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抽象代数简介.doc

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1、第 1 页 共 6 页抽 象 代 数 简 介抽象代数课程是大学数学系的主干基础课之一。抽 象 代 数 ( Abstract algebra) 又 称 近 世 代 数 ( Modern algebra) , 它 产 生于 十 九 世 纪 。定 义抽 象 代 数 是 研 究 各 种 抽 象 的 公 理 化 代 数 系 统 的 数 学 学 科 。 由 于 代 数 可处 理 实 数 与 复 数 以 外 的 物 集 , 例 如 向 量 (vector)、 矩 阵 ( matrix)、 变 换( transformation) 等 , 这 些 物 集 的 分 别 是 依 它 们 各 有 的 演 算 定 律

2、 而 定 , 而数 学 家 将 个 别 的 演 算 经 由 抽 象 手 法 把 共 有 的 内 容 升 华 出 来 , 并 因 此 而 达 到 更高 层 次 , 这 就 诞 生 了 抽 象 代 数 。 抽 象 代 数 , 包 含 有 群 ( group)、 环 (ring)、Galois 理 论 、 格 论 等 许 多 分 支 , 并 与 数 学 其 它 分 支 相 结 合 产 生 了 代 数 几 何 、代 数 数 论 、 代 数 拓 扑 、 拓 扑 群 等 新 的 数 学 学 科 。 抽 象 代 数 已 经 成 了 当 代 大 部分 数 学 的 通 用 语 言 。创 始 人 及 理 论被 誉

3、 为 天 才 数 学 家 的 Galois(1811-1832) 是 近 世 代 数 的 创 始 人 之 一 。他 深 入 研 究 了 一 个 方 程 能 用 根 式 求 解 所 必 须 满 足 的 本 质 条 件 , 他 提 出 的“Galois 域 ”、 “Galois 群 ”和 “Galois 理 论 ”都 是 近 世 代 数 所 研 究 的 最重 要 的 课 题 。 Galois 群 理 论 被 公 认 为 十 九 世 纪 最 杰 出 的 数 学 成 就 之 一 。 他给 方 程 可 解 性 问 题 提 供 了 全 面 而 透 彻 的 解 答 , 解 决 了 困 扰 数 学 家 们 长

4、 达 数 百年 之 久 的 问 题 。 Galois 群 论 还 给 出 了 判 断 几 何 图 形 能 否 用 直 尺 和 圆 规 作 图的 一 般 判 别 法 , 圆 满 解 决 了 三 等 分 任 意 角 或 倍 立 方 体 的 问 题 都 是 不 可 解 的 。最 重 要 的 是 , 群 论 开 辟 了 全 新 的 研 究 领 域 , 以 结 构 研 究 代 替 计 算 , 把 从 偏 重计 算 研 究 的 思 维 方 式 转 变 为 用 结 构 观 念 研 究 的 思 维 方 式 , 并 把 数 学 运 算 归 类 ,使 群 论 迅 速 发 展 成 为 一 门 崭 新 的 数 学 分

5、 支 , 对 近 世 代 数 的 形 成 和 发 展 产 生 了巨 大 影 响 。 同 时 这 种 理 论 对 于 物 理 学 、 化 学 的 发 展 , 甚 至 对 于 二 十 世 纪 结 构主 义 哲 学 的 产 生 和 发 展 都 发 生 了 巨 大 的 影 响 。 第 2 页 共 6 页1843 年 , Hamilton 发 明 了 一 种 乘 法 交 换 律 不 成 立 的 代 数 四 元数 代 数 。 第 二 年 , Grassmann 推 演 出 更 有 一 般 性 的 几 类 代 数 。 1857 年 ,Cayley 设 计 出 另 一 种 不 可 交 换 的 代 数 矩 阵

