1、1概率统计与排列组合二项式定理安徽理（12）设 ，则 .()xaxaxL（12) 【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.120C【解析】 ， ，所以101022()C10122()C.a（20） （本小题满分 13 分）工作人员需进入核电站完成某项具有 高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟，如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别 ，假设 互不相等，,p,p,p且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。
2、若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 ，其中 是,q,q的一个排列，求所需派出人员数 目 的分布列和均值（数字期望） ；,p XEX（）假定 ，试分析以怎样的 先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值p（数字期望）达到最小。（20） （本小题满分 13 分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是 ，所以
3、)1()1(32pp任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于 .)1()1( 32132132132 pppp （II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 时，随机变量 X 的分布列为,qX 1 2 3P q1)()1(2q所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX 是 .23)1(3)1(2 21122 qqE 2（III） （方法一）由（ II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， .23211pEX根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于 的任意排列 ，都有321, 321,q（*）213q21p事实上， )()
4、( 2112 p.0)()(112 )()(221 22111qpqpq即（*）成立.（方法二） （i）可将（II）中所求的 EX 改写为 若交换前两人的派出顺序，,)(3121qq则变为 .由此可见，当 时，交换前两人的派出顺序可减小均值.,)(3121qq2（ii）也可将（II ）中所求的 EX 改写为 211，或交换后两人的派出顺序，则变为.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当 时，交换后两人的派出顺序3112 23q也可减小均值.综合（i） （ii）可知，当 时， EX 达到最小. 即完成任务概率大的人优先派),(),(321321pq出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合
5、乎常理的.安徽文(9) 从正六边形的 6 个顶点中随机选 择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（A） (B) (C) (D) （9）D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题 .属中等偏难题.【解析】通过画树状图可知从正六边形的 6 个顶点中随机选 择 4 个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15 个，其中能构成矩形 3 个，所以是矩形的概率为 .故选 D.315（20） （本小题满分 10 分）某地最近十年粮食需求量逐年上升， 下表是部分统计数据：年份 2002 2004 2006 2008 2010需求量（万吨）236 246 257 276 286（）利用所给数据求年需求
6、量与年份之间的回归直线方程 ;ybxa（）利用（）中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.3（20） （本小题满分 10 分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力.解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得 .23 ,5.640244912)()1(,.,02 xbya由上述计算结果，知所求回归直线方程为 ,2.3)06(5.)06(57 xa即 2
7、.xy（II）利用直线方程，可预测 2012 年的粮食需求量为（万吨）300（万吨）.2.9.605.60)201(5.6 北京理12.用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)【解析】个数为 。4117.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示。（1）如果 ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；8（2）如果 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 Y 的分布列和9X数学期望。（注：方差 ，其中 为 ， ， 的平均数）22221()()()nsxxxn 1x2
8、nx（17） （共 13 分）解（1）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为 ;43510x方差为 .16)4350()9()8()(4 22222 s（）当 X=9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 44=16 种可能的结果，这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17，18，19，20 ，21 事件“Y=17” 等价于“甲组选出的同年份2006 4 2 0 2 4需求量257 21 11 0 19 294学植树 9 棵，乙组选出的同学植树
9、8 棵”所以该事件有 2 种可能的结果，因此 P（Y=17）=.8162同理可得 ;41)(YP;41)9(Y.81)(;41)0(YYP所以随机变量 Y 的分布列为：Y 17 18 19 20 21P 8141481EY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19 ）+20P （Y=20）+21P（Y=21）=17 +18 +19 +20 +21814=19北京文7某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件，则平均仓储时间为 天，8x且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 BA60
