1、15-1 某放大器的传递函数如下1)(TsKG今测得其频率响应，当 时，幅频 A=12/2，相频 。问放大系数 K 及时间常rad/4数 T 各为多少。解 当 时s/162)(2KjG41arctgTj由上述两式得 ， 。s265-2 设单位负反馈控制系统的开环传递函数 ，当下列输入信号作用在闭环10)(sG系统上时，求系统的稳态输出 。sc（1） )30sin()ttr（2） 452co（3） )452cos()si() tttr解 （1）系统的闭环传递函数为10)(s由输入信号的表达式可知 。当 时，幅值及相角分别为srad/srad/19.)(2j 1.51arctgj系统的稳态输出为)
2、81.24sin(9.0)(30sin)( tjtjcs（2）由输入信号的表达式可知 。当 时，幅值及相角分别为rad/2srad/8.12)(j 3.0arctgj稳态输出为2。)3.52cos(78.1)2(452cos)( 02 tjtjc（3）根据线性系统叠加原理得).s(.)81.in(9.0tts5-3 若系统的单位阶跃响应为tteth948.0.)()0(试求系统的频率特性。解 对阶跃响应进行拉氏变换得)9(43698.04.1)( sssthL则系统的闭环传递函数为)(36)(ss系统频率特性 )9(4jjj5-4 试求图 5-1 所示网络的频率特性，并画出其对数幅频渐近线。解
3、 (a) 1)(2121CsRRsUrc令 ， 则12T1)(jjUrc其对数幅频渐近特性如图 5-2 所示（b）网络的传递函数为R1R2C+_ucur+R2R1+_ _C1C2ucur_R1R2+_Cucur(a) (b) (c)图 5-1 lg20T120dB/dec图 5-2 对数幅频渐近特性曲线31)()21CsRsUrc令 则 CRT221)(TjjUrc其对数幅频渐近特性如图 5-3 所示。(c)网络的传递函数为 sCRssCRsrc 2121)()令 ， 且 ，为简化问题的分析设 满足1T21T21,CR且)1()()( 21221212121 sTsTsss。21,T由 则一定
4、存在 ，使得2121 ,/综上得 )1)()21jTjjUrc对数幅频渐近特性如图 5-4 所示。5-5 试绘制传递函数12)(sG的幅相曲线，对数幅频和对数相频曲线。解 22142)( arctgejj 其幅相曲线如图 5-5 所示，对数幅频和对数相频曲线如图 5-6 所示。5-6 概略绘制以下传递函数的幅相曲线T1-20dB/dec图 5-3 对数幅频渐近特性曲线 122-20dB/dec 20dB/dec图 5-4 对数幅频渐近特性曲线图 5-5 幅相曲线图 5-6 对数幅频和对数相频曲线j图 5-7 幅相曲线4（1） 20(1)sG（2） ()(s（3） 210.()解 （1） ,其幅
5、相曲线如图 5-7 所示。)180(2arctgjejG（2） ，其幅相曲线如图 5-8 所示。)2/90(22)4()( arctgtjj （3） ，其幅相曲线如图 5-9 所示。)1.0180(2.01)( arctgtjejG5-7 试画出以下传递函数的对数幅频渐近特性曲线和相频特性曲线（1） 2()1)(8Gss（2） 250()(6j图 5-8 幅相曲线 j图 5-9 幅相曲线5（3） 210(.)sG（4） )254)(1.08)22sss解 （1）系统由下列环节组成)()(18)( 32GssGdBL0.6lg)(,211, 转折频率)(ssra/52,转折频率183G1.38)
6、(rctgartj其对数幅频渐近特性曲线和相频特性曲线如图 5-10 所示.(2)系统由下列环节组成 )()(16150)( 43222 sGsssGdBL98.350lg)(,11,低频段的斜率为-40dB/dec.22)(s,转折频率 .163Gsra/17.3转折频率 )(24sd421680rctgartj其对数幅频渐近特性曲线和相频特性曲线如图 5-11 所示.（3）系统由下列环节组成)()()15(012)( 432sGsssGdBL0.6lg2,11,低频段的斜率为-40dB/dec.22)(s,转折频率 .103Gsra/1.3转折频率 .5)(4sd204图 5-10 对数幅
