1、92 梁的挠曲线近似微分方程,9-3 积分法计算梁的变形,9-5 梁的刚度计算及提高梁刚度的措施,第9章 梁的弯曲变形与刚度计算,9-1 工程中的弯曲变形问题,9-6 简单超静定梁,9-7 梁的弯曲应变能,9-4 叠加法计算梁的变形,弯曲构件除了要满足强度条件外, 还需满足刚度条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。,9.1 工程中的弯曲变形问题,9.1 工程实际中的弯曲变形问题,7-1,9.1 工程实际中的弯曲变形问题,度量梁变形后横截面位移的两个基本量:挠度和转角,挠度(w): 横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移, 称为该截面的挠度(Deflection) 。,y,x
2、,A,B,C,转角(): 横截面绕中性轴(即Z轴)转过的角度（或角位移）, 称为该截面的转角(Slope rotation angle) 。,取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为x轴, 横截面的铅垂对称轴为y轴, xy平面为纵向对称平面。,9.1 工程实际中的弯曲变形问题,F,挠度和转角符号的规定：,挠度：在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。,转角： 逆时针转向为正,顺时针转向为负。,y,x,A,B,C,C1,9.1 工程实际中的弯曲变形问题,F,必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后, 在x轴方向也有线位移。,9.1 工程实际中的弯曲变形问题,y,x,A,B,C,C1,F,但在小变形情况下
3、, 梁的挠度远小于跨长, 横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量, 可略去不计。,挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。,挠曲线方程:,式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该点的挠度。,y,x,A,B,C,C1,9.1 工程实际中的弯曲变形问题,F,挠度与转角的关系：,y,x,A,B,C,C1,9.1 工程实际中的弯曲变形问题,F,9.2 挠曲线的近似微分方程,横力弯曲时, M和都是x的函数。略去剪力对梁的位移的影响, 则,纯弯曲时曲率与弯矩的关系为,由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作,曲线向上凸 时： w0, M0,因此, M与w的正负号相同。,M0 w0,M0 w0,
4、曲线向下凸 时： w0, M0,由于挠曲线是一条非常平坦的曲线, w2远比1小, 可以略去不计, 于是上式可写成,此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。 (Approximately differential equation of the deflection curve),称为近似的原因: (1) 略去了剪力的影响; (2)略去了w2项。,再积分一次, 得挠度方程,上式积分一次得转角方程,若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量, 上式可改写成,式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边界条件和变形的连续性条件来确定。,9.3 积分法求弯曲变形,简支梁,悬臂梁,边界条件(boundary co
5、ndition),wA0,wB0,wA0,qA0,连续性条件 (Continuity condition),在挠曲线的任一点上, 有唯一的挠度和转角。如:,不可能,不可能,c,例1：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁, 在自由端受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度wmax和最大转角max 。,A,B,l,x,y,解：以梁左端A为原点, 取直角坐标系, 令x轴向右, y轴向上为正。,(1) 列弯矩方程,F,(2) 列挠曲线近似微分方程并积分,(3) 确定积分常数,代入式(a)和(b), 得：,C10, C20,在x0处, w0,在x0处, q0,A,B,l,x,y,F,(
6、4) 建立转角方程和挠度方程,将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b), 得梁的转角方程和挠度方程分别为：,(5) 求最大转角和最大挠度,自由端B处的转角和挠度绝对值最大。,所得的挠度为负值, 说明B点向下移动; 转角为负值, 说明横截面B沿顺时针转向转动。,l,A,B,q,例2: 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax和最大转角max 。,x,y,解: 由对称性可知, 梁的两个支反力为,梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为,积分两次,简支梁的边界条件是,在x0处, w0,在xl处, w0,代入(c)、
7、(d)式确定出积分常数,由对称性可知, 在两端支座x0和xl处, 转角的绝对值相等且都是最大值,在梁跨中点l/2处有最大挠度值,例3：图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并求其最大挠度和最大转角。,l,A,B,F,a,b,D,解: 求出梁的支反力为,将梁分为I和II两段, 其弯矩方程分别为,I,II,两段梁的挠曲线方程分别为,积分一次得转角方程,再积分一次得挠曲线方程,挠曲线方程,注意：在对梁段II进行积分运算时, 对含有(x-a)的弯矩项不要展开, 而以(x-a)作为自变量进行积分, 这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。,D点的连
