1、纯弯曲时的正应力 Normal Stresses During Pure Bending,南京航空航天大学 刘荣梅,2020年2月9日,一、概述,如何设计车轮轴的横截面?,如何计算火车车轮轴内的应力?,1. 问题的提出,如何简化出火车车轮轴的计算模型?,纯弯曲时的正应力：概述,纯弯曲( Pure Bending) 弯矩为常量，剪力为零（如图中AB 段 ）,横力弯曲(Transverse Bending) 既有弯矩，又有剪力（如图中AC 段和BD 段 ）,平面弯曲( Plane Bending),纯弯曲时的正应力：概述,2. 纯弯曲时的变形特征,（2）各横向线相对转过了一个角度,（1）各纵向线段
2、弯成弧线，,且部分纵向线段伸长，,部分纵向线段缩短。,仍保持为直线。,（3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。,纯弯曲时的正应力：概述,3. 纯弯曲时的基本假设,变形后仍为平面,（2）纵向纤维间无正应力,（1）平截面假设( Plane Assumption ),(a) 变形前为平面的横截面,纵向纤维无挤压,(b) 仍垂直于变形后梁的轴线,纯弯曲时的正应力：概述,从几何关系、,变形,应变分布,应力分布,应力 表达式,物理关系和,静力学关系这三方面着手，,研究直梁纯弯曲时横截面上的正应力。,二、公式推导,研究思路：,纯弯曲时的正应力：公式推导,1. 变形几何关系,纯弯曲时的正应力：公式推导,直梁纯弯
3、曲时纵向线段的线应变与它到中性层的距离成正比。,纯弯曲时的正应力：公式推导,2. 物理关系( Hooke 定律),距离中性层为y的纵向纤维的应变,结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，与它到中性层的距离成正比。,即沿截面高度，,弯曲正应力按线性规律变化。,中性轴,纯弯曲时的正应力：公式推导,3. 静力平衡关系,横截面上内力系为垂直于 横截面的空间平行力系。,这一力系向坐标原点O简化， 得到三个内力分量。,纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力,纯弯曲时的正应力：公式推导,上式表明中性轴通过横截面形心。,将应力表达式代入（1）式，得,将应力表达式代入(2)式，得,纯弯曲时的正应力：公式推
4、导,将应力表达式代入(3)式，得,纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式,公式应用条件：直梁纯弯曲线弹性,纯弯曲时的正应力：公式推导,抗弯截面模量( Section Modulus),矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,型钢,可查型钢表或用组合法求,纯弯曲时的正应力：公式推导,例1,如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。,分析：,纯弯曲,解：,（1）计算W,（2）计算 max,纯弯曲时的正应力：例题,（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：,由此可见，载荷相同、 max要求相等的条件下，采用空心轴节省材料。,例2,在相同载荷下，将实心轴改成max 相等的空心轴，空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量比。,解：（1）确定空心轴尺寸,由,纯弯曲时的正应力：例题,思考,试用弯曲正应力条件证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。,从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？ 才能最有效利用材料？,意为矩形梁木的高:宽=3:2。,“凡梁之大小，各随其广分为三分，以二分为厚。”,纯弯曲时的正应力：结论与讨论,谢谢大家,
