1、1,8.1.2 应力的概念,正应力 ：与截面垂直的应力分量 切应力 ：与截面相切的应力分量,应力：内力在一点处的分布集度,单位：帕斯卡，符号 Pa，常用千帕（kPa）、兆帕（MPa）及吉帕（GPa），1Pa=1N/m2,平均应力 pm=F/A 应力,2,8.4.1 基本概念,8.4 平面弯曲杆件的应力和变形,8.4.2 梁横截面上的正应力公式,8.4.3 梁的切应力,8.4.4 梁的挠度和转角,3,8.4.1 基本概念,1、平面弯曲,梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲，或对称弯曲。,2、纯弯曲,纯弯曲梁弯曲时，各横截面上只有弯矩而无剪力的情况。,4,8.4.2 梁横
2、截面上的正应力公式,几何方面,静力学方面,应力计算公式,导出,物理方面,8.4.2.1 纯弯曲时的正应力,5,要找出梁横截面上正应力变化规律，须先找出纵向线应变在该截面上的变化规律。,1、几何方面,梁变形后现象： 各横向线仍为直线,只倾斜一角度 各纵向线弯成曲线,上部纵向线缩短,下部纵向线伸长纵向线伸长区梁宽减小;纵向线缩短区梁宽增大,6,由观察变形而得的假设: 平面假设: 横截面变形后仍保持平面,且仍垂直于变形后梁轴线,只绕横截面内某轴(中性轴)转一角度 单向(纵向)受力假设: 变形后各纤维之间互不挤压,只受拉伸或压缩作用.,中性层: 梁内既不伸长 也不缩短的纵向纤维层 中性轴(z轴): 中
3、性层与各横截面的交线,垂直于横截面的对称轴y,7,纵向纤维线应变变化规律: 变形前： 变形后: ab的伸长量： ab的线应变:,8,2、物理方面（弹性）,3、静力学方面 (合力矩定理、合力定理),9,推论1 : 中性轴必通过截面形心,推论2 : z 轴为主惯性轴,EIz 梁的弯曲刚度,正应力计算公式,M 横截面上的弯矩 y 所计算点到中性轴的距离 Iz 截面对中性轴的惯性矩,10,最大正应力,危险截面: 最大弯矩所在截面 Mmax 危险点：距中性轴最远边缘点 ymax,令Iz /ymax=Wz ,则max=Mmax/Wz Wz 弯曲截面系数,应力正负号确定,M为正时,中性轴上部截面受压下部截面
4、受拉; M为负时,中性轴上部截面受拉下部截面受压.在拉区为正，压区为负,11,例67 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面积相同的矩形截面、圆形截面和工字形截面，试求以上三种截面梁的最大拉应力。设矩形截面高为140mm，宽为100mm，面积为140100 mm2。,12,解： kNm,(1)矩形截面,mm3=3.27105mm3,Pa=91.7MPa,(2)圆形截面 d=133.5mm,mm3=2.34105mm3,Pa=128.2MPa,13,(3)工字形截面 50C,cm3,Pa=14.4MPa,以上计算结果表明，在承受相同荷载截面面积相同（即用料相同）的条件下，工字形截面梁所产
5、生的最大拉应力最小，矩形次之，圆形最大。反过来说，使三种截面的梁所产生的最大拉应力相同时，工字梁所能承受的荷载最大。,14,例6-8 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。试求最大的拉应力及最大的压应力。已知截面的惯性矩 m4。,15,解：MC=30kNmMB=40kNm,(1) B截面,Pa=21.4MPa,Pa=38.6MPa,(2) C截面,Pa=28.9MPa,Pa=18.1MPa,16,由计算可知，全梁最大的拉应力为28.9MPa，发生在C截面下边缘各点处，最大的压应力为38.6MPa，发生在B截面下边缘各点处。,思考： 若将截面倒置，则最大的拉应力和压应力又为多少？,17,8.4.
