1、2011 中考冲刺数学专题 10几何计算问题【备考点睛】几何计算问题常见的有：求线段的长、求角的度数，、求图形的面积等。研究几何图形及其和相关的问题时，“几何计算”具有广泛的意义：一、几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；二、当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；三、那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。几何计算是深入研究图形性质和图形间关系的重要手段，是用代数形式刻划变动中图形性质的主要凭借。也就
2、是说，许多以图形为基础的研究性问题，许多几何与代数相结合的问题，许多图形的变换及其它形式运动的问题，都是以计算为基础，为依据，为桥梁。因此几何计算问题就成了中考中不得不考的一类问题，在填空选择各类题型中都可以体现，且往往会多处出现。【经典例题】类型一、用解直角三角形的知识进行几何计算例题 1 如图，在 中， 。将 绕点 C 逆时ABCRt190BC，AA针旋转 30得到 ， 与 AB 相交于点 D。求 BD 的长。1解答：分析：注意到 若作 于点 G，如图（1 ）则,45BCBD可得 中，DG=BG，同时在 ，DGRt 30Rt中而 CB=1，从而可构造关于 BD 的方程，求得其值。解：如图（
3、2），作 于点 G，设 BD= ，x中，t,452在 中， ，CR301CB。xDG263即 解得 。,B,26x的长为 。BD26例题 2 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB/CD，AD=BC，延长 AB 到 E，使 BE=DC，连结 CE，若 于点 F，且 AF 平分 求 的值。CEA,52,AECDAFsinA B ED CFG解答：首先，在 中，CFRt,sinACF剩下的任务就是去求 CF 和 AC 之间的数量关系，如去求出 CF 用 AC 表示的代数式。为此，去研究相应的条件：由 ABCD 为等腰梯形，BECD 为平行四边形（BE/CD，BE=CD），可知：AC=BD=EC；由
4、知 且 AF 平分 得 是等腰三角形，CEAFBD,BAD设 AF 交 BD 于点 G，则 C21由 BG/EC，知 ,EF,53AAEFB.65)21(35C如此一来， ,61FF当然就有 。sinAC例题 3 如图，把一副三角板如图（1）放置，其中 90DEC，AB45,A，斜边 把三角板 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15得到0D6,Bcm7,D如图（2）， 这时 AB 与 相交于点 ， 与 AB 相交于点 F。CEO（1）求 的度数；OF（2）求线段 的长；A（3）若把三角形 绕着点 C 顺时针再旋转 30得到 ，这时点 B 在 ED的内部，外部，还是边上？证明你的判断。解答：分析：对
5、于（1），如图（3），设 CB 与 相交于点 G，则可通过 与EDOFE内角的关系，求得 的值；,CGEFBOF对于（2），可先推出 ，并导出 的长；90AD,A对于（3），设直线 CB 交 于 ，应在 中计算出 的长，为此为基础BCRtB进行判断。解：（1）设 CB 与 相交于点 G，如图（3），则：EFBO180C。1209545（2）连结 ，ADODFO1803890FE又 ，ACcmBC4510,6,而。O在 （3）cmODADRt 373 中。c542（3）点 B 在 内部，理由如下：E设 BC（或延长线）交 于点 ，B,4501 CE在 ，CRt中c27又 ，即 点 B 在 内部。
6、mc23, CED例题 4 如图，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 ，则它们重叠（如图中阴影）部分的面积是（ ）A、 sin1B、 coC、 iD、 sAC BFEODG解答： 分析：将原问题抽象为图（2），在菱形 ABCD 中， ，顶点 A 到直线CD 和直线 CB 的距离都为 1，求菱形 ABCD 的面积。为此，作 交 CD 的延长线于点 H，则有,CDAH其中A，SB菱 形 sin1,sin1sin1 ABCDS，菱 形即解：应选 A。类型二、用两个三角形相似关系进行几何计算例题 5 如图，在边长为 8 的正方形 ABCD 中，P 为 AD 上一点，且 BP 的
7、垂直平,5AP分线分别交正方形的边于点 E，F，Q 为垂足，则 EQ：EF 的值是（ ）A、 B、 8:13:C、 D、1658（1）解答：分析：容易看出 得BEQRt,PAt,BE即 。PEQ16582而根据正方形的性质，易知，如图，把 FE 平移至 CG 的位置，由 有 ，,BARtCGtPCGEF16:5:16:F解：选 C。说明：在本题是将三角形相似、三角形全等结合起来，分别将线段 EQ，EF 借助 BP 表示出来，从而算出这两条线段的比。例题 6 已知，三个边长分别为 2，3，5 的正方形如图排列，则图中阴影分部的面积为 。235A BCD FPEQA BCD FPEQG解答：分析：
