1、数学（文科）试题答案 第 1 页，共 8 页 惠州市 2019 届高三第三次调研考试 文 科数学参考答案及评分标准 一、 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C D C D C A C A B D 1.【解析】 | 2 1 , | 0A x x B x x= = ， 集合 |2A B x x = 故选 B 另解：由 B 是 A B 的子集，所以选项中包含必有（ 0,+）， 排除选项 ACD， 故选 B 2.【解析】 s i n 4 s i n 43 1 2y x x = = ，故选 B. 3.【解析】作出可行 域，如下图中的阴 影部分， 易知目标
2、函数 2z x y=+ 过点 (1,3)C 时取得最大值为 7，故选 C. 4.【解析】 13ba= ，从而 2 2 222 19b c aaa=， 103ca= ，故选 D. 5.【解析】函数 ()fx的定义域是 R，且为奇函数，故 (0) 0f = ， 解 得 1a= ，所以 1( ) 2 2x xfx=， 可知 ()fx是增函数，所以由 ( 2 1) ( 2 ) 0f m f m + 得到 ( 2 1 ) ( 2 ) , 2 1 2f m f m m m ， 解得 1m ，故选 C. 6.【解析】 由 10cos10=得 3 10sin10=,所以 1 0 3 1 0 3s i n 2
3、21 0 1 0 5 = =， 4cos2 5= ， 所以 1 sin 2 1cos 2 2 = ,故选 D. 7.【解析】 1 1 1 5 1()2 2 2 4 2A C A D D C A D B D A D B E A D A D B E= + = + = + + = +，故选 C.8.【解析】 ( ) ( ) , ( ) ( )f x f x f x f x ，故函数非奇非偶，排除 B、 C， 2 221 1 1 1 1( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0f e e f e f ee e eee= = + = ，故选 A 9.【解析】直线 l为 20kx y k + =，又直线
4、l与圆 222x y x+=有两个交点， 故2| 2 | 11kkk+ + 2244k ，故选 C. 另解：数形结合，通过相切的临界值找出答案。 数学（文科）试题答案 第 2 页，共 8 页 10.【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为 2,6,3， 下部分为长方体，棱长分别为 6,6,3，其表面积为 4 6 3 2 6 6 8 2 3 1 9 2S = + + =，故选 A. 11.【解析】设 ,AB两点的坐标分别为1 1 2 2( , ),( , )x y x y ，则 121xx= ， 1 2 1 24 4 ( 1 ) ( 1 ) 4 5 2 4 5
5、 9m n x x x x+ = + + + = + + + =， 当且仅当 121214xxxx= = ，即当 121 ,22xx=时取等号，故选 B.12. 【解析】由 ( 2) (2 )f x f x+ = 得到 ( ) ( 4 ) , ( ) ( 4 ) ( )f x f x f x f x f x= = + =，所以 ()fx的周期为4，方程 ( ) lo g ( 2 ) 0af x x + =可化为 ( ) log ( 2)af x x=+，分别作出函数 ( ), lo g ( 2 )ay f x y x= = +的图象，可知当 1log (6 2) 1aa +时，两图象 有 4
6、个不同的交点，解得 8a ，故选 D. 二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13、 15 ， 14、 ， 15、 223， 16、 133 . 13.【解析】记三 名男生分别为 1 2 3,A A A ，三名女生分别为 1 2 3,B B B ，从 6 名学生中任选 2 名共有 15 种不同的结果 ，其中 2 名都是女生的结果有 3 种，故概率为 3115 5= . 14.【解析】 对于 ， 利润最高 的月份是 10 月份 ，所以 不正确。 15.【解析】由正弦定理得 c o s 3 s in s inc o s s inC A CBB= ，即 s i n c o s