10、件 B80 件 C100 件 D120 件16 （本小题共 13 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示.（1）如果 X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率.（注：方差 其中 为 的平均数）,)()()(12222 xxxns n nx,21（16） （共 13 分）解（1）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为;43510x .16)4350()9()4358(12222 s（
11、）记甲组四名同学为 A1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为 9，9，11，11；乙组四名同学为 B1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为 9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有 16 个，它们是：（A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 1，B 3） ， （A 1，B 4） ，（A 2，B 1） ， （A 2，B 2） ， （A 2，B 3） ， （A 2，B 4） ，（A 3，B 1） ， （A 2，B 2） ， （A 3，B 3） ， （A 1，B 4） ，（A 4，B 1） ， （A 4，B 2） ， （A 4，B 3）
12、， （A 4，B 4） ，用 C 表示：“ 选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件，则 C 中的结果有 4 个，它们是：5（A 1，B 4） ， （A 2，B 4） ， （A 3，B 2） ， （A 4，B 2） ，故所求概率为 .416)(CP福建理 6 （1+2x） 3 的展开式中，x 2 的系数等于 BA80 B40 C20 D1013盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个。若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_。19 （本小题满分 13 分）某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2，8，其中
13、 X5 为标准A，X为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示：1x5 6 7 8P 04 a b 01且 X1 的数字期望 EX1=6，求 a，b 的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体
14、分布，将频率视为概率，求等级系数 X2 的数学期望（III ）在（ I） 、 （II ）的条件下，若以 “性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：（1）产品的“性价比”= ；产 品 的 零 售 价 期 望产 品 的 等 级 系 数 的 数 学（2） “性价比”大的产品更具可购买性19本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分 13 分。解：（I）因为 16,50.46780.16,73.2EXabab所 以 即又由 X1 的概率分布列得 .,5即由 673.2,3,050.2abb
15、解 得（II）由已知得，样本的频率分布表如下： 2X3 4 5 6 7 8f03 02 02 01 01 01用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 X2 的概率分布列如下：2X3 4 5 6 7 8P 03 02 02 01 01 016ED CBA所以 22222223()4()5()6()7()8()EXPXPXPX0.50.6.170.8.148即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8.（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于 6，价格为 6 元/件，所以其性价比为 61.因为乙厂产吕的等级系数的期望等于 4.8，价格为
16、 4 元/件，所以其性价比为 482据此，乙厂的产品更具可购买性。福建文 4某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名。现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6 名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 BA6 B8 C10 D127如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点。若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自ABE 内部的概率等于A B C D14 13 12 23C19 （本小题满分 12 分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 X 依次为 1、2、3、4、5。现从一批该日用品中
17、随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X 1 2 3 4 5f a 0.2 0.45 b c（）若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件；求a、b、c 的值。（）在（）的条件下，将等级系数为 4 的 3 件记为 x1、x 2、x 3，等级系数为 5 的 2 件记为y1、y 2。现从这五件日用品中任取 2 件（假定每件日用品被取出的可能性相同） ，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。19本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整
18、合思想、必然与或然思想，满分 12 分。解：（I）由频率分布表得 ，0.2451,abc即 a+=0.35因为抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，所以 .1,2b等级系数为 5 的恰有 2 件，所以 ，从而.20c.c7所以 0.1,.5,0.1abc（II）从日用品 中任取两件，所有可能的结果为：2xy，12131123212313212,xxyxyxy设事件 A 表示“从日用品 中任取两件，其等级系数相等” ，则 A 包含的基本事件为：1共 4 个，又基本事件的总数为 10，故所求的概率12132312,xxy4()0.PA广东理 6 甲、乙两队进行排球决赛现在的情形
19、是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得 冠军的概率为A. B. C. D.12352334.,21)()A)(,AB,B ;i,2i(: 2111 DPBP故 选则 事 件 表 示 甲 队 获 得 冠 军局 获 胜甲 在 第表 示 继 续 比 赛 时设解 析 10. 的展开式中， 的系数是_ (用数 字作答).7()x4x4737712 421 7:()()2,2,()84.rrrrr xxTCxCrC 解 析 所 求 的 系 数 即 展 开 式 中 项 的 系 数 展 开 式 的 通 项 为由 得 的 系 数 是13.某数学老师身高 176
