1、中考总复习二：代数式一、单元知识网络： 二、考试目标要求： 1.代数式在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义；能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义；会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.2.整式与分式了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算(其中的多项式相乘仅指一次式相乘)；会推导乘法公式： ，了解公式的几何背景，并能进行简单计算；会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解( 指数是正整数)；了解分式的概念，会利用分式的基本
2、性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算.3.二次根式了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）.三、知识考点梳理考点一、整式的有关概念1.代数式(1)用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式单个的数字或字母也可以看作代数式(2)列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来(3)用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值2、单项式只含有数字与字母的积的形式的代数式叫做单项式。单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算在含有除法
3、运算时，除数( 分母) 只能是一个具体的数，可以看成分数因数单独一个数或一个字母也是单项式单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，如是 6 次单项式。cba235注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如 ，这种表示就ba2314是错误的，应写成 。ba2313.多项式： 几个单项式的代数和叫做多项式也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.4.整式： 单项式和多项式统称整式用数值代替代数式中的字母，按照代
4、数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧， “整体”代入。考点二、多项式 （11 分）1、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。1.若单项式 是同类项，则 的值是( ) A、-3 B、-1 C、 D、3考点：同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.思路点拨：同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.解：由题意单项式 是同类项，所以 ，解得 ， ，应选 C.总结升华：判断两个单项式是否
5、同类项或已知两个单项式是同类项，需满足：(1)所含字母相同；(2) 相同字母的指数也相同.2、整式的运算法则 整式的加减：整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用整式的加减法：去括号去括号法则:1）括号前是“+” ，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。2）括号前是“” ，把括号和它前面的“”号一起去掉，括号里各项都变号。合并同类项。把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.整式的乘除幂的运算性质：单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的
6、指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加用式子表达：多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项
7、除以这个单项式，再把所得的商相 加2.下列各式中正确的是( ) A. B.a 2a3=a6 C.(-3a 2)3=-9a6 D.a 5+a3=a8考点：整数指数幂运算.分析：选项 B 为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a 2a3=a5，所以 B 错；选项 C 为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a 2)3=-27a6，所以 C 错；选项 D 为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以 D 错；选项 A 为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A 正确 .答案选 A. 3.计算：(a 2+3)(a-2)-a(a2-2a-2) 解: (a2+3)(a
8、-2)-a(a2-2a-2)=a 3-2a2+3a-6-a3+2a2+2a=5a-64.利用乘法公式计算： (1)(a+b+c) 2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)思路点拨：利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形.解：(1)(a+b+c) 2 可以利用完全平方公式，将 a+b 看成一项，则：(a+b+c)2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a 2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公式
9、，将符号相同的看作公式中的 a，将符号相反的项，看成公式中的 b，原式=2+(2a 2-3b2)2-(2a2-3b2)=4-(2a 2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.举一反三【变式 1】如果 a2+ma+9 是一个完全平方式，那么 m=_.解析：解法一：利用完全平方公式：(a3) 2=a26a+9.解法二：利用一元二次方程根的判别式，若 a2+ma+9 是一个完全平方式，则关于 a 的一元二次方程a2+ma+9=0 有两个相等的实数根，=0，即 m2-36=0， m=6.解法三：利用配方法， a2+ma+9=a2+ma ， 是一个完全平方式， ， m 2=36， m=6.【变式
10、 2】设 ，则 =_.思路点拨：本题利用乘法公式恒等变形，及互为倒数的运算性质.解： ，两边平方得 ， ， ，【变式 3】用相同的方法可以求 ， 等的值.总结升华：此题是反复运用完全平方公式，把 ， 变形为关于 的代数式，从而使问题得到解决.这是利用条件求值问题的一个基本思路.【变式 4】若 a2+3a+1=0，求 的值.思路点拨：有上题做铺垫，我们可以想到将 a2+3a+1=0 变形为 的形式，a0，将等式两边同时除以 a，得 ， ， .考点三、因式分解 1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2、因式分解的常用方法（1）提公因式