7、频和相频曲线图 5-11 对数幅频和相频曲线图 5-12 对数幅频和相频曲线6.5108)( arctgrctjG其对数幅频渐近特性曲线和相频特性曲线如图 5-12 所示.(4)系统由下列环节组成 )()()(2541)(25.0)( 5432122 sGssGssss dBLG30.lg0,3.811 ,低频段的斜率为-40dB/dec.22)(s,转折频率 .03sra/.3转折频率 .1)(24sGd14,转折频率 .55sr/5.2254108)( actgactgrctj其对数幅频渐近特性曲线和相频特性曲线如图 5-13 所示.5-8 图 5-14（a）和(b)分别为某型和某型系统的
8、对数幅频特性的渐近线，试证： ；vK1 a2其中 和 分别为静态速度误差系数和静态加速度误差系数。vKa证明 由图 5-14（a）的对数幅频特性渐近线可知，系统低频段的传递函数为 ，当sK时有1js， ，由于系统是型的所以 。1K11Kv图 5-13 对数幅频和相频曲线aK21/sdBL/)(-40dB/dec0vK1/sdBL/)(-20dB/dec0 (a) (b)图 5-147图 5-14（b）所示系统低频段的传递函数为 ，当 时有2sK2j， ，由于系统是型的所以 ，即 。12K2 a aK25-9 已知一些最小相位元件的对数幅频特性曲线如图 5-15 所示，试写出它们的传递函数，并计
9、算出各参数值。)(sG解(a) ,由于 ， ，故10)(sKsG20lgK1.1)(ss(b) , 由于 , ,则)10/()/()KG0lg2K1图 5-158。1.0)1/()ssKG(c) 当 时， ，5/srad/1001lg2K1.0.1)(ss(d) ，由 得 ，即1/KG50lg25)0.(51/)(ss(e) ,又 ，所以10/./1/)(21 ss0lg2K0K).)(10(/./)( ssssG(f) 130/1/)( 321 K由 得 ，所以0lg2K )103.)(1.)(230/1/)( ssssG(g) 2222 63)( Kn得 。31lg0,3lg0K5.0,.
10、1(h) 22)(nssG由 得5.321,25.10.1lg0,lg02 nrK， ， 故15.9.4n5.2.2)( 2sssGn5-10 三个最小相位传递函数的对数幅频渐近特性如图 5-16 所示，要求：9 写出对应的传递函数表达式。 概略地画出每个传递函数对应的幅相频率特性曲线。解 (a) , ,故1/)(21sKsG40lgK1)(/)( 2121 ss（b） 由 得 。/)()(212ssKG0)lg(012cKc1)1()(2ccss(c) )1(1/)( 3232 ssKsG其幅相频率特性曲线如图 5-17 所示。图 5-16105-11 设系统开环频率特性如 图 5-18 所
11、示，试判别系统的稳定性。其中 p 为开环不稳定极点的个数，v 为开环积分环节的个数。解 (a) ， ， ，系统稳定 21Np02NpZ(b) ， ， ，系统不稳定(c) ， ， ，系统稳定0(d) ， ， ，系统稳定Np02NpZ(e) ， ， ，系统不稳定2(f) ， ， ，系统不稳定1(g) ， ， ，系统稳定Np0NpZ(h) ， ， ，系统不稳定102(i) ， ， ，系统稳定2(j) ， ， ，系统不稳定。NpNpZ5-12 图 5-19 是传递函数 的幅相特性，图中 p 是 分母中实部为正的)(sHG)(sHG根的数目。试说明传递函数 代表的闭环系统是否稳定，为什么？1/)(图 5
