1、陕西理工学院学年论文第 1 页共 8 页特征值和特征向量的性质与求法方磊（陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业 071 班级，陕西 汉中 723000）”指导老师：周亚兰摘要 ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。关键词：矩阵 线性变换 特征值 特征向量陕西理工学院学年论文第 2 页共 8 页1 特征值与特征向量的定义及性质定义 1：（）设 A 是数域 p 上的 n 阶矩阵，则多项式|E-A|称 A 的特征多项式，则它在 c上的根称为 A 的特征值。（）若 是 A 的特征值，则齐次线性方程组(E-A) X=0 的非零解，称为 A 的属于特征值 的
2、特征向量。定义 2：设 是数域 P 上线性空间 v 的一个线性变换，如果对于数域 P 中的一数 存在0一个非零向量 ，使得 a= ，那么 成为 的一个特征值而 称为 的属于特征值00的一个特征向量。0性质 1： 若 为 A 的特征值，且 A 可逆，则 、则 为 的特征知值。1A证明： 设 为 A 的特征值，则 =n21 n21i0(i=1、2n)设 A 的属于 的特征向量为 则 则 = 即有 i1= 1 为 的特征值，由于 A 最多只有 n 个特征值1 为 的特征值A性质 2：若 为 A 的特征值，则 为 的特征值()ff= +fna1011xaxn证明：设 为 A 的属于 的特征向量，则 A
3、= =( + )fn EAn011= + + + na1na= + + 0= f又 0陕西理工学院学年论文第 3 页共 8 页 是 的特征值fA性质 3：n 阶矩阵 A 的每一行元素之和为 a，则 a 一定是 A 的特征值证明：设 A= nnnaa 212112则由题设条件知：= =annnaa 2121121a 是 A 的特征值推论：若 为 A 的特征值，且 A 可逆，则 为 的特征值( 为 A 的伴随矩阵)。A证明：因为 =1而 的特征值为 .1再由性质 2 知 ： 是 的特征值A性质 4：一个矩阵与其伴随矩阵具有相同的特征值。证明：因为 A*所以 与 A 具有相同的特征多项式，则它们具有
4、相同的特征值。性质 5：如果 是正交矩阵 A 的特征值，那么 也是 A 的特征值。1证明：设 是 A 的特征值，那么存在非零向量 使得A= 用 作用之后得 = 11又 A 的特征值一定不为零 ，所以 0是 的特征值，1又 A 是正交矩阵 =1A陕西理工学院学年论文第 4 页共 8 页为 的特征值1A又 A 与 相似， 与 A 有相同的特征根也是 A 特征根1性质 6：设 是 A 对应于特征值 的特征向量， 是 的对应与 的特征向量。ixiiyAj若 A = 则 = (1)iiixi并有 = (2)iyi给(1)右乘以 、 (2)左乘以 相减得i ix0= - 则 =0ixiyjiiy性质 7：
5、设 A、B 均为 n 阶矩阵，则 AB 与 BA 的特征向量相同。证明：若 是 AB 的特征值，x 是相应的特征向量若 BX 0 则 BABX=BX若 BX=0 B 不是可逆矩阵(否则 x=0) BA 也不是可逆矩阵故必有特征值 0 同样 AB 也有特征值 0由此 AB 与 BA 有相同的特征值。2 特征值与特征向量的求法2.1 矩阵特征值与特征向量的求法 基本计算法（）求出矩阵 A 的特征多项式 AEfA（）求出 的全部根E（）把特征值 逐个代入齐次线性方程组 并求它的基础解系，即为 A 的i 0i属于特征根 的线性无关的特征向量。i 用初等变换法利用矩阵初等变换在求得矩阵特征值的同时，同步
6、求得特征值所属的全部的线性无关陕西理工学院学年论文第 5 页共 8 页的特征向量，而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中。 定理 1：设 F = 且 列初等变换 ，其中 为下三角矩阵，则 的AIFPBB主对角线上的全部元素的乘积的 多项式的全部根恰为矩阵 A 的全部特征根，且对于矩阵 A 的每一特征根 ，若矩阵 中非零解向量的列构成列满秩矩阵，那么矩阵 中和 中iiB iPI零向令所对应的列向量是属于特征根 的全部线性无关的特征向量，否则继续进行列变化到 i中飞零向量的列构成列满秩矩阵，那么 中和 中零向量所对应的列向量是iB* iP*iB*属于特征根 的全部线向无关的特征向量。i证明：设 = 且A
7、nij，其中nnnnmffffffF 21221121 .jiafji通过列初等变换将化为记为 中第一行元素不可能全为 0，否nnnggf 212210Gf01则秩 n 与秩 =n 矛盾。F可任取其中次数最低的一多项式，设为 ,再对 施以列初等变换，可使该行期于元素都1g化为零多项式或次数低于 的 多项式，在这些次数低于 的多项式元素中，再任取1 1g其中一个次数最低的多项式,继续进行列变化，最终使 化为 如此下去，可将GHf *02化为 F 三角矩阵 陕西理工学院学年论文第 6 页共 8 页nfffB*0021 2.2 线性变换的特征值与特征向量的求法2.2.1 利用定义求解：(1) 在线性
8、空间 v 中取一组基 写出在此基下的矩阵 A 。n21(2) 求出 A 的特征多项式 在数域 P 中的全部根。AI把所有不同的特征值代入 ， 对每一个特征值 解方程组0210nxxI I求其基础解系，解的一组属于 的线性无关的特征向量，从而求得 A 的全021nixxAI I部特征向量。2.2.2 利用相似性求解同一个线性变换在不同基下矩阵相似而相似矩阵有相同的特征多项式，进而有相同的特征值，这样可利用相似性求解。3 例子例 1 求矩阵 A= 的特征根与特征向量。102解： 所以 A 的 1001210120101 2F陕西理工学院学年论文第 7 页共 8 页特征根 (二重) 112当 时，因
9、 的非零向量的列构成非满秩矩阵因此进行列初等变换 =1 1PB1*2101021020PB由 的非零解向量构成列满秩矩阵，且第一，三列为零向量，故第一，三列向量为 的全*B 1部线性无关的特征向量为 和 。*0*21属 的线性无关的特征向量为120例 2：设 是四维线性空间 v 的一组基，线性变换 A 在这组基下的矩阵为 A=，求 A 的特征值和特征向量。7130259245解： A 的特征多项式为 212503746所以 A 的特征值为： 21134所以 A 的属于特征值 0 的线性无关特征向量为 3214212属于 1 的特征向量为： 33属于 的特征向量为：2 42146陕西理工学院学年论文第 8 页共 8 页参考文献：1北京大学数学系 高等代数 高教出版社 1988.2 月第二版 176-1782 王向东、周士谨 高等代数的常用方法科学出版社 1989.5 月第二版 105 页3 威尔全集 代数特征值问题科学出版社 2001.4 月第三版 53-594 张贤科、许莆华 高等代数学 清华出版社 1998.2 月第二版 121-124
