1、高中数学辅导网 http:/ http:/ 学 （理科） 2011.5选择题 （共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数 在复平面上对应的点的坐标是 1iA B. C. D. (,)(1,)(1,)(1,)2. 已知全集 集合 , ，下图中阴影部分所表示的集合为R,U2345A|2BxRA B. 10,C. D. ,213函数 的零点所在区间2()logfxxA B. C. D. 10,(,1)(1,2)(2,3)4.若直线 的参数方程为 ，则直线 倾斜角的余弦值为l 3(24xty为 参 数 lA
2、 B C D 455545. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲 乙9 8 8 1 7 7 9 96 1 0 2 2 5 6 7 9 95 3 2 0 3 0 2 37 1 0 4根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是A甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是1主 视 图 左 视 图1BA高中数学辅导网 http:/ http:
3、/ ： （ ）和椭圆 ： （ ）1C12byax01ba2C12byax02ba的焦点相同且 .给出如下四个结论：12 椭圆 和椭圆 一定没有公共点； ； 1C212ab ； .12ba112其中，所有正确结论的序号是A B. C D. 8. 在一个正方体 中， 为正方形1ABCDP 四1ABCD边上的动点， 为底面正方形 的中心， 分别O,MN为中点，点 为平面 内一点，线段 与,ABCQ1Q互相平OP分，则满足 的实数 的值有 MNA. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个非选择题（共 110 分）二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9点 在不等式组
4、表示的平面区域内，则 的最大值为_.(,)Pxy2,yxzxy10运行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为 .4nS11若 ，42351()xmaxxax其中 ，则实数 的值为 ； 26的值为 .1345a1BA1 11DA1DA1CBPNMQ开 始0,1iSnSi是 否1输 入 结 束 S输 出高中数学辅导网 http:/ http:/ 的弦 交半径 于点 ，若 ，O.ABCD3A，且 为 的中点，则 的长为 .2BDC13已知数列 满足 ， ，记数列 的前 项和的最大值为na1,t120na(,)tn*Nna，则 .()ft()ft14. 已知函数 six（1 ）判断下列三个命题的
5、真假： 是偶函数； ；当 时， 取得极小值. ()fx()1f32x()fx其中真命题有_；（写出所有真命题的序号）（2 ）满足 的正整数 的最小值为_.()()66nffn三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共 13 分）已知函数 的最小正周期为 .2()cos3sincofxx(0)（）求 的值；3（）求函数 的单调区间及其图象的对称轴方程.()fx16.（本小题共 13 分）某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客，假设每位乘客在 2、3 、 4 层下电梯是等可能的
6、.() 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率；() 用 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数，求 的分布列和数学期望.XX17.(本小题共 14 分)如图，四棱锥 的底面是直角梯形， ， ， 和 是两个边PABCD/ABCDAPBAD长为 的正三角形， ， 为 的中点， 为 的中点24OEP()求证： 平面 ；()求证： 平面 ；/E()求直线 与平面 所成角的正弦值ABODCADOCPBE高中数学辅导网 http:/ http:/ (本小题共 14 分）已知函数 . .221()lnfxaxa()R（I）当 时，求曲线 在 处的切线方程（ ） ；0(yfe,fe2.7
7、18（II）求函数 的单调区间.()fx19 (本小题共 13 分）在平面直角坐标系 中，设点 ，以线段 为直径的圆经过原点 .xOy(,),4)PxyMPO（）求动点 的轨迹 的方程；PW（）过点 的直线 与轨迹 交于两点 ，点 关于 轴的对称点为 ，试判断直线(0,4)El,AByA是否恒过一定点，并证明你的结论.AB20. (本小题共 13 分）对于数列 ，若满足 ，则称数列 为“0-1 数列”.定义12na： ， ， ， 0,1(,23,)iainA变换 ， 将“0-1 数列” 中原有的每个 1 都变成 0， 1，原有的每个 0 都变成 1，0. 例如 :1,0,1，TA则 设 是“0
8、-1 数列” ，令():0,.A0 (),kkAT.12k， ， 3() 若数列 ： 求数列 ；,1,1.10,() 若数列 共有 10 项，则数列 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；0A2()若 为 0，1，记数列 中连续两项都是 0 的数对个数为 ， .求 关于 的表达式.k kl1,23kl海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理）答案及评分参考 20115选择题 （共 40 分）一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8高中数学辅导网 http:/ http:/ D A C B D C B C非选择题 （共 110 分