8、可以用直接法或间接法，但都需要计算出有关线段的长，这就需要借助于图中的直角三角形的相似关系。解：如图， BCMRtENtBHIRt则 2105HIEN。21541532531MNFGS梯 形阴 影说明：正是借助于图中的相似三角形，使得线段 CM，EN，从而线段 GM，FN 的计算得以落实。例题 7 某装修公司要在如图所示的五角星图形中，沿边每隔 20 厘米装一盏闪光灯，若米，则共需要装闪光灯（ ）15BCA、 100 盏 B、 101 盏 C、 102 盏 D、 103 盏解答：分析：研究 ，由 计算出 AB 的长来，ABC15如图在 中， （正五边形的外角）=72，, ,36A作 交 AC
9、于点 D，则 AD=BD=BC，,CD又 ，得： ，BAABC2即 ，也既022 01)(2C解得 。 。15BCA51AB灯的盏数应为 02.解：选 A。说明：在本题，关键是根据特定条件，构造出 。BCDA例题 8 如图，在矩形 ABCD 中，AC ，BD 相交于 O， 于点 E，连结 ED，交GJAFIHNEDMCBAB CAB CDOC 于点 F，作 于点 G。BC（1）CG 和 CB 有怎样的数量关系？说明理由；（2）若想在 CB 上确定一点 H，使 ，请依据（1）得出的结果，说出画图的方C4法（不必说明理由）AB CDOE GF解答：分析：显然，图中有一些相似三角形，比如： （组）；
10、 （组）CFGCAFED （组）； （组）等。OEDA通过分析可知，应用到第组，因为其中含有线段 CG 和 CB（即 与 ）CFGAB而其中的 CF 又包含在第组的三角形中，这样就有：解：（1）有结论 在 和 中，由 OE/CD，易知.3GBOC ，FC即,12OE,F也即 。A36在 和 中，FGB,/AG ，C得,31.C（2）应这样确定点 H，连结 DG，交 CO 于点 M，作 于 H， 则应用CB。B4说明：在不少情况，需从较多的三角形相似关系中选取最为直接的能够实现计算目的的两对或几对相似三角形，这既需要对图形性质有深刻的认识，也需要善于对问题情意及要达到的目的的进行深入分析。例题
11、9 在梯形 ABCD 中，AD/BC ，AB=DC=AD =6， ，点 E，F 分别在线段60ABCAD，DC 上，（点 E 与点 A， D 不重合）且 设 。,12EFyDx,（1）求 的函数表达式；xy与（2）当 为何值时， 有最大值，最大值是多少？yAB CDOE GF HMA E DFCB解答：分析：这是由数量关系刻画几何量之间的对应关系，或说是几何与代数结合的问题，其解决的依据就是通过“几何计算”。解：（1）在梯形 ABCD 中，AD/BC ，AB=DC=AD =6， ，60ABC,1208,120ABEDADFBEF. 。.xyDxA6,的函数表达式是y与；)0(61)(612 x
12、x（2） 。322y时， 有最大值，最大值为 。3x当说明：象本题这样的几何与代数综合题，正是以“几何计算”作为主要解决工具的。【技巧提炼】几何计算的两种主要方法是：1、借助于解直角三角形；2、借助于三角形的相似关系。1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算（1）凡涉及到几何图形中量的计算时，应当首先考虑借助于解直角三角形，而在这许多情况下，就需要恰当地构造出相应的直角三角形。（2）在图形复合，情况比较复杂时为了在直角三角形中完成计算，还常需要和题目的条件，图形的其他特征相结合，通过有关的性质及定理，把一些数值和数量关系转化到这个直角三角形中去。2、善于用两个三角形相似关系完成几何计算当两个三
13、角形相似时，就会构成相关线段的比例等式，而在比例等式当中，若有一条线段是未知的，而其他线段是已知的或是未知线段的代数式，那么这样的比例等式就成了未知线段的方程，借此方程求出未知线段，因此，用两个三角形之间的相似关系，也可以实施与完成许多几何计算。（1）要善于选用相似三角形，充分发挥相似三角形在几何计算中的重要作用。（2）要善于构造相似三角形，要有借助相似三角形完成几何计算的高度意识。只要充分重视解直角三角形和两三角形相似的数学功能，几何计算问题就不是难题，从而能轻松解决更多的综合型问题！【体验中考】1（2010 广西南宁）如图，每个小正方形的边长为 1， 的三边 的大小关系ABCcba,式：（
14、 ）（A） （B） bcacba（C） （D） 2（2010 广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，63（2010 浙江杭州）如图，5 个圆的圆心在同一条直线上, 且互相相切，若大圆直径是12，4 个 小圆大小相等，则这 5 个圆的周长的和为（ ） A. 48 B. 24 C. 12 D. 64（2010 江苏无锡）已知圆锥的底面半径为 2cm，母线长为 5cm，则圆锥的侧面积是（ ）A20cm 2 B20cm 2 C10cm 2 D5cm 2 5（2010 云南昆明）如图，在ABC 中，AB = AC，AB = 8，
