1、家教平 北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台三角形垂心的性质总结三角形的垂心定理：在三角形 ABC 中，求证：它的三条高交于一点。证明：如图：作 BE 于点 E，CF AB 于点 F，且 BE 交 CF 于点 H，连接 AH 并延长交 BC 于点 D。现在我们只要证明 ADBC 即可。因为 CFAB，BE所以 四边形 BFEC 为圆内接四边形。四边形 AFHE 为圆内接四边形。所以FAH= FEH=FEB=FCB由FAH=FCB 得四边形 AFDC 为圆内接四边形所以AFC=ADC=90即 ADBC。点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。三角形垂心的性质定理 1
2、：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。如上图，在三角形 ABC 中，AD、CF、BE 分别为 BC、AB、AC 上的高，D、F、E 分别为垂足，H 为三角形 ABC 的垂心。求证：H 为三角形 DFE 的内心。证明：要证 H 为三角形 DFE 的内心，只需证明 HF、HE、HD 分别平分DFE、FED、EDF。同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。由 BCEF 四点共圆得EFC=EBC （都是弧 CE 所对的圆周角）由 HFBD 四点共圆得HFD=HBD=EBC （都是弧 HD 所对的圆周角）所以EFH=HFD 所以 HF 平分EFD。同理 HE 平分FED；HD 平分FD
3、E所以 H 为三角形 DFE 的内心。点评：以上两个问题都用到了四点共圆。因为在这个图形中共可得到 6 个圆内接四边形，你不妨找一找。三角形垂心的向量表示：家教平 北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台在 中，若点 O 满足 ，则点 O 为三角形 ABC 的垂心。证明：由 得 ，所以 。同理 OB ， ，则点 O 为垂心。三角形垂心性质定理 2：若三角形的三个顶点都在函数 的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。证明：设点 O(x,y)为 的垂心，则上面的向量表示得因为 的三个顶点都在函数 的图象上，所以设 ，因为 ，所以所以所以 (1)同理：由 得 (2)联立（1）（2）两式，就可
4、解出 显然有垂心 O 在函数 的图象上。点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。家教平 北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台（2005 年全国一卷理科） 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，则实数 m = 分析：H 显然为 的垂心，我们可取特殊情况来猜想 m 的值。于是我取为直角三角形，角 A 为直角，此时 H 点与 A 点重合，且 O 为 BC 的中点（如图所示）。此时 ，于是猜想 m=1.而对于一般情况，上面问题，我们不妨称之为三角形的垂心性质定理 3：的外心为 O，垂心为 H，则 。证明：作出 的外接圆和外接
5、圆直径 AD，连接 BD,CD。因为直径所对圆周角为直角，所以有 ，家教平 北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台因为 H 为 的垂心，所以所以 HC/BD，BH/DC, 所以四边形 BDCH 为平行四边形，所以 。因为 ，且所以 。点评：这条性质联系了三角形的外心与垂心，所得向量关系也相当简洁。以此为背景出高考题，也确实体现了命题者深厚的知识功底。三 角 形 垂 心 性 质 定 理 3：三 角 形 任 一 顶 点 到 垂 心 的 距 离 ， 等 于 外 心 到 对 边 的 距 离 的 2 倍 。即： 的外心为 O，垂心为 H，D 为 BC 中点，则 AH=2OD。证明：因为 D 为
6、 BC 中点所以由性质 2 知： 得所以 AH=2OD。点评：性质定理 3，也可看做是性质定理 2 的推论。三 角 形 垂 心 性 质 定 理 4：锐 角 三 角 形 的 垂 心 到 三 顶 点 的 距 离 之 和 等 于 其 内 切 圆 与 外 接 圆 半 径 之 和 的 2 倍 。分 析 ： 应 用 上 面 的 性 质 定 理 3， 上 面 这 一 结 论 可 改 为锐 角 三 角 形 的 外 接 圆 与 内 切 圆 径 之 和 等 于 外 心 到 三 角 形 三 边 距 离 之 和 。即 ： 如 图 在 锐 角 中 ， O 为 外 心 ， D,E,F 分 别 为 三 边 的 中 点 。