20、cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm、和 182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.:,: 数 据 可 列 表 如 下可 知 父 亲 与 儿 子 的 对 应根 据 题 中 所 提 供 的 信 息解 析185(cm).323,y ,76,13)(6)(,176,3 2312 身 高 为从 而 可 预 测 也 他 孙 子 的所 以 回 归 直 线 方 程 为 x xbyayxbyxiiiii17.（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元
21、素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：父亲的身高(x) 173 170 176儿子的身高(y) 170 176 182编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 1808（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随即抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 的分布列及其均值（即数学期望）.: ,10)2P(,106)P(,103)P(, 012)3( ;452:,5)2( ;351498:
22、1: 525325其 分 布 列 为故 可 以 取 值 优 等 品 的 数 量 为故 可 估 计 出 乙 厂 生 产 的 的 产 品 是 优 等 品编 号 为件 产 品 中从 乙 厂 抽 取 的乙 厂 的 产 品 数 量 为解 CCC0 1 2P 1306.541)E( 的 数 学 期 望 为广东文 7正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 AA20 B15 C12 D1013为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x（单位：小时）与当天投篮命中率 y 之间的关
23、系：时间 1 2 3 4 5命中率 04 05 06 06 04小李这 5 天的平均投篮命中率为_; 用线性回归分析的方法，预测小李每月 6 号打篮球 6 小时的投篮命中率为_0.5，0.5317 （本小题满分 13 分）在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为 75 分。用 xn 表示编号为 n（n=1,2,6）的同学所得成绩，且前 5 位同学的成绩如下：编号 n 1 2 3 4 5成绩 xn 70 76 72 70 72（1）求第 6 位同学的成绩 x6，及这 6 位同学成绩的标准差 s;（2）从前 5 位同学中，随机地选 2 位同学，求恰有 1 位同学成绩在区间（68，75）中的概率。1
24、7 （本小题满分 13 分）解：（1） ,6175nx56167067209,nxxy 75 80 77 70 819，6222221()(51351)496nsx7.s（2）从 5 位同学中随机选取 2 位同学，共有如下 10 种不同的取法：1，2，1，3，1 ，4 ，1，5 ，2，3，2 ，4，2 ，5，3，4，3 ，5，4，5 ，选出的 2 位同学中，恰有 1 位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下 4 种取法：1，2，2，3，2 ，4 ，2，5 ，故所求概率为 .5湖北理 5.已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则2,N8.04P2PA. B. C. D. 6.043.0.【答案
25、】C解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线 对称，所以 ，并且2x5.02P40P则 3.058.所以选 C.7.如图，用 三类不同的元件连接成一个系统， 正常工作且 至少有一个正常工作时，21AK、 K21A、系统正常工作.已知 正常工作的概率依次为 、 、 ，则系统正常工作的概率为、 9.08.A. B. C. D. 960.864720.576.【答案】B解析： 至少有一个正常工作的概率为21A、 21AP，94.0.18.0. 系统正常工作概率为 ，所以选 B.864.0.2APK11.在 展开式中含 的项的系数为 .（结果用数值表示）183x15x【答案】17xyO
26、42KA1A210【解析】二项式展开式的通 项公式为 ，令rrr xCT31181 rrC31218，含 的项的系数为 ，故填 17.215218rr15x721812.在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期.从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到 1 瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示）【答案】 145解析：从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，设至少取到 1 瓶已过了保质期饮料为事件 A，从这 30 瓶饮料中任取2 瓶，没有取到 1 瓶已过了保质期饮料为事件 B，则 A 与 B 是对立事件，因为，所以 ，所以填 .9537230CBP14528937PA1452815
27、.给 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互n n不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当 时，黑色正方形互不相邻着色方案共6有 种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有 种.（结果用数值表示）【答案】 43,21解析：设 个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数n为 ，由图可知，a， ，213，2135a，348a由此推断 ， ，故黑色正方形互不相邻着色方案共16545 2138546a有 21 种；由于给 6 个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有 2 种方法，所以一共有种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有 21 种，所以至少有两个22黑色正方形相邻着色方案共有 种着色方案，故分别填431.43,1湖北文5有一个容量为 200 的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间 10,2内的频数为 BA18 B36C54 D72n=1n=2n=3n=4