15、BC = 12，分别以 AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）A B6417163C D2276（2010 湖南益阳）如图，在 ABC 中， AB AC8， AD 是底边上的高， E 为 AC 中点，则DE 7（2010 浙江台州）如图，菱形 ABCD 中，AB=2 ， C=60,菱形 ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转 60叫一次操作，则经过 36 次这样的操作菱形中心 O 所经过的路径总长为 (结果保留 ) 8（2010 辽宁丹东）已知 ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt ACD，再
16、以 Rt ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是 9（2010 河南）如图矩形 ABCD 中,AB=1，AD= .以 AD 的长为半径的A 交 BC 边于点2E，则图中阴影部分的面积为 . 10（2010 浙江温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣l955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理在右图的勾股图中，已知ACB=90，BAC=30，AB=4作PQR 使得R=90，点 H 在边 QR 上，点 D，E 在边 PR 上，点 G，F 在边_PQ
17、上，那么 APQR 的周长等于 11（2010 福建泉州）如图，两同心圆的圆心为 ，大圆的弦 切小圆于 ，两圆的半OABP径分别为 和 ，则弦长 = ；若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径21AB为 .(结果保留根号)12（2010 四川宜宾）已知，在ABC 中，A= 45，AC= ，AB= +1，则边 BC 的长 2 3为 13（2010 福建南安）将一副三角板摆放成如图所示，图中 度114（2010 广西钦州）一个承重架的结构如图所示，如果1155，那么2_ _15（2010 山东淄博）如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的“田字格”只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以
18、作出长度为 的线段_条.516（2010 山西）在 D 是 AB 的中点，CD=4cm，则 AB= ,90,ACBRt中cm。17（2010 湖北鄂州）如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，E 是 CB 的中点，AE=EC，BAC=3DBC，BD = ，则 AB= 6218（2010 广西玉林）两块完全一样的含 30 角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M 转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图 6，A ，AC10，则30此时两直角顶点 C、 间的距离是 。19（2010 黑龙江绥化）RtABC 中，BAC=90 ，AB=AC=2，以 AC 为一边，在ABC 外部作等腰
19、直角三角形 ACD ，则线段 BD 的长为 。20（2010 浙江杭州）如图，AB = 3AC ，BD = 3AE，又 BDAC，点 B，A，E 在同一条直线上. (1) 求证：ABDCAE；(2) 如果 AC =BD，AD = BD，设 BD = a，求 BC 的长. 221. 如图， 是边长为 4 的等边三角形，D 为 BC 边上一个动点，作 DE/CA，交 ABC于点 E， 于点 F，当 BD 的长取什么值时，可使 ？ADABFEAEFB D C22（2010 辽宁丹东）如图，已知在 O 中， AB=4 ， AC 是 O 的直径， AC BD 于3F， A=30（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形 OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径23（2010 浙江杭州）已知直四棱柱的底面是边长为 a 的正方形， 高为 , 体积为 V, 表h面积等于 S.(1) 当 a = 2, h = 3 时，分别求 V 和 S；