7、 3 s i n c o s c o s s i nB C A B B C= s i n ( ) 3 s i n c o s s i nB C A B A+ = =，因为 sin 0A ， 1cos 3B= ，从而 22sin3B= 16.【解析】设球的半径为 R由题意可知， 3AD= ， BCD 所在截面圆的半径为 33 ， 从而 2 2 23 3 1 3( ) ( )2 3 1 2R = + =，所以球的表面积为 2 134 3R = . 三解答题： 17. 【解析】 （ 1）当 1n= 时 , 112 4, 2Sa= = ， 1 分 当 2n 时 ， 212 ( 1) 3 ( 1)nS
8、n n = + ， 又 223S n n=+2 分 两式相减得 2 2 2nan=+，所以 1nan=+ 4 分 数学（文科）试题答案 第 3 页，共 8 页 na故 的 通 项 公 式 为 *1( )na n n N= + 5 分 （ 2）由（ 1）知2 1 2 11 1 1 1 1 1 1()2 ( 2 2 ) 4 ( 1 ) 4 1nna a n n n n n n+ = = = + + +8 分 1 1 1 1 1 1 1) + ( ) + + ( ) 4 1 2 2 3 1n nnT = +( 9 分 11(1 )41n=+ 1 1 分 44nn= + 12 分 18. 【解析】 解
9、法 1 （ 1） 如图， 设 D 为边 AB 的中点，连接 ,EDFD D ， F 分别为 AB ， BC 的中点， 1/ / , 2D F A C D F A C= 1 分 又 11 1/ / , 2E C A C E C A C=， 11/ / ,D F E C D F E C= 2 分 四边形 1ECFD 为平行四边形， 1 /CF ED 3 分 又 ED 平面 ABE， 1CF 平面 ABE， 4 分 1 /CF 平面 ABE. 5 分 （ 2）在直三棱柱中 1CC AB ， 又 1CF AB ， 1CC 平面 11BCCB ， 1CF 平面 11BCCB ， 1 1 1CC C F
10、C=， 6 分 AB 平面 11BCCB ， 7 分 BC 面 11BCCB ， AB BC ， 8 分 由 三角形 ABC的面积为 2， 可得 三角形 ABF的面积为 1， 9 分 由 （ 1） 1 /CF 平面 EAB知： 1C 到平面 EAB的距离等于 F 到平面 EAB的距离 10 分 11E A B C C E A B F E A B E A B FV V V V = = =11 分 11 1 2123 3 3E A B F A B FV S A A= = =. 所以三棱锥 1E ABC 的体积为 23 . 12 分 18. 【解析】 解法 2 （ 1）设 D 为边 AC 的中点，连
11、接 1 ,CDFD A B C F E A1 C1 B1 D 数学（文科）试题答案 第 4 页，共 8 页 D ， E ， F 分别为 AB ， 11AC ， BC 的中点， 1/ , /D F A B A E D C 1 分 又 A B A B E D F A B E面 , 面, /DF ABE面 , 2 分 又 1A E A B E D C A B E面 , 面, 1 /DC ABE面 , 3 分 1DF DC D= ， 1DF DFC面 , 11DC DFC面 1 /C DF ABE面 面 4 分 1 1C F C DF 面 /CF 平面 ABE. 5 分 注意：由线线平行直接推出面面平
12、行的证明 过程 须扣 2 分 ， 即 第一问 最多 可给 3 分。 （ 2）在直三棱柱中 1CC AB ， 又 1CF AB ， 1CC 平面 11BCCB ， 1CF 平面 11BCCB ， 1 1 1CC C F C=， 6 分 AB 平面 11BCCB ， 7 分 知 AB BC ， 8 分 在直角三角形 ABC中， D 为边 AC 的中点， 2 , 2 2 , 2 ,A B B C A C B D B D A C= = = = 9 分 又 1 1 1 1, , , ,A A B D A A A C A A A A C A C = 面1BD C面 10 分 11E A B C B A C
