1、12013 年考研数学二真题及答案一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分设 ，当 时， （ ）2)(,sincoxx0xx（A）比 高阶的无穷小 （B）比 低阶的无穷小（C）与 同阶但不等价无穷小 （D）与 等价无穷小x x2已知 是由方程 确定，则 （ fy1lncosxy 12limnfn）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2设 ， 则（ ）2,)0sin)(xf xdtfF0)()(（） 为 的跳跃间断点 （） 为 的可去)( x)(xF间断点 （） 在 连续但不可导 （） 在 可导)(xF)(x设函数 ，且反常积分 收敛，则（ exf,ln1,)() df）（A） （
2、B） （C） 22a 02a（D） 0设函数 ，其中 可微，则 （ ）xyfzf yzx（A） （B） （C） （D）)(2f )(2yf)(2f )(2xyf6设 是圆域 的第 象限的部分，记kD1|,xyk2，则（ ）kDdxyI)(（A） （B） （C） （D）01I 02I03I 04I7设，均为 阶矩阵，若，且可逆，则n（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价8矩阵 与矩阵 相似的充分必要条件是1ab02b（A） （B
3、） ， 为任意常数2,00ab（C） （D） ， 为任意常数b2二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9 xx10)ln(2lim10设函数 ，则 的反函数 在 处dtefx1)( )(xfy)(1yfx0的导数 0|ydx11设封闭曲线 L 的极坐标方程为 为参数，则63cosrtL 所围成的平面图形的面积为 12曲线上 对应于 处的法线方程为 21lnarctyx1t313已知 是某个二阶常系数线性微xxx eyeyey 232231 , 分方程三个解，则满足 方程的解为 1)0()(14设 是三阶非零矩阵， 为其行列式， 为元素 的代数ij
4、aAAijAija余子式，且满足 ，则 = )3,21,(0jiijij三、解答题15 （本题满分 10 分）当 时， 与 是等价无穷小，求常数 0xxx3cos2s1nana,416 （本题满分 10 分）设 D 是由曲线 ，直线 及 轴所转成的平面图形，3xya)0(x分别是 D 绕 轴和 轴旋转一周所形成的立体的体积，若yxV,，求 的值10a517 （本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 所围成，求 8,3,yxyx Ddxy2618 （本题满分 10 分）设奇函数 在 上具有二阶导数，且 ，证明：)(xf1,1)(f（1）存在 ，使得 ；01f（2）存在 ，使得 ),()(f
5、719 （本题满分 10 分）求曲线 上的点到坐标原点的最长距离和最短)0,(133yxyx距离20 （本题满分 11）设函数 xf1ln)(求 的最小值；x设数列 满足 ，证明极限 存在，并求此极限n1lnxnxlim821 （本题满分 11）设曲线 L 的方程为 )1(ln24exxy（1）求 L 的弧长（2）设 D 是由曲线 L，直线 及 轴所围成的平面图形，求ex,1D 的形心的横坐标922本题满分 11 分）设 ，问当 为何值时，存在矩阵 C，使得bBaA10, ba,，并求出所有矩阵 CC1023（本题满分 11 分）设二次型 记23212321321 )()(),( xbxaxx
6、f 32321,ba（1）证明二次型 对应的矩阵为 ；f T2（2）若 正交且为单位向量，证明 在正交变换下的标准形为 , f21y11一.选择1.【详解】显然当 时0x，故应该选（C） )(21)(sin,21)(sin1co xxx 2. 【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义【详解】将 代入方程得 ，在方程两边求导，得0x1)0(fy，代入 ，知 1)(sinyy ,x1)0(fy，故应该选（A） 2)0(2)(lim2li fnffnfnn3. 【详解】只要注意 是函数 的跳跃间断点，则应该是x)(xf连续点，但不可导应选（） xdtfF0)()(4.【详解】 ，ee