6、代 数 。 他 们 的 研 究 打 开 了 抽象 代 数 (也 叫 近 世 代 数 )的 大 门 。 实 际 上 , 减 弱 或 删 去 普 通 代 数 的 某 些 假 定 ,或 将 某 些 假 定 代 之 以 别 的 假 定 (与 其 余 假 定 是 兼 容 的 ), 就 能 研 究 出 许 多 种代 数 体 系 。 1870 年 , Kronecker 给 出 了 有 限 Abel 群 的 抽 象 定 义 ; Dedekind 开 始使 用 “体 ”的 说 法 , 并 研 究 了 代 数 体 ; 1893 年 , 韦 伯 定 义 了 抽 象 的 体 ;1910 年 , 施 坦 尼 茨 展

7、开 了 体 的 一 般 抽 象 理 论 ; Dedekind 和 Kronecker 创 立了 环 论 ; 1910 年 , 施 坦 尼 茨 总 结 了 包 括 群 、 代 数 、 域 等 在 内 的 代 数 体 系 的 研究 , 开 创 了 抽 象 代 数 学 。抽 象 代 数 奠 基 人 及 理 论有 一 位 杰 出 女 数 学 家 被 公 认 为 抽 象 代 数 奠 基 人 之 一 , 被 誉 为 “代 数 女 皇“, 她 就 是 Emmy Noether, 1882 年 3 月 23 日 生 于 德 国 埃 尔 朗 根 , 1900 年 入埃 朗 根 大 学 , 1907 年 在 数

8、学 家 哥 尔 丹 指 导 下 获 博 士 学 位 。 Noether 的 工 作在 代 数 拓 扑 学 、 代 数 数 论 、 代 数 几 何 的 发 展 中 有 重 要 影 响 。 1907-1919 年 ,她 主 要 研 究 代 数 不 变 式 及 微 分 不 变 式 。 她 在 博 士 论 文 中 给 出 三 元 四 次 型 的不 变 式 的 完 全 组 。 还 解 决 了 有 理 函 数 域 的 有 限 有 理 基 的 存 在 问 题 。 对 有 限 群的 不 变 式 具 有 有 限 基 给 出 一 个 构 造 性 证 明 。 她 不 用 消 去 法 而 用 直 接 微 分 法生 成

9、 微 分 不 变 式 , 在 格 丁 根 大 学 的 就 职 论 文 中 , 讨 论 连 续 群 (Lie 群 )下 不 变式 问 题 , 给 出 Noether 定 理 , 把 对 称 性 、 不 变 性 和 物 理 的 守 恒 律 联 系 在 一 起 。19201927 年 间 她 主 要 研 究 交 换 代 数 与 交 换 算 术 。 1916 年 后 , 她 开 始 由 古典 代 数 学 向 抽 象 代 数 学 过 渡 。 1920 年 , 她 已 引 入 “左 模 ”、 “右 模 ”的 概 念 。1921 年 写 出 的 是 交 换 代 数 发 展 的 里 程 碑 。 建 立 了 交

10、 换Noether 环 理 论 , 证 明 了 准 素 分 解 定 理 。 1926 年 发 表 , 给 Dedekind 环 一 个 公 理 刻 画 , 指 出 素 理 想因 子 唯 一 分 解 定 理 的 充 分 必 要 条 件 。 Noether 的 这 套 理 论 也 就 是 现 代 数 学 中的 “环 ”和 “理 想 ”的 系 统 理 论 , 一 般 认 为 抽 象 代 数 形 式 的 时 间 就 是 1926 年 ,第 3 页 共 6 页从 此 代 数 学 研 究 对 象 从 研 究 代 数 方 程 根 的 计 算 与 分 布 , 进 入 到 研 究 数 字 、 文字 和 更 一