11、法： )(cba（2）运用公式法： 22)(22baa（3）分组分解法： )()()( dcbadcdc （4）十字相乘法： )(2 qpqp3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2 项式可以尝试运用公式法分解因式；3 项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4 项式及 4 项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。5.因式分解： (1) 3a 3-6a2+12a； (2)(a+b)2-1； (3) x2-12x+36； (4)(a2+b2
12、)2-4a2b2考点：运用提取公因式法和公式法因式分解.思路点拨：把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.解：(1) 3a 3-6a2+12a=3a(a2-2a+4)(2)(a+b) 2-1=(a+b)2-12=(a+b)+1(a+b)-1=(a+b+1)(a+b-1)(3)x 2-12x+36=(x-6)2(4)思路点拨： 4a2b2 可写成(2ab) 2，可先用平方差公式进行因式分解为 (a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)，两个括号里又符合完全平方公式，还应继续分解
13、直到不能分解为止.(a 2+b2)2-4a2b2=(a2+b2-2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2举一反三【变式 1】因式分解：(1) ；(2) ； (3) .解：(1)(2)(3)总结升华：在解题前应先观察题目特征，灵活选取分解方法，往往一题有几种解法或一题需要综合运用几种方法.分解因式一定要分解到不能分解为止. 考点四、分式1、分式的概念(1)分式的意义： 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式其中分式 无意义； 分式 有意义分式 的值为 0 A=0 且 这两个条件缺一不可(2)最简分式： 如果一个分式的分子、分母没有公因式，那么
14、这样的分式叫做最简分式(也叫既约分式)如果一个分式的分子、分母有公因式，那么可根据分式的基本性质，用分子、分母的公因式去除分子和分母，将分式化成最简分式，或者化成整式，这就是约分分式和整式通称为有理式。6.当 x 取何值时，分式 有意义？分式的值等于零？ 思路点拨：当分母等于零时，分式没有意义，此外分式都有意义；当分子等于零时，并且分母不等于零时，分式的值等于零.解：当分母 ，即 且 时，分式 有意义.根据题意，得,由1解得：x=1 或 x=2,由 2解得 且 ，所以，当 x=2 时，分式的值等于零.总结升华：(1) 讨论分式有无意义时，一定对原分式进行讨论，而不能先化简，再对化简后的分式讨论
15、；(2)讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行；(3) 在解分式的有关问题时，应特别注意分母不为零这个隐含条件.举一反三【变式 1】已知 x=-2 时，分式 无意义；当 x=4 时，分式值为 0，则 a+b= .考点：分式无意义及分式值为 0 的条件.解：当 x=-2 时，分式为 ；分式无意义，可得：-2+a=0，即 a=2.当 x=4 时，分式为 ；分式值为 0，可得： ，即 b=4.所以 a+b=6.2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。即：（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，
16、分式的值不变。3、分式的运算法则分式的加减： ， 分式的乘除： ， 分式的乘方： .7.计算 .考点：分式的混合运算.思路点拨：此题是加减乘除混合运算，有两种运算顺序，其一是规定顺序，先将括号内的两分式通分相减得： ，再将分式 的分子、分母颠倒与之相乘.其二是按乘法对加法的分配律，先把的分子、分母颠倒与被减数，减数相乘，再相减.两种顺序哪一种简单，要看题目中式子特点确定.解题过程如下：解法 1：原式 ；解法 2：原式 .举一反三【变式 1】先化简，再求值： ，其中 满足 .解： =或 当 时， 分式 无意义. 原式的值为 2.总结升华：此题需注意所求得的 x 值需满足分式有意义，此处经常会被同
17、学们忽视，要引起注意.【变式 2】先化简，再求值：( ) ，其中 x=2005解：原式= = ,当 x=2005 时，原式= .【变式 3】有这样一道题：“计算： 的值，其中 .”甲同学把“ ”错抄成“ ”，但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事？解： = = =0 ,结果恒为 0，与 的取值无关. 错抄成 不影响结果.【变式 4】已知 x、y 是方程组 的解，求代数式 的值.考点：一元二次方程组解法、分式的化简求值.思路点拨：一般地，在求代数式的值的问题中，可以先化简，再代入求值；也可以先代入，直接进行数的计算求值.两种方法哪一种简单要看代数式化简及数的计算的繁简程度而定.具体计算时，要
18、选择简捷方法.此题所给分式运算，化简难度较大，应该求出方程组的解，直接把解代入，进行数的运算.解题过程如下：解：解方程组： 得原式 .考点五、二次根式 （初中数学基础）1、二次根式概念：式子 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“ ”；被开方数 a 必须是非负数。)0(a性质： 2、最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数
19、或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。8.下列二次根式中属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D.考点：最简二次根式的定义.思路点拨：依据最简二次根式的定义来判别.最简二次根式所满足的条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；二者缺一不可.解：对于选项 B， ，不满足条件(2) ；选项 C， 中被开方数含有分母，且分母中含有字母，不是整式，不满足条件(1) ；选项 D， ，也不满足条件(2) ；只有选项 A 满足条件(1)(2) ，故选 A.3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类
20、二次根式。4、二次根式的性质 )0()(2a)( 2)0(a ,bab )0,(bab5、二次根式混合运算二次根式的乘除：二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号） 。9.化简：(1) ； (2) ； (3) . 思路点拨：二次根式的化简即利用二次根式的基本性质进行化简，要注意使二次根式有意义的条件，在允许的取值范围内进行化简.(1)解： b0， ， a 0. .(2)解法一：0x1， x0， x-10，解法二：0x1， ， ，(3)解：化简二次根式的隐含条件是 ，且 a0.a 20， -(a+1)0， a-1， 或 .