13、 EVV= 11 分 111 1 1 22 2 23 3 2 3B A C E A C EV S B D = = = 所以三棱锥 1E ABC 的体积为 23 . 12 分 19. 【解析】 （ 1）由题意， 1b= ， 1 分 右焦点 ( ,0)( 0)cc 到直线 2 2 0xy + =的距离 | 2 2 | 32cd +=, 2c= ， 2 分 22 3a b c = + =3 分 椭圆 E的焦点在 x 轴上，所以椭圆 E的方程为 2 2 13x y+= 4 分 （ 2） 解法 1 当 k不存在时， | | 2AB= 5 分 D A B C F E A1 C1 B1 数学（文科）试题答案
14、 第 5 页，共 8 页 当 k 存在时，设直线方程为 1y kx=+，联立 2 2113y kxx y=+ +=，得 22(1 3 ) 6 0k x kx+ + =， 6 分 260, 13AB kxx k=+7 分 22222 2 26 | | 3 6 ( 1 )| | 1 , | |1 3 ( 1 3 )k k kA B k A Bkk += + =+8 分 令 21 3 , (1, ),t k t= + +则 2211| | 4 2 ( ) 1AB tt= + +9 分 所以，当 114t= ，即 2 1k= ， 得 1k=时 10 分 2|AB 的最大值为 92 ，即 |AB 的最大
15、值为 322 11 分 直线的方程为 11y x y x= + = +或 . 12 分 （ 2） 解法 2 设直线 l 的倾斜角为 ，则直线 l 的参数方程为 += sin1 costy tx（ t 为参数）， 5 分 设 AB、 点对应的参数分别为 BAtt, ，且 0=At ; 将参数方程 代 入椭圆方程 13 22 =+yx 可得： ( ) ( ) 1s in13c o s 22 =+ tt ， 化简可得： ( ) 0s in6s in21 22 =+ tt ， 6 分 若 0sin = ，则上面的 方程为 02=t ，则 0=Bt ,矛盾； 7 分 若 0sin ，则 0=At ， 2
16、sin21 sin6+=Bt， 则弦 AB 长为 |AB| = | = | 61+22| = | 61+22 | 8 分 0 ( 1,0sin 上式26 s in 611 2 s in 2 s ins in =+ +， 9 分 6 3 2222= 10 分 数学（文科）试题答案 第 6 页，共 8 页 当且仅当 ,sin1sin2 = 即 4= 或 43= ， 1tan = 时等号成立 . 11 分 直线 l 方程为： 1+=xy 或 1+= xy . 12 分 20. 【解析】 （ 1）通过系统抽样抽取 的 样本 编号为 ： 4， 8， 12， 16， 20， 24， 28， 32， 36，
17、 402 分 则样本的评分数据为 ： 92， 84， 86， 78， 89， 74， 83， 78， 77， 89. 4 分 【 评分要求 】 1、 样本编号为等差数列，写错任意一个数扣 1 分 ； 2、样本编号 写错 2 个数扣 2 分，且后续 解答过程 有错就 不 再给 分 ，即整题 0 分 。 3、 样本编号正确的前提下，样本数据写错 1 个数据可认 为笔误不扣分，写错 2 个数据扣 1 分 ，写错 3 个数据扣 2 分 。 （ 2）由（ 1）中的样本评分数据可得 1 ( 9 2 8 4 8 6 7 8 8 9 7 4 8 3 7 8 7 7 8 9 )10x = + + + + + +
18、 + + + 5 分 83= ， 6 分 则有 2 2 2 2 2 22 2 2 2 21 ( 9 2 8 3 ) ( 8 4 8 3 ) ( 8 6 8 3 ) ( 7 8 8 3 ) ( 8 9 8 3 )10( 7 4 8 3 ) ( 8 3 8 3 ) ( 7 8 8 3 ) ( 7 7 8 3 ) ( 8 9 8 3 ) s = + + + + + + + + + 7 分 33= 8 分 所以 均值 83x= ， 方差 2 33s= . （ 3）由题意知评分在 (8 3 3 3 ,8 3 3 3 )+即 (77.26,88.74)之间 满意度等级为 “A 级 ”， 10 分 由（ 1