7、设 外 接 圆 半 径为 R， 内 切 圆 半 径 为 r,则 OD+OE+OF=R+r.家教平 北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台证 明 ： 在 锐 角 中 ， O 为 外 心 ， D,E,F 分 别 为 三 边 的 中 点 ， 则 OF ，所 以 有=设 中 角 A,B,C 所 对 边 的 长 分 别 为 a,b,c.在 圆 O 中 ， 弧 AB 所 对 的 圆 心 角 =2C又 因 OA=OB， OF ， 所 以OF=OA*cosC=RcosC。同 理 OD=R*cosB, OE=R*cosA所 以而 由 三 角 形 内 切 圆 的 性 质 知 ：所 以 这 个 式 子 就
8、 指 出 了 内 切 圆 半 径 与 外 接 圆 半 径 的 关 系 。而 要 证 OD+OE+OF=R+r，需 证 ： RcosA+RcosB+RcosC=R+即 需 证家教平 北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台需 证 (b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC=a+b+c而 对 上 式 的 证 明 我 们 可 采 用 正 弦 定 理 ， 化 角 为 边 ，即 需 证 ：sinBcosA+sinCcosA+sinAcosB+sinCcosB+sinAcosC+sinBcosC=sinA+sinB+sinC需 证 ： sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B
9、+C)=sinA+sinB+sinC而 因 为 A+B+C= 所 以 sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC 显 然 成 立所 以 命 题 得 证 。点 评 ： 此 题 的 证 明 充 分 联 系 我 们 初 高 中 的 大 量 知 识 ， 真 是 做 到 了 “八 方 联 系 ， 浑然 一 体 ”（ 孙 维 刚 老 师 语 ） 。 通 过 这 样 的 一 个 问 题 ， 我 们 的 数 学 能 力 将 大 大 提 高 。三 角 形 垂 心 性 质 定 理 5：H、 A、 B、 C 四 点 中 任 一 点 是 其 余 三 点 为 顶 点 的 三 角
10、形 的 垂 心 (并 称 这 样 的 四 点为 一 垂 心 组 )。 此 定 理 的 证 明 相 对 简 单 ， 读 者 不 妨 自 已 试 试 。 在 此 提 出 这 个 性 质 ， 主 要 是 看 到 这 里存 在 的 一 种 广 义 对 称 性 ， 即 四 个 点 中 每 一 点 都 可 为 垂 心 。 这 个 结 论 进 一 步 提 醒 我 们 要 经常 换 个 角 度 相 问 题 。三 角 形 垂 心 性 质 定 理 6：H 为 ABC 的 垂 心 ， 则 ABC， ABH， BCH， ACH 的 外 接 圆 是 等 圆 。 分 析 ： 要 证 两 圆 为 等 圆 ， 只 要 证 明
11、 它 们 的 半 径 （ 或 直 径 ） 相 等 就 可 以 啦 。 而 这 两 圆都 是 三 角 形 的 外 接 圆 ， 于 是 我 们 就 想 到 了 正 弦 定 理 。的 直 径 为 ， 的 直 径 为 ，因 为 HD ，所 以 四 边 形 BEHD 是 圆 内 接 四 边 形家教平 北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台所 以 所 以 sinB=sin所 以 =所 以 ， 的 外 接 圆 为 等 圆 。同 理 ABC， ABH， BCH， ACH 的 外 接 圆 是 等 圆 。证 明 略 。点 评 ： 该 题 的 证 明 过 程 中 ， 应 用 到 了 性 质 1 中 的 圆 内 接 四 边 形 性 质 和 正 弦 定 理 。这 也 正 是 在 提 示 我 们 要 注 意 八 方 联 系 。以 上 我 对 与 三 角 形 垂 心 有 关 的 性 质 做 了 一 些 总 结 ， 当 然 也 难 免 还 有 其 它 性 质 ， 我 还没 有 发 现 。 我 写 文 章 的 目 的 ， 也 就 是 在 于 启 发 读 者 经 常 进 行 总 结 ， 在 总 结 中 我 们 才 会 有新 的 发 现 和 创 新
