1、一 预备知识 二 多元函数的概念 三 多元函数的极限 四 多元函数的连续性,第一节 多元函数的极限及连续性,1.邻域,一、预备知识,2. 内点,3. 边界,注：,4. 连通集,5. 区域,连通的开集称为区域或开区域,开区域连同它的边界一起称为闭区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,6 有界点集、无界点集,例如，,7 n维空间,设两点为,比如：,当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,二、多元函数的概念,类似地可定义三元及三元以上函数,多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念,1 多元函数的定义,例1 求 的定义域,例2 求 的定义域,说明：二元函数的图形通常是一张曲面.,
2、如二元函数 的图形是以原点为球心，半径为 的上半个球面；,而 表示以坐标原点为顶点的上半个锥面,三、多元函数的极限,聚点,内点一定是聚点；,说明：,边界点可能是聚点,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,证,例1 求证,当,时,原结论成立,证,例2 求证,当 时，,所以结论成立,证,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,例3 证明 不存在,取,确定极限不存在的方法：,1 定义,四、多元函数的连续性,解,当 时，,故函数在(0,0)处连续.,解,取,故函数在(0,0)处不连续,2 间断点,函数的间断点的判定（只要满足下列一条）：,（1）函数在此点处无定义；,（2）函数在此点处有定义，但无极限；,（3）函数在此点处有定义，有极限，但极限不等于函数值,注意：（1）多元函数的间断点有可能是一点，也可能形成一条曲线；,（2）多元初等函数在其定义区域内是连续函数定义区域是指包含在定义域内的区域,解,例6 求,函数 的定义域,显然,故,例,解,例8,解,3 闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,