19、）中容量为 10 的样本评分在 (77.26,88.74)之间有 5 人， 则该地区满意度等级为 “A 级 ”的用户所占的百分比约为 5 0.5 50%10 =.12 分 21. 【解析】 （ 1）当 1a= 时， ( ) ln , (1 ) 1 ,xf x e x x f e= + = + 1 分 1( ) 1,xf x e x = + 2 分 (1) ef = 3 分 所以，切线方程为 ( 1) ( 1)y e e x + = ，即 y ex=+ 4 分 （ 2）当 1a= 时， ( ) ln ( 0 )xf x e x x x= 数学（文科）试题答案 第 7 页，共 8 页 1( ) 1
20、 ( )xf x e h xx = =， 21( ) 0xh x e x = + ，所以 ()hx在 (0, )+ 上单调递增， 5 分 又 1( ) 3 0 , (1 ) 2 02h e h e= = ， 所以 0 1( ,1)2x ，使得 0001( ) 1 0xh x e x= =，即 001 1xe x=+6 分 所以函数 ()fx在 0(0, )x 上单调递减，在 0( , )x + 上单调递增， 7 分 所以函数 ()fx的最 小值为 00 0 0 0 001( ) l n 1 l nxf x e x x x xx= = + 8 分 又函数 1 1 lny x xx= + 是单调减
21、函数，所以 0( ) 1 1 ln 1 1 1 0fx + = ， 9 分 即 ln 0xe x x 恒成立。 10 分 又 lnxe x x，所以 ln 0xex 11 分 又 1, 0,ax 所以 ax x，所以 ln ln 0xxe x a x e x x + 12 分 22.【解析】（ 1）消去参数 t 得到 6yx=+， 1 分 故曲线 1C 的普通方程为 60xy + = 2 分 2 2 23 2 c o s 3 =，由 cossinxy = = 3 分 （注意：无写出此公式本得分点不给分） 得到 2 2 23( ) 2 3x y x+ =， 4 分 即 2 2 13x y+=,故
22、曲线 2C 的普通方程为 2 2 13x y+=.5 分 （ 2）解法 1设点 P 的坐标为 ( 3 cos ,sin )， 6 分 点 P 到曲线 1C 的距离 | 2 c o s ( ) 6 | 3 c o s s in 6 | 622d +=， 8 分 所以，当 cos( ) 16 + =时， d 的值最小， 9 分 所以点 P 到曲线 1C 的最小距离为 22 . 10 分 （ 2）解法 2设平行直线 1C ： 60xy + = 的直线 方程为 0x y m + = 6 分 当直线 1C 与椭圆 2C 相切于点 P 时， P 到直线 1C 的距离取得最大或最小值。 由 2 2013x
23、y mx y + = +=得 224 6 3 3 0x m x m+ + =， 7 分 数学（文科）试题答案 第 8 页，共 8 页 令其判别式 0=，解得 2m=， 8 分 经检验，当 2m= 时，点 P 到直线 1C 的距离最小，最小值为 | 6 2 | 222d =9 分 所以点 P 到曲线 1C 的最小距离为 22 . 10 分 23. 【解析】 （ 1）由题意得 | 1| | 2 1|xx+ ， 1 分 所以 22| 1 | | 2 1 |xx+ ， 2 分 化简得 3 ( 2) 0xx3 分 解得 02x， 4 分 故原不等式的解集为 | 0 2xx 5 分 （ 2）由已知可得， ()a f x x恒成立，设 ( ) ( )g x f x x=， 6 分 则2 , 11( ) 2 , 1212 2 ,2xg x x xxx = + ,7 分 由 ()gx的单调性可知， 12x= 时， ()gx取得最大值 1， 9 分 所以 a的取值范围是 1, )+ 10 分