12、-17图 5-1811解 （a） ， ，1N2p ，系统不稳定.42NpZ(b) ， ， ，系统稳定.00NZ(c) ， ， ，系统稳定.5-13 某系统其结构图和开环幅相特性曲线，如图 5-20(a)(b)所示。图中2)1()sG23)1(sH试判断闭环系统稳定性，并确定闭环特征方程正实部根的个数。解 根据图 5-20(a)得系统的开环传递函数为令 由劳斯判据)(10)( sHGs 147)(1)( 234sssHGsD知 所有的根具有负实部，即开环无右半平面极点 。D0p由图 5-20(b)知 。 ，闭环系统正实部根的个数为 2。N2NpZ5-14 已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别
13、为21)1.0()sG)108.()2ssG试用对数稳定判据判别两闭环系统的稳定性。解 和 的 Bode 图分别如图 5-21 和图 5-22 所示)(12从图 5-21 中可以看出，该系统在幅值大于零的区域内相频曲线对 线没有穿越，因此系统是稳定的。而图 5-22 在幅值大于零分贝的区域内相频曲线对 线有一次负穿越，且系统开环无右半复平面极点，因此闭环系统不稳定。图 5-19100 G(s)H(s)R(s) C(s)-1（a） （b）图 5-20125-15 某单位负反馈系统的开环传递函数分别为（1） )12.0()sG（2） )5.0().()s（3） 1)(0.8)(.2)Gs（4） )
14、5.)(.()ss（5） 10)(.2)(G试用乃氏判据或对数频率稳定判据判别其闭环系统的稳定性。解 （1） 系统频率特性为 其 Nyquist 曲线如图 5-23 所示， 曲线)12.0()(jj对（-1，j0）点没有包围闭环系统是稳定的。（2） ，转折频率分别为：)5.)(12.0(5)jjjjG，系统的对数幅频渐近曲线和相频曲线如图 5-24 所示。,5.321图 5-21 系统 Bode 图 图 5-22 系统 Bode 图13，相角裕度 。即在幅值大于零分贝的区域内相频曲线对 线sradc/6.53.2 有一次负穿越，且系统开环无右半复平面极点，因此闭环系统不稳定。（3） ，转折频率
15、分别为： ，系统的)125.0)(8.(1)( jjjG 4,25.1对数幅频渐近曲线和相频曲线如图 5-25 所示。，相角裕度 。即在幅值大于零分贝的区域内相频曲线对 线有一sradc/6.73. 次负穿越，且系统开环无右半复平面极点，因此闭环系统不稳定。（4） ，转折频率分别为： ，系统的对)125.0)(1.()( jjjG 10,421数幅频渐近曲线和相频曲线如图 5-26 所示。，相角裕度 。即在幅值大于零分贝的区域内相频曲线对 线无穿越，sradc/3.59 且系统开环无右半复平面极点，因此闭环系统稳定。j图 5-23 Nyquist 曲线 图 5-24 对数幅频及相频曲线图 5-
16、25 对数幅频及相频曲线 图 5-26 对数幅频及相频曲线14（5） ，转)1(2.0()(jjjG折频率分别为： ，系统的对5,1数幅频渐近曲线和相频曲线如图 5-27 所示。，相角裕度 。在幅sradc/9.249值大于零分贝的区域内相频曲线对 线有次穿越，系统开环有一个右半复平面极1点，由 知闭环系统不稳定。2NPZ5-16 设最小相位系统，其开环频率特性由实验求得，并已用渐进线表示出其曲线如图 5-28 所示。试求系统的开环传递函数。分别绘制其相应的相频特性，并判断这些系统是否稳定。解(a) 又 得 ，所以)1(.0)(2sKG201.lgK1.)(.)(2s其相应的对数幅频和相频曲线
17、如图 5-29 所示。从图中可看出相频曲线对 线无穿越，因此系统稳定。图 5-27 对数幅频及相频曲线图 5-2815(b) )25.6(1.)5.2()1) 22 sKssKG在 时 得 ，又 得 所以radn/5.8lg0.00lg1K其相应的对数幅频和相频曲线如图 5-30 所示。从图中可看出相频曲线)2.6(1)2ssG对 线无穿越，因此系统稳定。图 5-29 对数幅频和相频曲线图 5-30 对数幅频和相频曲线16(c) 由 得 。)140()1(6.32.)sKsG 82lg0,lg2K2.0,1.K因此有 其相应的对数幅频和相频曲线如图 5-31 所示。从图中可看)140()1(3