9、）二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分. 共 30 分.有两空的题目，第一空 3 分，第二空 2 分）9. 6 10. 11 11. ， 21612. 13. 14. , 9 22, (4(1), tt为 偶 数 )为 奇 数三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)15. （共 13 分）解：（） 2 分13()cos2)sin2fxxx, 3 分in()6因为 最小正周期为 ,所以 ，解得 , 4 分()fx21所以 , 5 分1()sin2)6f所以 . 6 分()3f（）分别由 ，22,()6kxkZ322,()6kxkZ可得 ，8 分,()3Z ,().3xZ所以,函数
10、 的单调增区间为 ；()fx,()36kk的单调减区间为10 分()f 2,().6Z由 得 .2,(62xkZ） ,()kx所以， 图象的对称轴方程为 . 13 分)f 26kZ高中数学辅导网 http:/ http:/ 13 分）解：() 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 , 1 分A由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 ， 3 分13则. 6 分465()1()381PA() 的可能取值为 0,1,2,3,4, 7 分X由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 ，且每个人下电梯互不影响，3所以， . 9 分1(,)3BX0 1 2 3 4P68481
11、811 分. 13 分14()3EX17.(共 14 分)（）证明：设 为 的中点，连接 ，则FDCBFDAB ， ， ，ABA/四边形 为正方形， 为 的中点，O 为 的交点，, ， 2PDB ， .2 分O ，2BA2 ， ，P12AOBD在三角形 中， ， ，4 分O224PPAO ， 平面 ； 5 分ABDC()方法 1：连接 ， 为 的中点， 为 中点，FAE ，/EADOCPBEF高中数学辅导网 http:/ http:/ 平面 ， 平面 ，OEPDCFPC 平面 . 9 分/方法 2：由()知 平面 ，又 ，所以过 分别做 的平行线，以它们做ABADO,ADB轴，以 为 轴建立如
12、图所示的空间直角坐,xyz标系，由已知得：， ，(1,0)A(1,)(,10)D， ， ，,F,3C,2P，12(,)E则 ， ， ， .(,)O(1,2)PF(1,2)PD(1,32)PC 12E /PF 平面 ， 平面 ，ODCPC 平面 ； 9 分() 设平面 的法向量为 ，直线 与平面 所成角 ，1(,)nxyzBPDC则 ，即 ，0nP11320xyz解得 ，令 ，则平面 的一个法向量为 ，12yxz1PDC(2,01)n又 (,0)CB则 ，23sinco,直线 与平面 所成角的正弦值为 . 14 分CBPD318. (共 14 分）解：（I）当 时， ， ， 2 分0a()lnf
13、xx()lnfx所以 ， ， 4 分()fe1fe所以曲线 在 处的切线方程为 .5 分)yx(,)fyxeAOCPBEFxy高中数学辅导网 http:/ http:/ 的定义域为()fx(0,)，6 分21()ln1(2)lnfaaxax当 时， ，在 上 ，在 上00x(,)0f,()0fx所以 在 上单调递增，在 上递减； 8 分()f,11,当 时，在 和 上 ，在 上02a(0,),)2a(0fx1(,)2a()0fx所以 在 和 上单调递增，在 上递减；10 分()fx,1,当 时，在 上 且仅有 ，2a(0,)(0fx(1)0f所以 在 上单调递增； 12 分()fx,当 时，在
14、 和 上 ，在 上12a1(0,)a(,)(0fx(,1)2a(0fx所以 在 和 上单调递增，在 上递减14 分()fx, ,19(共 13 分）解：（I）由题意可得 ， 2 分OPM所以 ，即 4 分0P(,)40xy即 ，即动点 的轨迹 的方程为 5 分24xyW24xy（II）设直线 的方程为 , ，则 .lykx12(),()AB1(,)Axy由 消 整理得 ， 6 分24ykx2460则 ，即 . 7 分160|k. 9 分22,xkx直线 122:()yABx高中数学辅导网 http:/ http:/ 分2122121221()4()4 y4yxyxxx即 21所以，直线 恒过定
15、点 . 13 分AB(0,4)20. (共 13 分）解：()由变换 的定义可得 2 分T1:,4 分0:1,() 数列 中连续两项相等的数对至少有 10 对 5 分A证明：对于任意一个“0-1 数列” ， 中每一个 1 在 中对应连续四项 1,0,0,1，在 中每一个 00A2A0A在 中对应的连续四项为 0,1,1,0，2因此，共有 10 项的“0-1 数列” 中的每一个项在 中都会对应一个连续相等的数对，02所以 中至少有 10 对连续相等的数对. 8 分2A() 设 中有 个 01 数对，kkb中的 00 数对只能由 中的 01 数对得到，所以 ，1kkA1klb中的 01 数对有两个
16、产生途径： 由 中的 1 得到； 由 中 00 得到，Ak kA由变换 的定义及 可得 中 0 和 1 的个数总相等，且共有 个，T0:,1k 12所以 ，12kkbl所以 ，由 可得 ，0:,A1:,02:,10,A所以 ，12l当 时，3k高中数学辅导网 http:/ http:/ 为偶数，k2kkl4224l上述各式相加可得 ，12242(4)1()3kk kkl 经检验， 时，也满足2(1)3kkl若 为奇数，k2kl42k31l上述各式相加可得 ，1232(4)2()3kk kkl 经检验， 时，也满足11()kkl所以 .13 分(2),31,kkl为 奇 数为 偶 数说明：其它正确解法按相应步骤给分.
