1、高中数学辅导网 http:/京翰教育中心 http:/典型例题一例 1 解不等式 231x分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念 ，将不等式)0(a中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组） ，再去求解去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点） ，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论解：令 ， ，令 ， ，如图所示01x1x032x23x（1）当 时原不等式化为)()( 与条件矛盾，无解2（2）当 时，原不等式化为 3x 2)3(1x ，故 02（3）当 时，原不等式化为x ，故 216x63x综上，原不等式的解为 0说明：要注意找零点去绝对值符
2、号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏典型例题二例 2 求使不等式 有解的 的取值范围ax34分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便解法一：将数轴分为 三个区间),4(,当 时，原不等式变为 有解的条件为 ，3x 27,3axx 327a即 ；1a当 时，得 ，即 ；4a)( 1高中数学辅导网 http:/京翰教育中心 http:/当 时，得 ，即 ，有解的条件为 4xax)3( 27x427a1a以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为 1解法二：设数 ，3，4 在数轴上对应的点分别为 P，A，B，如图
3、，由绝对值的几何定x义，原不等式 的意义是 P 到 A、B 的距离之和小于 aPBA a因为 ，故数轴上任一点到 A、B 距离之和大于（等于 1） ，即 ，1 134x故当 时， 有解ax34典型例题三例 3 已知 ，求证 ),0(,20,2MyabyMax abxy分析：根据条件凑 ,证明： byxaby aMax 2)()(说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法典型例题四例 4 求证 ba2分析：使用分析法证明 ，只需证明 ，两边同除 ，即只需证明0ba22 2b，即 baba2222)(1)(高中数学辅导网 http:/京翰教育中心 http:/当 时， ；当 时，1baba
4、ba222)(1)()( 1，原不等式显然成立原不等式成立0说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法本例也可以一开始就用定理： baba22（1）如果 ，则 ，原不等式显然成立10（2）如果 ，则 ，利用不等式的传递性知 ， ，abbabb原不等式也成立典型例题五例 5 求证 bab11分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明证明：设 xxxf 11)(定义域为 ，且 ， 分别在区间 ，区间 上是R)(f )1,(),(增函数又 ，ba0 )()(ff即 baba1 baba11原不等式成立说明：在利用放缩法
5、时常常会产生如下错误： ， ，ba0高中数学辅导网 http:/京翰教育中心 http:/ baba11 b1错误在不能保证 ， 绝对值不等式 在运用ba放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构典型例题六例 6 关于实数 的不等式 与x2)1()(a的解集依次为 与 ，求使 的 的取值范围0)13(2)(2axx)(RAB分析：分别求出集合 、 ，然后再分类讨论AB解：解不等式 ，2)1()(a，)()(2)1(2xa RaA,12解不等式 ， 0)3()(2xx 0)2(13xax当 时（即 时） ，得 31a1a 3,2B当
6、 时（即 时） ，得 21,13axa当 时，要满足 ，必须 故 ；31aBA,23当 时，要满足 ，必须 ;123a,1a 1a所以 的取值范围是 3Ra或说明：在求满足条件 的 时，要注意关于 的不等式组中有没有等号，否则会BAa导致误解高中数学辅导网 http:/京翰教育中心 http:/典型例题七例 6 已知数列通项公式 对于正整数 、 ，当nn aaa2si3sin2is mn时，求证： nmm21分析：已知数列的通项公式是数列的前 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，n再利用不等式 ，问题便可解决naaa 2121证明： mnnnm 2sin2)si()si(1nn aaasi)
7、si(2)si(21 21)(21 nmnmn)0()(2nnn说明： 是以 为首项，以 为公比，共有 项的等比数列m211 121nm的和，误认为共有 项是常见错误正余弦函数的值域，即 ， ，是解本题的关键本题把不等式、三角函数、sincos数列、 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目如果将本题n中的正弦改为余弦，不等式同样成立典型例题八例 8 已知 ， ，求证：13)(2xf 1a)1(2)(afx分析：本题中给定函数 和条件 ，注意到要证的式子右边不含 ，因此对)(fx x条件 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2) 打开绝对值用 ，替出 ；1ax 1a(3)用绝
8、对值的性质 进行替换1axxa证明： ， ，13)(2f 3)(2f ， 1axax高中数学辅导网 http:/京翰教育中心 http:/ ，1ax xaxf2)()(ax1)ax，)1(211a即 )(2)(afx说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用分析中对条件 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合1ax求证，灵活选用典型例题九例 9 不等式组 的解集是（ ） x230A B 0x 5.20xC D6 3分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由 ，知 ，x20，又 ， ，解原不等式组实为解不等式3x03x（ ） 2解法一：不等式两边
9、平方得： 22)(3)(3xx ，即 ，222)6()6(xx 0)662x ，又 03 选 C362x6x高中数学辅导网 http:/京翰教育中心 http:/解法二： ，可分成两种情况讨论：0x(1)当 时，不等式组化为 （ ） 2x2320解得 (2)当 时，不等式组可化为 （ ） ，x解得 62综合(1)、(2)得，原不等式组的解为 ，选 C60x说明：本题是在 的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题0x的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号当然本题还可用特殊值排除法求解典型例题十例 10
10、 设二次函数 ( ，且 )，已知 ， ，cbxaf2)(0bab1)0(f， ，当 时，证明 1)(f)(f1x45)f分析：从 知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从 且 ，0a 1x)(f知，要求证的是 ，所以抛物线的顶点一定在 轴下方，取绝对值后，图1)(f 45)(xf像翻到 轴上方因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在x证明： )()(2cbacba1)()1f，2 b又 ， a1b 2又 ， ，1)0(fc abcabf 44)(22高中数学辅导网 http:/京翰教育中心 http:/ abcabf 4)2(22511而 的图像为开口向上的抛物线，且 ， ，)(xf x1x 的最大值应在 ， 或 处取得1xab2 ， ， ，1)(f)(f 45)2(abf 45)(xf说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数 ， ， 的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过abc比较求出函数在 范围内的最大值1x
