1、 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题（文史类） 2011.5（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）注意事项：1.答第一部分前，考生必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集 U=R，集合 A=x2
2、x1,B=x 0,则 A(C U B)=1(A)xx1 (B)x0y0”是“ 1”的y（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件（3）已知 cos ，0 ,则 tan( + )354（A） （B）-1 （C） （D）-7117（4）双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为269xy（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（5）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为 2 的等边三角形，若三棱柱的正视图（如图所示）的面积为 8,则侧视图的面积为 （A）8 （B）4 （C）4 （D） 33（6）连续抛两枚骰子分别得到的点数是 a,b,则向量（a,b ）与向量（1
3、,-1）垂直的概率是（A） （B） （C） （D）512161312（7）已知函数 f(x)x 2-cosx,则 f(-0.5)，f(0), f(0.6)的大小关系是（A）f(0)f(-0.5)f(0.6) （B）f(-0.5)f(0.6)f(0)（C）f(0)f(0.6)f(-0.5) （D）f(-0.5)f(0)f(0.6)（8）已知点 P 是ABC 的中位线 EF 上任意一点，且 EFBC.设ABC,PBC,PCA,PAB 的面积分别为 S,S1 ,S2 ,S3 ,记= , = , = ，定义 M(P)（ ， ， ），则当 取最大值时，M(P)等于1S23S12323（A）（ ， ， ）
4、 （B）（ ， ， ） （C）（ ， ， ） （D）（ ， ， ）1241421312第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。（9）设 i 为虚数单位，复数 z 满足 iz=1-i,则 z=_.（10）已知向量 a,b 的夹角为 60， ， ，若 a（ma+2b）,则实数 m 的值为 .3a2b（11）如图，一艘船上午 8：00 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 8：30 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75处,且与它相距 n mile，则此船的航行
5、速度是 n mileh. 4（12）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 。（13）某射击运动员在一组射击训练中共射击 5 次，成绩统计如下表：环数 8 9 10次数 2 2 1则这 5 次射击的平均环数为 ；5 次射击的方差为 .（14）已知区域 D： 则 x2+y2的最小值是 ；y,0,1.x若圆 C：(x-a) 2+(y-2)22 与区域 D 有公共点，则实数 a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分 13 分）已知函数 f（x）2sinxcosx-2sin 2x+1.（I）求函数 f（x）的最小正周期
6、及值域；（II）求 f（x）的单调递增区间.（16）（本小题满分 13 分）设a n是一个公差为 2 的等差数列，a 1,a2,a4成等比数列.（I）求数列a n的通项公式 an；（II）数列b n满足 bn ，求 b1b2bn(用含 n 的式子表示 ).（17）（本小题满分 13 分）在长方形 AA1 B1 B 中，AB2AA 1 =4,C,C1分别是 AB，A 1 B1的中点（如左图）。将此长方形沿 CC1对折，使平面 AA1C1C平面 CC1B1 B（如右图），已知 D,E 分别是 A1 B1，CC 1的中点。（I）求证：C 1D平面 A1BE；（II ）求证：平面 A1BE平面 AA1
7、 B1 B；（III ）求三棱锥 C1A 1BE 的体积.（18）（本小题满分 13 分）已知函数 f(x)= -ax, aR.xe（I）求函数 f(x)的单调区间；（II）当 x0,+）时，都有 f(x)0 成立，求实数 a 的取值范围 .（19）（本小题满分 14 分）已知椭圆 C： （ab0）经过点 A（2,1），离心率为 .21xy2（I）求椭圆 C 的方程；（II）过点（3,0）的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N，设直线 AM 和直线 AN 的斜率分别为 KAM 和 KAN,求证：K AM+KAN 为定值。（20）（本小题满分 14 分）对于正整数 a,b，存在唯一一对整
8、数 q 和 r，使得 a=bq+r,0rb.特别地，当 r=0 时，称 b能整除 a,记作 ba,已知 A1,2,3,，23。（I）存在 qA,使得 201191q+r（0r91），试求 q,r 的值；（II）若 BA，card(B)=12(card(B) 指集合 B 中的元素的个数),且存在 a,bB,ba, ba,则称 B 为“和谐集”。求最大的mA，使含 m 的集合 A 的有 12 个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由。北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学测试题答案 （文史类） 2011.5一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号 （1） （2） （3）
9、（4） （5） （6） （7） （8）答案 C B D B C B A A二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。题号 （9） （10）（11）（12）（13） （14）答案 -1i- 23 16 35 8.80.564 -2,5三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分 13 分）解：（I）f(x)sin2x+ cos2x sin（2x+ ）, 4 分24则函数 f(x)的最小正周期是 . 6 分函数 f(x) 的值域是 ， . 8 分（II）依题意得 2k 2x+ 2k + (kZ), 10 分242则
