1、 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题（理工类） 2011.5（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）注意事项：1.答第一部分前，考生必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集 U=R，集合 A=x00
2、,则 A(C U B)=(A)xx1 (B)xx0 (C)x0y0”是“ 1”的y（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件（3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为 2 的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8,则侧视图的面积为 （A）8 （B）4 （C）4 （D） 33（4）已知随机变量 X 服从正态分布 N(a,4),且 P(X1)=0.5,则实数 a 的值为 (A)1 (B) (C)2 (D)4 3（5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”。现从 1,2,3, 4,5, 6这六个数字中任取 3 个数，组
3、成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（A）120 个 （B）80 个 （C ）40 个 （D）20 个（6）点 P 是抛物线 y24x 上一动点，则点 P 到点 A（0,1）的距离与到直线 x=1 的距离和最小值是（A） （B） （C）2 （D）5 2（7）已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1 B1 C1 D1中，点 E,F 分别是棱 BB1 ，DD 1 上的动点，且 BE=D1 F= （0 ）。设 EF 与12AB 所成的角为 ，与 BC 所成的角为 ，则 + 的最小值（A）不存在 （B）等于 60 （C）等于 90 （D）等于 120（8）已知点 P 是ABC 的中位线 EF 上任意一点
4、，且 EFBC，实数 x,y 满足 + x +y =0.设ABC,PBC,PCA,PAB 的PABC面积分别为 S,S1 ,S2 ,S3 ,记 = , = , = .则当 取最大值时，2x+y 的值为1S23S23（A） （B） （C）1 （D）23第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。（9）已知复数 z 满足 iz=1-i,则 z=_.（10）曲线 C： ( 为参数)的普通方程为 。xcos1iny（11）曲线 y=33x 2 与 x 轴所围成的图形面积为 。（12）已知数列a n满足 a1=2,且 an+1a
5、n+ an+12a n=0,nN * ,则 a2= ;并归纳出数列a n的通项公式 an 。（13）如图，PA 与圆 O 相切于点 A，PCB 为圆 O 的割线，并且不过圆心 O，已知BPA30,PA2 ,PC1,则 PB= ；圆 O 的半径等于 。3（14）已知函数 f（x）=ax 2+(b+1)x+b1,且 a（0,3），则对于任意的 bR，函数 F（x）= f（x）x 总有两个不同的零点的概率是 。三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分 13 分）已知函数 f（x）2sinxsin（ +x）2sin 2x+1（xR）。（
6、I）求函数 f（x）的最小正周期及函数 f（x）的单调递增区间；（II）若 f( )= ,x0(- , ),求 cos2x0的值。2o34（16）（本小题满分 13 分）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售。已知某产品第一轮检测不合格的概率为 ，第二轮检测不合格的16概率为 ，两轮检测是否合格相互没有影响。10（I）求该产品不能销售的概率；（II）如果产品可以销售，则每件产品可获利 40 元；如果产品不能销售，则每件产品亏损 80 元（即获利80 元）。已知一箱中有产品 4 件，记一箱产品获利 X
7、元，求 X 的分布列，并求出均值 E(X)。（17）（本小题满分 13 分）在长方形 AA1 B1 B 中，AB2AA 1 =4,C,C1分别是 AB，A 1 B1的中点（如图 1）。将此长方形沿 CC1对折，使二面角 A1CC 1B 为直二面角，D,E 分别是 A1 B1，CC 1的中点（如图 2）。（I）求证：C 1D平面 A1BE；（II ）求证：平面 A1BE平面 AA1 B1 B；（III ）求直线 B C1与平面 A1BE 所成角的正弦值。（18）（本小题满分 13 分）设函数 f(x)=x+(xa) 2 ,aR.（I）若 a=0，求函数 f(x)在1,e上的最小值；（II）若函数
8、 f(x)在 ，2上存在单调递增区间，试求实数 a 的取值范围；1（III）求函数 f(x)的极值点。（19）（本小题满分 14 分）已知椭圆 C： （ab0）经过点 A（2,1），离心率为 .过点 B（3,0）21xy2的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N.（I）求椭圆 C 的方程；（II）求 的取值范围；BMN（III）设直线 AM 和直线 AN 的斜率分别为 KAM 和 KAN,求证：K AM+KAN 为定值。（20）（本小题满分 14 分）对于正整数 a,b，存在唯一一对整数 q 和 r，使得 a=bq+r,0r0,所以 f(x)在1,e上是增函数，x当 x1 时，f(x)取