18、.6.)22ss出相频曲线对 线无穿越，因此系统稳定。5-17 设一单位负反馈系统的开环传递函数 )10()2sKsG若使系统的幅值裕度为 20dB，开环放大倍数 应为何值？此时相角裕度为多少？解 29)(arctgj令 则 ，由题意知当 时 得180j 101.0)(jG，即.10)()( 22KjGK当 时 ，相角裕度为10K.c 91.0982artg5-18 已知系统如图 5-32 所示，试计算系统的相角裕度和幅值裕度。图 5-31 对数幅频和相频曲线2R(s) C(s)5.s)102.(s图 5-32 系统结构图17解 系统的开环传递函数为 )102.)(5.()ssG).().()
19、 22j 0509( arctgrctj 令 时 即118)G 1820rctarctg得 此时 ，幅值裕度为12.5).0()5(10)( 22j。dBjGh3.4)(lg20计算截止频率 ，由 得 ，即 。相角裕度为c1)(cj 15.0cc47.c 19).2()47.9018 artgartg5-19 小功率随动系统动态结构图如图 5-33 所示，试用两种方法判别其稳定性。解 方法一系统的开环传递函数为 )120(5.)120.0(5) 22 sssG50R(s) C(s)1.0(32s4s图 5-33 系统结构图j图 5-34 曲线)(jG18二阶振荡环节的无阻尼自然频率为 6.34
20、120n曲线如图 5-34 所示。当 时， 曲线)(jG)(jG与负实轴相交，此时 值为)(jG25.16340.15)4.36(j即 曲线包围（-1,j0）点，系统不稳定。方法二闭环系统的特征式为150210)(3ssD321 a系统不稳定。5-20 图 5-35 表示负反馈系统开环传递函数的幅相特性，开环增益 。试0,5pK确定使系统稳定的 K 的取值范围。解 改变开环增益 ，只改变 ，不改变 。当增大 使幅值 0.05 变为K)(jG)(jK1，此时 。减小 使幅值 50 变为 1， ；减小 使105./0 105/幅值 20 变为 1， 。因此使系统稳定的条件为：2或 。K25-21
21、设负反馈系统中，)10()sGsKsHn1(试确定闭环系统稳定时 的临界值，设 。n0n解 系统稳定时 曲线如图 5-36 所示，)(jj-1-50 -20 -0.0500图 5-35j-1图 5-36 曲线)(jG19当 曲线与（-1，j0）相交时对应的 即)(jGnK为 的临界值。令 有nK180)(jH即 /270arctgrctKn9/atgn上式两边取正切得 nnK1.0于是有 ， 。0nK/1将 带入 得n/)(jHG即 ，10)(12K0)102nn 1n5-22 设单位负反馈控制系统的开环传递函数为， 2)(saG试确定使相角裕度等于 的 值。45 3)10.()sK试确定使相
22、角裕度等于 的 值。45解 相角裕度为 45180arctg由上式得 。又a，解得 ， 。)()(2jG19.84.0a相角裕度为 450.3180arctg则 又 得 。1)1.()( 32Kj 83.2K5-23 一台笔录仪，其传递函数为 ，要求被测正弦信号的频率在 5Hz 以内时，记录的Ts20振幅误差不大于被测信号振幅的 10%，试计算仪器应有的频宽。解 当 时1)()2TA10f解得 ，因此仪器的频带宽度为9.)()()220154.T。sradb/655-24 系统的方程组如下)()(tcte)(205. 21txetxdt)(50)(. 12ttct)()(1Kx试求保证系统稳定