11、般 元 素 的 代 数 运 算 规 律 和 各 种 代 数 结 构 , 完 成 了 古 典 代 数 到 抽 象代 数 的 本 质 的 转 变 。 Noether 当 之 无 愧 地 被 人 们 誉 为 抽 象 代 数 的 奠 基 人 之 一 。1927 1935 年 , Noether 研 究 非 交 换 代 数 与 非 交 换 算 术 。 她 把 表 示 理 论 、 理想 理 论 及 模 理 论 统 一 在 所 谓 “超 复 系 ”即 代 数 的 基 础 上 。 后 又 引 进 交 叉 积 的 概念 并 用 决 定 有 限 维 Galois 扩 张 的 布 饶 尔 群 。 最 后 导 致 代

12、 数 的 主 定 理 的 证 明 ,代 数 数 域 上 的 中 心 可 除 代 数 是 循 环 代 数 。1930 年 , 毕 尔 霍 夫 建 立 格 论 , 它 源 于 1847 年 的 bool 代 数 ; 第 二 次 世界 大 战 后 , 出 现 了 各 种 代 数 系 统 的 理 论 和 Bourbaki 学 派 ; 1955 年 , Cartan等 建 立 了 同 调 代 数 理 论 。目 前 状 况到 现 在 为 止 , 数 学 家 们 已 经 研 究 过 200 多 种 这 样 的 代 数 结 构 , 如 其 中 最主 要 的 Lie 代 数 是 不 服 从 结 合 律 的 代

13、数 的 例 子 。 这 些 工 作 的 绝 大 部 分 属 于20 世 纪 , 它 们 使 一 般 化 和 抽 象 化 的 思 想 在 现 代 数 学 中 得 到 了 充 分 的 反 映 。初学者应该如何学习抽象代数一些抽象代数(近世代数)的初学者有这样的疑问:我们为什么要研究像群这样的抽象结构呢?有人解释说这是刻画对称性,也有人解释说是现代数学的一种语言,有点道理却又语焉不详。为什么要研究群呢?提出这类问题的人困惑的并不是群的本质,而是需要一个合理的过渡,从具体的代数到抽象代数之间的过渡可以类比于从算术到普通代数的过渡。第一次遇到代数时感到很奇怪,为什么一眼就能看出答案的问题,非要设个未知量

14、 x 来解方程。直到后来发现几个 x 可以抵消,才算领会了方程的方便,再后来遇到二次的情形就非要列方程不可了。如果说方程中字母x 代表某个数的话,那么群中的字母 g 又代表什么呢?它不仅代表处在某个地第 4 页 共 6 页位上的数,更是代表一个特殊的位置,这样的位置是与整个群的结构相互联系的。比如在三阶循环群中,两个生成元尽管作为数是不同的,但它们在群的地位却是一致的。正如普通代数中忽略了数的已知与未知那样,抽象代数中忽略的则是具体数的差异,而集中考虑相应的位置与结构。有的人总是想借助直观来理解抽象,但这对抽象代数的入门却是一个妨碍。还有回忆学习普通代数的情形,如果在学习普通代数的时候固执于用

15、数值检验未知数 x,并不能让你真正领会 x 的精神,只有直接用 x 来进行运算,才能在此基础上领会高级的直观。抽象代数的学习也需要领会相应的高级直观,这里的直观重在代数的结构,因此初学者就应该特别注意那些关于结构的定理。第一个结构定理大概就是同态基本定理,由此可以更加深刻的理解商群。此后,一个非常自然的结构定理就是有限 Abel 结构定理,如果你能够依据此定理确定任意 Abel 群的结构,那么可以说你基本上已经算是入门了。此后,就可以考虑对付非 Abel 群的武器,最初级的武器共轭类,由此衍生出正规子群的概念,而更加深刻的武器则是 Sylow 定理。仅仅作为入门的话,能理解 Sylow 定理也

16、应该算是足够了。群的上面还有环、域、模等代数结构,这里只是简单提一下它们之间的关系。如果说群是青少年的话(半群就是儿童了);那么环与域就是中年人,除了加法之外还增加了一个乘法;而模与向量空间则是老年人,它把环或域作为系数,自身还保留有类似群的加法。这里我要提醒一下,Abei 群其实有着双重身份,它作为群的同时又是一个整数环 Z 上的模,不妨就管他叫老顽童吧。如果像群变环那样,在模上面再引入一个乘法会怎么样呢?也不知为什么,得到的东西就干脆的称为代数。其实,只要能把注意把握结构,抽象代数的入门应该不是太困难,我甚至提议数学专业课是不是可以一开始就群论讲起,这可以促使学生尽早完成代数思维的转变。只