9、得最小值 f(1)1.所以 f(x)在1,e上的最小值为 1. 3 分（II）解法一：f(x) +2（xa）121ax设 g（x）2x 2-2ax+1, 4 分依题意，在区间 ，2上存在子区间使得不等式 g（x）0 成立. 5 分注意到抛物线 g（x）2x 2-2ax+1 开口向上，所以只要 g（2）0，或 g（ ）0 即可126 分由 g（2）0，即 8-4a+10,得 a ，94由 g（ ）0，即 -a+10,得 a ,1232所以 a ，94所以实数 a 的取值范围是（-， ）. 8 分94解法二：f(x) +2（xa） ，4 分121ax依题意得，在区间 ，2上存在子区间使得不等式 2
10、x2-2ax+10 成立.2又因为 x0,所以 2a（2x+ ）. 5 分1x设 g（x）2x+ ，所以 2a 小于函数 g（x）在区间 ，2的最大值.12又因为 g（x）=2- ，2由 g（x）=2- 0 解得 x ；21由 g（x）=2- 0 解得 0x .22所以函数 g（x）在区间（ ，2）上递增，在区间（ ， ）上递减.12所以函数 g（x）在 x ，或 x2 处取得最大值.1又 g（2） ，g（ ）3,所以 2a ，a994所以实数 a 的取值范围是（-， ）. 8 分（III）因为 f(x) ，令 h(x)2x 2-2ax+121xa显然，当 a0 时，在（0,+ ）上 h(x)
11、 0 恒成立 f(x) 0，此时，函数 f(x)没有极值点；9 分当 a0 时，（i）当0，即 0a 时，在（0,+ ）上 h(x)0 恒成立，这时 f(x) 0，此2时，函数 f(x)没有极值点；10 分（ii）当0 时，即 a 时，易知，当 x 时，h(x) 0,这时 f(x) 0；22当 0x 或 x 时，h(x) 0,这时 f(x) 0；2a2a所以，当 a 时，x 是函数 f(x)的极大值；x 是函数 f(x)的极小值点. 22a12 分综上，当 a 时，函数 f(x)没有极值点；2当 a 时，x 是函数 f(x)的极大值点；x 是函数 f(x)的极小值点. 22a2a13 分（19
12、）（本小题满分 14 分）解：（I）由题意得 解得 a ，b .2241,.abc63故椭圆 C 的方程为 .4 分2163xy（II）由题意显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程为 y=k(x-3),由 得（1+2k 2）x 212k 2x+18k26=0. 5 分2(),163ykx因为直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,所以144k 44（1+2k 2）（18k 26）24（1k 2）0.解得-1k1. 6 分设 M,N 的坐标分别为（x 1 ,y1）,（x 2 ,y2）,则 x1+x2 ，x 1x2 ，y 1k（x 13）, y 2k（x 23）. 7 分k8所以 （x
13、13）（x 23）+ y 1y2 8 分BMN（1+k 2）x 1x23（x 1+ x2）+9 k + .9 分322(1)k因为-1k1，所以 2 + 3.2()故 的取值范围为（2,3. 10 分BMN（III）由（II）得 KAM+KAN 11 分12yx 12211(3)(3)(2kkxx 1221(5)4xx2222(86)()(1)(4kkkA -2.24k所以 KAM+KAN 为定值-2. 14 分（20）（本小题满分 14 分）（I）解：因为 20119122+9,所以 q22,r9. 2 分（II）证明：假设存在这样的函数 f：A1,2,3，使得对任意的整数 x,y,若 ，则
14、 f(x)f(y).1,23xy设 f(1)a，a1,2,3，f(2)b，b1,2,3，由已知 ab.由于 ， ，所以 f(3)f(1), f(3)f(2).3121不妨令 f(3)c，c1,2,3，这里 ca,且 cb,同理，f(4)b，且 f(4)c，因为1,2,3只有三个元素，所以 f(4)a.即 f(1)f(4)，但是 3,与已知矛盾.41因此假设不成立，即不存在这样的函数 f：A1,2,3，使得对任意的整数 x,y,若，则 f(x)f(y). 8 分,23xy（III）当 m8 时，记 M7+ ii=1,2,16,N=2(7+i)i=1,2,3,4,记 P ,则 card(P)=12
15、,显然对任意mCN1ij16,不存在 n3,使得 7+jn(7+i)成立.故 P 是非“和谐集”此时 P8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23.同理，当 m9,10,11,12 时，存在含 m 的集合 A 的有 12 个元素的子集为非“和谐集”.因此 m7. 10 分下面证明：含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集为非“和谐集”.设 Ba 1,a2,a11,7.若 1,14,21 中之一为集合 B 的元素，显然为“和谐集”.现考虑 1,14,21 都不属于集合 B，构造集合 B12,4,8,16，B 23,6,12，B 35,10,20，B 49,18，B 511,22，B13,15,17,19,23.以上 B1B2B3B4B5每个集合中的元素都是倍数关系.考虑 B B 的情况，也即 B中 5 个元素全都是 B 的元素，B 中剩下 6个元素必须从 B1B2B3B4B5这 5 个集合中选取 6 个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合 B 中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含 7 的含意集合 A 的有 12 个元素的子集 B 为“和谐集”，即 m 的最大值为 7.14 分