23、时， 的允许范围，并判断 取何范围能使系统阶跃过渡过程没有超调。K解 系统结构图如图 5-37 所示开环传递函数为 )15.0)(2105.()sKssG闭环特征方程为整理得).)(.( s 012(5.002.3 ss系统稳定的条件为解得 。.)1(.(K59.K)1.0)(21.()5.0)(205.() ssssG转折频率分别为2 C(s)105.s)15.0(sR(s)K图 5-3721，25.016.4305.1K若 曲线在中频段斜率为， 而且占据的频率范围较宽，则该系统可近)(lgjGdecB/2似为一阶系统，此时节约相应无超调，由此可知应使 ，为了使中频段有足够的频宽范围，2c取
24、 。由于在 处有 即 所以 。5.0cc1)2(0cK5.010K5-25 一单位负系统的开环对数幅频渐近曲线如图 5-38 所示，要求： 写出系统开环传递函数。 判断闭环系统的稳定性。 将幅频向右平移 10 倍频程，试讨论对系统阶跃响应的影响。解 当 时 得 ，系统的开环)14/(.0/(2)ssKG105)(KjG2传递函数为 )25.)(1)(ss由系统的开环传递函数可知在 区域内相频曲线对 线无穿越，闭环系0)(lg0jG统稳定。 将幅频向右平移 10 倍频程，则传递函数变为 )1025.)()( ssG，所以阶跃响应的调节时间 为原来的 1/10。cc10 st10 0.1 0.24
25、-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-40dB/decdBjG/)(lg01/s图 5-3822设原系统的相稳定裕度为 ，平移后为 则52.019018arctgrctatg 所以超调量 不变。%5-26 系统动态结构图如图 5-39 所示要求在保持稳定裕度不变的情况下，将闭环系统的频宽扩展为原来的 10 倍，试确定这时参数和 应有的变化，并说明理由。KT解 闭环频宽扩展至原来的 10 倍，亦即要求开环频宽扩展至原来的 10 倍，原系统的开环频率特性为 2)1()(TjKjG扩频后有 2 )()(jj根据题意应有 所以 ， ，即增益扩大至 10 倍，时间常(10 jGK10T
26、1.数缩小为原来的 。5-27 单位负反馈系统的开环传递函数为)24(16)s试计算下列参数。超调量 、调节时间 、峰值时间 、截止频率 、谐振峰值 、谐%stptcmM振频率 、频带 、相角裕度 、幅值裕度 。mbh解 )24(16)sG70.,4n%3.0%1/estns24.53R(s) C(s)2)1(TsK图 5-3923stnp1.2令 得)4(6)(22ccjG6.2c， 5.180j h闭环传递函数为 1624)(ss223)16()(j0nm 1)(mjM当 时 ，所以 。7.)(j 4nb5-28 设一单位负反馈控制系统的开环传递函数为 )1.0)()(ssKG 确定使系统
27、的谐振峰值 的 值。4.mM 确定使系统的幅值裕度等于 20Db 的 值。 确定使系统的相角裕度等于 的 值。60K解 )1.)()(jjjG 6.451arcsinmM令 解得 4.13.090)( arctgtj83.c得 。1).0(1)( 22cccKjG.K 求得 。.098)( artgtj 16.30。1.36.1.631. 22j .24当 时， 由 得120)(jG51.0c 1).0(1)( 22cccKjG。57.K5-29 一控制系统的结构如图 5-40 所示。，18)(0)1s)120/(8.42s试根据开环频率特性估算系统的阶跃响应性能指标： 及 。%st解 系统的开环传递函数为 )120/)(84)()(21 ssGs)/)()(jjj截止频率 ，相角裕度 ，则8.5c 23.65%01sin4.016.% stcs 17.sin5.2i5.22 5-30 测得系统闭环对数幅频渐近曲线如图 5-41 所示，试求 。)(GG1(s) G2(s)R(s) C(s)图 5-40G(s)R(s) C(s)10 20 100-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec1/sdBM/lg00图 5-4125解 )10.)(5.)(1.0() ss)32()2G
