1、专题 38 快速填解空题的解法一、题型特点近几年来，在新课标全国卷数学试题中选择题一直是 12 道题，填空题一直是 4 道题，所占分值为80 分，约占数学试题总分数的 53%. 且在高考题中属于中低难度的试题，仅有个别题属于较高难度试题，在一般的情况下分别按由易到难的顺序排列，在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果，不要求写出解答过程的试题具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广，其中融入多种数学思想和方法等特点，可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题、判断问题、推理问题和解决问题的能力二、解题思路做选填题的步骤为：1首先，审题能很好的把数学的三种语言(文字语言、图形语言、数字符号语言
2、) 之间快速转化并发掘题目中的隐含条件，要去伪存真，快速领会题目的真正含义2其次，要注意选填题的解题技巧小题小做、巧做，简单做，要多用数形结合、特殊值法等技巧，节约时间3最后，仔细检查答卷不能有漏填的现象(遇到不会做的，也不要空着不做，一定要写一个答案) ，不能有把答案抄错的现象三、典例分析(一)直接演绎法所谓直接演绎法，就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果例 1(2015 课标全国)一个圆经过椭圆 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方x216 y24程为_【解析】由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4，0
3、) ，(0，2) ，(0 ，2)，设圆心为(a，0) ，其中 a0，由 4a ，解得 a ，a2 432所以该圆的标准方程为 y 2(x 32)2 254【反思】直接演绎法是解选择填空题最基本的方法，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目，充分挖掘题设条件，通过严谨的推理，正确的运算必能得出正确的答案因此，学会熟练运用基本知识，并能迅速分析题目，抓住主干，吃透题意是用直接演绎法解题的不二法宝练习 1若函数 满足 ，且当 时， 则_【答案】1009 【解析】函数 满足 ， ，当 时， 当 时， ， ， 故答案为 1009练习 2已知 ，若 ，那么实数 的值为_【答案】2【解析】 ，若 ，可得 ，
4、（4） ，解得 故答案为：2练习 3给出下列命题：(1)函数 ytan|x|不是周期函数；(2)函数 ytanx 在定义域内是增函数；(3)函数 y 的周期是 ；(4)ysin 是偶函数其中正确命题的序号是 _【答案】_(1)(3)(4)练习 4函数 的值域是 _。【答案】0， 【解析】1cosx1，要使函数有意义则 sin（cosx）0，则 0cosx 1，此时 0sin（cosx）sin1，则 0 ，即函数的值域为0， ，故答案为：0， (二) 特例(值) 法 所谓特例(值) 法，就是利用满足题设条件的一些特殊数值、特殊函数、特殊方程、特殊数列、特殊点、特殊角、特殊图形、特殊位置等进行求解
5、，从而得出正确答案例 2 (2015 课标全国)若函数 f(x)xln(x )为偶函数，则 a_a x2【解析】因为函数 f(x)为偶函数，所以 定义域关于原点对称，所以定义域为 R，设 h(x)x，g(x )ln(x )，又 h(x)为奇函数，a x2所以 g(x)也为奇函数，取 x0，则 g(0)0，解得 a1.【反思】特例(值)法是高考数学解选择填空题的最佳方法，能降低解题难度，提高解题效率当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特例(值)法(取得越简单越好)进行探究，从而清晰、快捷地得到正确答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律练习 1设 ，则 _， （的值为_【答案】
6、720 1 【解析】利用二项式系数公式， ，故故（ =练习 2已知函数 f(x)，任意 x1，x 2 (x1x2)，给出下列结论：f (x)f (x)；f ( x)f (x)； f (0)1； ；.当 f (x)tanx 时，正确结论的序号为_ 【答案】【解析】由于 f(x)tanx 的周期为 ，故正确；函数 f(x)tanx 为奇函数，故不正确；f (0)tan00，故不正确；表明函数为增函数，而 f(x)tan x 为区间 上的增函数，故正确；由函数 f(x)tanx 的图象可知，函数在区间 上有 ，在区间 上有 ，故不正确故答案为【点睛】本题主要考查了正切函数 y=tanx 的图像和性质
7、，熟练掌握正切函 数的相关知识点是解题的关键；还有就是凹凸函数，属于基础题.凸函数 ；凹函数(三) 极限化和特殊为位置法在一些选择填空题中，有一些任意选 取或者变化的元素，我们对这些元素的变化趋势进行研究，分析它们的极限情况或者极端位置，并进行计算，以此来判断结果这种通过动态变化，或对极端取值来解选择填空的策略是一种极限化法例 3(2015 课标全国)在平面四边形 ABCD 中，ABC75 ，BC2，则 AB 的取值范围是_ 【解析】如图，作PBC，使BC 75 ，BC 2，作直线 AD 分别交线段 PB、PC 于 A、D( 不与端点重合)，且使BAD75，则四边形 ABCD 就是符合题意的四
8、边形将 AD 在该等腰PBC 内平行移动，平移 AD，当 CD 重合时，AB 最短，此时求得 AB ；6 2当 AD 重合时，AB 最长，此时求得 AB ，6 2所以 AB 的取值范围是( ， )6 2 6 2【反思】用极限化法是解选择填空题的一种有效方法，也是在选择填空题中避免“小题大做”的有效途径它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小做题难度，计算简便，能迅速得到答案练习 1如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， 平面 ABCD， 平面 ABCD，且 ， G 为线段 EC 上的动点，则下列结论中正确的是_； 该几何体外接球的表面积为 ；若 G 为 EC 中点，则 平面