10、k xk + (kZ). 12 分38即 f(x) 的单调递增区间是k ，k + (kZ). 13 分38（16）（本小题满分 13 分）解：（I）由 a1,a2,a4成等比数列得：（ a1+2） 2a 1（a 1+6）. 2 分解得 a12. 4 分数列a n的通项公式是 an2n(nN *）. 6 分（II）b n 4 n(nN *）. 8 分则 b1b2bn4 1 + 2+ + n 10 分 (nN *）. 13 分12（17）（本小题满分 13 分）证明：（I）取 A1 B 的中点 F，连接 DF,EF. 1 分因为 D,F 分别是 A1 B1，A 1 B 的中点，所以 DF 是A 1
11、 BB1的中位线. 2 分所以 DFBB 1CC 1，且 DF BB1 CC1.2又因为 E 是 CC1的中点，所以 C1E CC1.2所以 DFC 1E，且 DFC 1E.所以四边形 C1EFD 是平行四边形.3 分所以 C1DEF.又 EF 平面 A1 BE，C 1D 平面 A1 BE，4 分所以 C1D平面 A1 BE. 5 分（II）因为 CC1A 1C1，CC 1B 1C1且 A1C1B 1C1C 1，所以 CC1平面 A1C1B1.因为 BB1CC 1，所以 BB1平面 A1C1B1.因为 C1D 平面 A1C1B1，所以 BB1C 1D.6 分又 A1C1C 1B1，且 D 是
12、A1 B1的中点，所以 C1DA 1 B1.7 分因为 A1 B1BB 1B 1，所以 C1D平面 AA1 B1 B.8 分由（I）知 EFC 1D.所以 EF平面 AA1 B1 B.又因 EF 平面 A1 BE，所以平面 A1 BE平面 AA1 B1 B.10 分解：（III）由已知，长方形 AA1 B1 B 沿 CC1对折后 ACBC2,AB .2所以 AB2AC 2+BC2.所以 BCAC，且 BCCC 1，ACCC 1C.所以 BC平面 AA1CC1.即 BC平面 A1EC1. 11 分所以 BC. 12 分CBEV1C31AECS其中 A1C1C1E 211.1SA2所以 BC 12
13、 .13 分1CBE11AC32（18）（本小题满分 13 分）解：（I）f(x)的定义域是（ -，+），f(x) -a. 2 分xe（1）当 a0 时，f(x) 0 成立，f(x)的单调增区间为（-，+）；3 分（2）当 a0 时，令 f(x) 0，得 xa，则 f(x)的单调增区间是（a，+）. 4 分令 f(x) 0，得 xa，则 f(x)的单调减区间是（-，a）. 5 分综上所述，当 a0 时，f(x)的单调增区间为（-，+）；当 a0 时，f(x)的单调减区间是（-，a），f(x)的单调增区间是（a，+）. 6 分（II）当 x0 时，f(x)10 成立，aR. 7 分当 x（0，+
14、）时，f(x)= -ax0 成立，xe即 x（0，+）时，a 成立.设 g（x） ，9 分xe所以 g（x）= .10 分2x21xe当 x（0,1）时，g（x）0，函数 g（x）在（0,1）上为减函数；11 分x（1, +）时, g（x）0，函数 g（x）在（1, +）上为增函数. 12 分则 g（x）在 x1 处取得最小值，g（1）e.则 ae.综上所述，x0, +）时, f(x)0 成立的 a 的范围是（-，e. 13 分（19）（本小题满分 14 分）解：（I）由题意得 2 分2241,.abc解得 a ，b . 4 分63故椭圆 C 的方程为 .5 分21xy（II）由题意可设直线
15、l 方程为 y=k(x-3),由 得（1+2k 2）x 212k 2x+18k26=0. 7 分2(3),16ykx因为直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,所以144k 44（1+2k 2）（18k 26）24（1k 2）0.解得-1k1. 8 分设 M,N 的坐标分别为（x 1 ,y1）,（x 2 ,y2）,则 x1+x2 ， x1x2 ，10 分k8y1k（x 13）, y 2k（x 23）.所以 KAM+KAN 12 分12y 1211(3)(3)(2kxkxx 1221(5)4xx2222(86)()(1)(4kkkA -2. 所以 KAM+KAN 为定值-2. 14 分24
16、k（20）（本小题满分 14 分）（I）解：因为 2011 91q+r ，所以 20119122+9. 2 分又因为 qA，所以 q22,r9. 4 分（II）含有元素 7 的一个“和谐集”B 01,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.5 分含有元素 8 的非“和谐集”C8,9,10,11,12，13,14,15,17,19,21,23.7 分当 m8 时，记 M7+ii=1,2,16,N=2(7+i)i=1,2,3,4,记 P ,则 card(P)=12. 显然对任意 1ij16,不存在 n3,使得 7+jn(7+i)成立.故 P 是非“和谐集”此时CNP8,9,10,11,1
17、2,13,14,15,17,19,21,23.同理，当 m9,10,11,12 时，存在含 m 的集合 A 的有 12 个元素的子集为非“和谐集”.因此 m7. 10 分下面证明：含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集为非“和谐集”.设 Ba 1,a2,a11,7.若 1,14,21 中之一为集合 B 的元素，显然为“和谐集”.现考虑 1,14,21 都不属于集合 B，构造集合 B12,4,8,16，B 23,6,12，B 35,10,20，B 49,18，B 511,22，B13,15,17,19,23.12 分以上 B1B2B3B4B5每个集合中的元素都是倍数关系.考虑 B B 的情况，也即 B中 5 个元素全都是 B 的元素，B 中剩下 6 个元素必须从 B1B2B3B4B5这 5 个集合中选取 6 个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合 B 中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含 7 的含意集合 A 的有 12 个元素的子集 B 为“和谐集”，即 m 的最大值为 7.14 分
