1、2012 年中考数学复习讲义动点问题详细分层解析（一）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动 中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通 过“对称、动点 的运动” 等研究手段和方法，来探索与 发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题
2、的能力 图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变 化中找到不变的性质是解决数学“ 动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、 应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有
3、利于我们教师在教学中研究对策，把握方向只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素 质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例 1 )如图 1,在半径为 6,圆心角为 90的扇形 OAB
4、 的弧 AB 上,有一个动点 P,PHOA,垂足为 H,OPH 的重心为 G.(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设 PH ,GP ,求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 的xyx x取值范围).(3)如果PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长.解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH= NH= OP=2.321(2)在 RtPOH 中, , 26xPHO.23612xOHM在 RtM
5、PH 中,. =GP= MP= (0 6).y322361x(3)PGH 是等腰三角形有三种可能情况:GP=PH 时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,且符266x合题意.GP=GH 时, ,解得 . 经检验, 是原方程的根,但不符3612x0x0合题意.PH=GH 时, .综上所述,如果PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为 或 2.6二、应用比例式建立函数解析式例 2 如图 2,在ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= CE= .,xy2222 36149xxP HMN G PO AB 图 1 xy(1)如果BAC=30,DAE=105,试确定
6、与 之间的函数解析式； yx(2)如果BAC 的度数为 ,DAE 的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中与 之间的函数解析式还成立?试说明理由.yx解:(1)在ABC 中,AB=AC,BAC=30, ABC=ACB=75, ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=105, DAB+CAE=75, 又DAB+ADB=ABC=75,CAE=ADB, ADBEAC, ,ACBDE , .1xy(2)由于DAB+CAE= ,又DAB+ADB=ABC= ,290且函数关系式成立, = , 整理得 .290290当 时,函数解析式 成立.xy1例 3(2005 年上海)如图 3(1),在A
7、BC 中,ABC=90,AB=4,BC=3. 点 O 是边 AC 上的一个动点,以点 O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点 D,交线段 OC 于点 E.作 EPED,交射线 AB 于点 P,交射线 CB 于点 F.(1)求证: ADEAEP.(2)设 OA= ,AP= ,求 关于 的函数解析式,并写出它的定xyx义域.(3)当 BF=1 时,求线段 AP 的长.解:(1)连结 OD.根据题意,得 ODAB,ODA=90,ODA=DEP.又由 OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.(2)ABC=90,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90, ODBC, ,
8、 ,53xOD4AOD= ,AD= . AE= = . x534x8ADEAEP, , . ( ).AEPxy5xy5168250(3)当 BF=1 时，若 EP 交线段 CB 的延长线于点 F,如图 3(1)，则 CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC. FBP=DEP=90, FPB=DPE,AEDCB图 2PDE ACB3(2)OFOFPDE ACB3(1)F=PDE, F=FEC, CF=CE.5- =4,得 .可求得 ,即 AP=2.x58852y若 EP 交线段 CB 于点 F,如图 3(2), 则 CF=2.类似,可得 CF=CE.5- =2,得 .x1可求得 ,即 AP=6
9、.6y综上所述, 当 BF=1 时,线段 AP 的长为 2 或 6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例 4 如图,在ABC 中,BAC=90,AB=AC= ,A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上运动(与点 B、C 不重合),设 BO= ,AOC 的面积为 .xy(1)求 关于 的函数解析式,并写出函数的定义域.y(2)以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当O 与A 相切时,AOC 的面积.解:(1)过点 A 作 AHBC,垂足为 H.BAC=90,AB=AC= , BC=4,AH= BC=2. OC=4- .221x , ( ).HCSAO14xy0(2)当O 与A 外切时,在 RtAOH 中,OA= ,OH= , . 解得 .x222)()1(x67此时,AOC 的面积 = .y674当O 与A 内切时,在 RtAOH 中,OA= ,OH= , . 解得 .1x222)()1(xx27x此时,AOC 的面积 = .y74综上所述,当O 与A 相切时,AOC 的面积为 或 .672AB CO图 8H