9、 AEF；的最小值为 3【答案】【解析】以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴， DE 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，可得 0， ， 0， ， 1， ， 1， ， 1， ， 0， ，即有 1， ， 1， ，由 ，可得 ，故 正确；由球心在过正方形 ABCD 的中心的垂面上，即为矩形 BDEF 的对角线的交点，可得半径为 ，即有该几何体外接球的表面积为 ，故 正确；若 G 为 EC 中点，可得 1， ， 0， ， 0， ， 1， ，设平面 AEF 的法向量为 y， ，可得 ，且 ，可设 ，可得一个法向量为 ，由 ，可得 则 平面 AEF，故 正确；设 t
10、， ，当 时，取得最小值 ，故 错误故答案为： 【点睛】本题考查空间线面的位置关系和空间线线角的求法，以及向量法解决空间问题，考查运算能力，属于中档题涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点) 或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径) 与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.练习 2如图，在棱长为 3 的正方体 中，点 E 是 BC 的中点，P 是平面内一点，且满足 ，则线段 的长度的取值范围为_【答案】(四)数形结合法所谓数形结合法是把抽象的
11、数学语言同直观的图形结合起来，通过“以形助数”、 “以数辅形”，使抽象思维与形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题例 4(2015 课标全国)若 x，y 满足约束条件 则 的最大值为_x 10，x y0，x y 40，) yx【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点 A(1，3) 处， 取得最大值 3.yx【反思】 “数”与“ 形”是数学的重要基石，二者在内 容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，如果在解答选择填空题的过程中能够很好的运用这一数学解题中最重要的方法之一，就能够使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，进而简化解题过程，从而达
12、到事半功倍的效果 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域也是 ；存在实数 ，使得 成立；是函数 的对称轴方程；曲线 和直线 的公共点个数为 m，则 m 不可能为 1；其中正确的有_ 写出所有正确的序号【答案】【解析】由 ， ，结合映射的定义可判断 ；由由 ，解不等式可判断 ；由辅助角公式和正弦函数的值域，可判断 ；由正弦函数的对称轴，可判断 ；由 的图象可判断交点个数，可判断 【详解】由于 ， ，B 中无元素对应，故 错误；函数 的定义域为 ，由 ，可得 ，则函数 的定义域也是 ，故 正确；由于 的最大值为 ， ，故 不正确；由 为最小值， 是函数 的对称轴方程，故 正确；曲线 和直线 的公共点
13、个数为 m， m 可能为 2，3，4，则 m 不可能为 1，故 正确，故答案为： 练习 3若 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】5【解析】作出约束条件 对应的平面区域，如图表示区域内的点到定点 的距离的平方，由 ，可得则由图象可知， 距离最小，此时 的最小值为，故答案为 5练习 4若实数 x，y 满足约束条件 ，则 zlnylnx 的最小值是_【答案】ln3【解析】根据题中所给的约束条件，画出可行域，如图所示：又因为 ，当 取最小值时即得结果，根据 表示的是点 与原点连线的斜率，根据图形可知，在点 C 处取得最小值，解方程组 ，解得 ， 此时 z 取得最小值 ，故答案是： .（七）填空题
14、综合例 7已知下列命题：是 a，G，b 成等比数列的充要条件；函数 的最小值为 4；设数列 满足： ，则数列的通项公式为 ；已知 ， ， ， 则动点 P 的轨迹是双曲线的一支 其中正确的命题是_ 写序号 【答案】【解析】对于 ， 推不到 a，G，b 成等比数列，比如 ，反之成立，则 是 a，G，b 成等比数列的必要不充分条件，故 错；对于 ，函数 ，当且仅当 ，即 ，y 取得最小值 4，故 对；对于 ，设数列 满足： ，时 ； 时，又 ，相减可得 ，即为 ，故 错；对于 ， ， ， ，由双曲线的定义可得动点 P 的轨迹是双曲线的一支，故 对故答案为： 练习 1在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆
15、 的左，右焦点分别为， ，上顶点为 A，射线 交椭圆于 若 的面积为 ，内角 A 为 ，则椭圆的焦距为_【答案】10【解析 】由题意可得 为等边三角形，即有 ， ，可得椭圆方程为 ， 设直线 AB 的方程为 ，代入椭圆方程可得 ，化为 ，解得 或 ，即有 的面积为 ，可得 ，即有椭圆的焦距为 10故答案为：10练习 2设函数 ,观察： ， ，根据以上事实，由归纳推理可 得：_.【答案】【解析】通过观察题目所给条件，函数表达式的分母中， 的系数和 的下标相同，即 的解析式是，故 . 练习 3将正整数有规律地排列如下：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 则在此表中第 45 行第 83 列出现的数字是_【答案】2019练习 4已知各项均为正数的两个无穷数列 和 满足：，且 是等比数列，给定以下四个结论：数列 的所有项都不大于 ；数列 的所有项都大于 ；数列 的公比等于 ；数列 一定是等比数列。其中正确结论的序号是_【答案】【解析】因为 ，所以 ，下证等比数列 的公比 .若 ，则 ，则当 时， ，此时 ，与矛盾；若 ，则 ，则当 时， 此时 ，与矛盾.故 ，故 .下证 ，若 ，则 ，于是 ，由 得 ，所以 中至少有两项相同，矛盾.所以 ，所以 ，所以正确的序号是.
