
