6、3 梁的切应力,1、矩形截面梁,切应力分布假设：横截面上的切应力都平行于竖向边界；切应力沿截面宽度均匀分布，与中性轴等距处大小相等,FQ横截面上剪力； Iz整个横截面对中性轴的惯性矩； b 所求剪应力处的截面宽度； Sz*所求剪应力处横线一侧部分面积A*对中性轴静矩,18,切应力沿截面高度的变化规律：,切应力沿截面高度按二次抛物线规律变化， y=h/2, =0; y=0, =max;,19,A圆截面的面积,3、圆形截面梁切应力分布假设不适用最大切应力仍发生在中性轴上:,4、薄壁圆环截面梁,A薄壁圆环截面的面积,20,例6-9 一矩形截面梁如图所示，该梁某一截面上所受的剪力FQ=200kN，试计
7、算该截面最大的切应力及A、B点的切应力。若分别改用截面面积相同圆形截面（d=133.5mm）和工字形截面（50C），试求最大的切应力。,解:(1) 计算矩形截面梁最大的切应力,Pa=21.4MPa,21,(2) 计算矩形截面梁A、B点切应力,mm4=2.29107mm4,mm3=165000mm3,mm3=120000mm3,Pa=14.4MPa,Pa=10.4MPa,22,(3) 求圆形截面最大的切应力,Pa=19.1MPa,(4) 求工字钢最大的切应力,Pa=29.9MPa,23,7.4.1 梁的强度计算,1、 正应力强度条件, 材料的许用正应力,2、 正应力强度计算,校核强度:,截面设计
8、:,确定许用荷载:,24,3、梁的切应力强度校核,（1）切应力计算公式,FQmax 梁内最大剪力 Sz* 面积A对中性轴静矩 Iz 截面惯性矩 b 截面宽度或腹板厚度,（2）切应力强度条件, 材料弯曲时许用切应力,25,设计梁时必须同时满足正应力和切应力的强度条件。对细长梁，弯曲正应力强度条件是主要的，一般按正应力强度条件设计，不需要校核切应力强度，只有在个别特殊情况下才需要校核切应力强度。,说明,26,（1）画出梁的剪力图和弯矩图, 确定|FQ|max和|M|max及其所在截面的位置，即确定危险截面。注意两者不一定在同一截面；（2）根据截面上的应力分布规律，判断危险截面上的危险点的位置，分别
9、计算危险点的应力，即max和max（二者不一定在同一截面，更不在同一点）；（3）对max和max分别采用正应力强度条件和切应力强度条件进行强度计算，即满足max , max ,弯曲强度计算的步骤,27,例7-4 如图所示一简支梁及其所受的荷载。设材料的许用正应力10 MPa，梁的截面为矩形，宽度b80 mm，试求所需的截面高度。,28,解：（1）由正应力强度条件确定截面高度,kNm=5kNm,m3=510-4m3,对于矩形截面,（ ）m=0.194m,可取 h=200mm,该梁的最大弯矩为,29,例7-5 一T形截面铸铁梁所受荷载如图所示。已知b=2m，IZ=5493104mm4，铸铁的许用拉
10、应力t30MPa，许用压应力c90MPa，试求此梁的许用荷载 F。,30,解：（1）作弯矩图并判断危险截面,铸铁梁截面关于中心轴不对称，中心轴到上下边缘的距离分别为,y1=134mm, y2=86mm,全梁的最大拉应力和最大的压应力点不一定都发生在最大弯矩截面上，故B、C截面都可能是危险截面。,31,（2）求许用荷载F,C截面的下边缘各点处产生最大的拉应力，上边缘各点处产生最大的压应力。,t=30106Pa,F24.6kN,c=90106Pa,F115kN,32,B截面的下边缘各点处产生最大的压应力，上边缘各点处产生最大的拉应力。,t=30106Pa,F19.2kN,c=90106Pa,F38
11、.9kN,综上所得,F=19.2kN,33,7.4.3 提高梁承载能力的措施,1、强度方面,（1）采用合理截面形状原则：当面积A一定时,尽可能增大截面的高度,并将较多的材料布置在远离中性轴的地方,以得到较大的弯曲截面模量可以用比值Wz/A说明,比值越大越合理。直径为h圆形截面: Wz/A=(h3/32)/ (h2/4)=0.125h高为h宽为b矩形截面: Wz/A=(bh2/6)/bh=0.167h高为h槽形及工字形截面: Wz/A=(0.270.31)h,可见, 工字形、槽形截面比矩形合理, 圆形截面最差。,34,（2）采用变截面梁,目的: 节省材料和减轻自重理想情况: 变截面梁各横截面上最大正应力相等等强度梁:每个截面上的最大正应力都达到材料的许用应力的梁。,35,（3）改善梁的受力状况,示例1 调整支座位置,36,示例2 增加辅梁,