8、续条件：,在x = a处, q1q2, w1w2,边界条件:,在x = 0处, w10,在x = l处, w20,代入方程可解得:,将积分常数代入得,转角方程,挠曲线方程,将x = 0和x = l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角,当a b时, 右支座处截面的转角绝对值为最大,简支梁的最大挠度应在w0处。研究第一段梁, 令w10得,当a b时, x1 a, 最大挠度确实在第一段梁中,在极端情况下, 当b非常小, 以致b2与l 2项相比可以略去不计时,讨论1:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？,则：当F从梁中点位置向B支座移动时，b值减小时，x从0.5L向0.577L趋近（F接近B点时）；
9、,此时最大挠度的位置离梁中点最远，梁中点挠度与最大挠度应该差距较大。,梁中点C处的挠度为,结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工程要求的。,略去b2项, 得,讨论2: BD段上有无=0的点？,条件：由于梁的变形微小, 梁变形后其跨长的改变可略去不计, 且梁的材料在线弹性范围内工作, 因而, 梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。,9.4 按叠加原理计算梁的挠度和转角,在这种情况下, 梁在几项载荷 (如集中力、集中力偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角, 就分别等于每项载荷单独作用下该截
10、面的挠度和转角的叠加。此即为叠加原理。,例1：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC 和支座处横截面的转角A ,B 。,B,A,q,l,Me,C,解：将梁上荷载分为两项简单的荷载。,例2:试利用叠加法, 求图示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC。,B,q,l/2,A,C,l/2,解：该梁上荷载可视为正对称载荷与反称对载荷两种情况的叠加。,(1) 正对称载荷作用下,(2) 反对称荷载作用下,在跨中C截面处, 挠度wC2等于零。,(3) 将相应的位移进行叠加, 即得,例3 用叠加法求梁中点处的挠度。设bl / 2 。,l/2,l,A,B,q,b,解：将均布荷载
11、看作许多微集中力dF组成,dF = qdx,C,当b=l/2时,结果与例2一致.,例4 叠加法（逐段刚化法)抗弯刚度为EI，求B处的挠度与转角、C处的转角。,=,+,一、梁的刚度条件：,、校核刚度：,、设计载荷。,其中 称为许用转角；w 称为许用挠度。通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、设计截面尺寸；,9-5 梁的刚度计算,例1（类似教材P159 例题9-5） 下图为一空心圆梁，内外径分别为：d=40mm，D=80mm，梁的E=210GPa，工程规定C点的w =0.00001m，B点的 =0.001弧度，试校核此梁的刚度。,=,+,解：结构变换，查表求简单载荷变形(P2的计算可利用上节例4的
12、结果)。,叠加求复杂载荷下的变形,校核刚度,所以刚度是足够的。,内外径分别为：d=40mm，D=80mm,讨论：强度校核问题,二、提高梁的刚度的措施,由梁的位移表(表9-3)可见, 梁的变形(挠度和转角)除了与梁的支承和荷载情况有关外, 还取决于以下三个因素, 即,材料梁的变形与材料的弹性模量E成反比；,截面梁的变形与截面的惯性矩I成反比；,跨长梁的变形与跨长l的n次幂成正比(在各种不同荷载形式下, n分别等于1, 2, 3或4)。由此可见, 为了减小梁的位移, 可以采取下列措施：,1. 增大梁的弯曲刚度EI,对于钢材来说, 采用高强度钢可以显著提高梁的强度, 但对刚度的改善并不明显, 因高强
13、度钢与普通低碳钢的E值是相近的。因此, 为增大梁的刚度, 应设法增大I值。在截面面积不变的情况下, 采用适当形状的截面使截面面积分布在距中性轴较远处, 以增大截面的惯性矩I, 这样不仅可降低应力, 而且能增大梁的弯曲刚度以减小位移。所以工程上常采用工字形、箱形等截面。,2调整跨长和改变结构,9.6 简单超静定梁,A,B,q,要求解如图所示的超静定梁，可以以B端的活动铰支座为多余约束，将其撤除后而形成的悬臂梁即为原超静定梁的基本静定梁。,FB,为使基本静定梁的受力及变形情况与原静不定梁完全一致，还要求基本静定梁满足一定的变形协调条件。,FB,由于原静不定梁在B端有活动铰支座的约束，因此，还要求基
14、本静定梁在B端的挠度为零，即,此即应满足的变形协调条件(或变形相容条件),建立补充方程,wBF,wBq,由图可见，B端的挠度为零，可将其视为均布载荷引起的挠度wBq与未知支座反力FB引起的挠度wBF的叠加结果，即:,由表9.3查得力与变形间的物理关系：,将其代入前式得：,即得补充方程,由此解出多余约束反力：,再利用平衡方程即可求得其他支座反力。,1:选取适当的多余约束，得到基本静定梁； 2:利用相应的变形协调条件和物理关系建立补充方程； 3:与平衡方程联立解出所有的支座反力,解静不定梁时，选择哪个约束为多余约束并不是固定的，可根据解题时的方便而定。,解静不定梁的步骤,这种解静不定梁的方法，称为变形比较法。求解静不定问题的方法还有多种，以力为未知量的方法称为力法，变形比较法属于力法中的一种。,这时要求此梁满足的变形条件为：,MA,由表查得，因q和MA而引起的截面A的转角分别为,对于上例,可以取固定端A的力偶矩为多余约束反力来进行计算:,MA,将其代入变形条件后得补充方程为,由此解得,、变形协调方程,解：、建立静定基,例1 结构如图，求B处反力。,LBC,、物理方程变形与力的关系,、补充方程,LBC,弯曲应变能的计算：,应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去,d,M,d,q,9.7 梁的弯曲应变能,例 已知 EI，P, a, 求梁的应变能。,解：,利用对称性，得：,本章结束,