17、要走过了这道门槛,后面还有更加丰富多彩的内容等着你们呢!初学者最好先别考虑非交换环,其中有很多诡异的东西。第 5 页 共 6 页除环上多项式的根很有趣最近读 Lam 的 A First Course in Noncommutative Rings(非交换环初级教程),其中第 16 节讲(非交换)除环上的多项式,顿时让我眼前一亮,原来去掉交换条件之后,多项式根的分布会变得如此有趣。下面我就以实数域 R 上四元数除环 D(由 1,i,j,k 生成)为例,简单说明一下多项式根分布的几种情形。选这样的除环主要的考虑它是(右)代数闭的,不会因为自身的(代数)封闭性而使得应有的根漏掉。当然,更一般的情形是

18、实数闭域上的四元数除环,书中 Niven 与 Jacobson 的一个定理证明了它是代数闭的。先看一个简单的例子 1,i,j,k 显然都满足方程 f(t)=t2+1,这已经说明了在除环中代数基本定理失效!更值得注意的是,满足此方程的根有无穷多个。事实上,对任何 i 的共轭元都是方程的根:对任何 aD,(aia(-1)2=ai2a(-1)=-1.如果认为非交换性会使得根变多的话,不妨看看下面的例子:g(t)=(t-j)(t-i).千万认为它有两个根 j 与 i,其实只有 i 才是它的根,我们可以展开 g(t)=t2-(j+i)t+ji=0,得到 g(j)=-1-(j+i)j+ji=-2k0!问题

19、出在什么地方呢?请注意,作为除环上的多项式,未定元 t 与除环元素是可交换的,但 t=j 时,却有 tiit.也就是说,涉及多项式的乘法运算时,我们不能像交换环那样直接代入。书中给出了一个代入法则,若 p(t)=q(t)r(t)D(t),则 r(d)0 时,有 p(d)=q(h(d)d(h(d)(-1)r(d).由此可以看出,尽管 q 的根未必是 p 的根,但它却是与 p 的某个根共轭的。具体回到这个问题上,若多项式 g 有除 i 之外的根 a,则 a 必与 j 共轭,重复上面的论证可得,a2=-1,代回原方程消去二次项之后,只能有 a=(j+i)(-1)(ji-1)=i,因此多项式 g(t)

20、就只有一个根 i!第 6 页 共 6 页那么,是不是也可能恰好出现两个根呢?请看多项式 h(t)=(t-(j-i)(t-i),读者容易验证它的两个根是 i 与 j+i(不是 j-i,而是它的共轭元 j+i!).这里恰好出现两个根的关键依然在于共轭,由于(j-i)2-1,j-i 并不与 i 共轭。书中给出 Bray-Whaples 的定理说明,如果 n 次多项式有 n 个两两不共轭的根,那么它们就是这个多项式的所有根。这样一来,多项式 h(t)就只有这两个根。作为代数闭除环上的多项式,它至少应该存在一个根。书中给出的Gordon-Motzkin 的定理,又说明了若除环上一个共轭类中若包含某多项式的两个根,则一定包含无数个根。这样的一来,上述的例子就穷尽了二次多项式F(t)=(t-a)(t-b)的所有可能根的情形:若 a 与 b 不共轭,则它有一个根 b 与另一个共轭于 a 的根;若 a 与 b 共轭,则它只有一个根或者有无数多个根。按照上面 f(t)与 g(t)的分析可以知道,在 a2R 的条件下,若 a+b=0,则方程有无数根;若 a+b0,则方程只有一根。而 a2 不属于 R 的情况,还需要进一步的研究。

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