7、 dxxdf 1111 ln)() 其中 当且仅当 时才收敛；0111)(eetxd 而第二个反常积分 ，当且仅当xxdxxe lnim1|ln1ln11 才收敛0a从而仅当 时，反常积分 才收敛，故应选（） 2dxf5. 【详解】应该选)(2)()(1)()(22 xyfyfxfyfxyfxyzxy 12（A） 6. 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知 21 211022)(|cosin31 )sin(3)cos(in)(k kkDk ddrddxyIk 所以 ，应该选（B） 3,0421III7. 【详解】把矩阵 A，C 列分块如下：，由于，则可知nnCA,2121 ，得到矩阵 C 的
8、列向量组可用矩)(ibbiniii 阵 A 的列向量组线性表示同时由于 B 可逆，即 ，同理可知1BA矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价应该选（B） 8. 【详解】注意矩阵 是对角矩阵，所以矩阵 A= 与02b 1ab矩阵 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等02b )2)(112ababAE 从而可知 ，即 ， 为任意常数，故选择（B） b20二.填空9.【详解】21)(21(lim)1ln(im1010 2020)ln(lim)ln(2lim eeexx xoxxxx x 10. 【详解】由反函数的求导法则可知1
9、3110| edxy11. 【详解】 12cos31cos2220626 dtddrA所以答案为 112. 【详解】当 时， ， ，所以法线t 2ln1,4yx1|21tty方程为，也就是 )4(12lnxy 042ln1xy13. 【详解】显然 和 是对应的二阶常系数线性齐ey31xe3次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为，其中 为任意常数把初始条件代入可得xxeCey223121,C，所以答案为, xxey2314. 【详解】由条件 可知 ，其中 为 A),(0jiaAijij 0*TA*的伴随矩阵，从而可知，所以 可能为 或 0AT13* 1但由结论 可知， 可知
10、,伴随矩1)(,0,)(*nArr *TA*)(Ar阵的秩只能为 3，所以 .三.解答题15. 【分析】主要是考查 时常见函数的马克劳林展开式0x【详解】当 时， ，0x)(21cos2xo，)()2(1cos2x14，)(291)()3(21cos 22xoxox所以 )(7)(291)(21)(css1 222 xoxoxoxxx ，由于 与 是等价无穷小，所以 xx3cos2s1na,7na16. 【详解】由微元法可知；3503202adxxyVaax ；370340 6)(faay由条件 ，知 yxV117. 【详解】341683623202221 xxDDD dydydxyxydxy
11、18. 【详解】证明：（1）由于 为奇函数，则 ，由于 在 上具有)(xf 0)(f)(xf1,二阶导数，由拉格朗日定理，存在 ，使1,得 10)()( ff（2）由于 为奇函数，则 为偶函数，由（1）可知存在xf )(xf，使得 ，且 ，)1,(1令 ，由条件显然可知 在 上可导，且)(xfe)(x1,，0)(由罗尔定理可知，存在 ，使得 即),1(,(,01)(ff1519. 【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法【详解】构造函数 )1(),( 332yxyxL令 ，得唯一驻点 ，即 10)3(232yxxLyx1,yx),(1M考虑边界上的点， ；)0,1(,32M距离函数 在
12、三点的取值分别为),(yxf，),(102)1,( ff所以最长距离为 ，最短距离为 120. 【详解】（1） ，21)( xxf令 ，得唯驻点 ，0当 时， ，函数单调递减；当 时， ，函)1,(x0)(f ),1(x0)(xf数单调递增所以函数在 处取得最小值 x1)(f（2）证明：由于 ，但 ，所以 ，故数1lnnxlnnxnx1列 单调递增nx又由于 ，得到 ，数列 有界1lnxexn0nx由单调有界收敛定理可知极限 存在nlim令 ，则 ，由（1）的结论可知axnliml1lni axn161limaxn21. 【详解】（1）曲线的弧微分为 ，dxdxdxyx )1(21412 所以
13、弧长为 )(221edse（2）设形心坐标为 ，yx,则 )7(4321276324ln21401l2 eedyxdyxxeD22. 【详解】显然由 可知，如果 C 存在，则必须是 2 阶的方阵设BCA，4321x则 变形为 ，BA baxxa1032431 412即得到线性方程组 ，要使 C 存在，此线性方程组必bax324120须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下， bababA 011010|所以，当 时，线性方程组有解，即存在矩阵 C，使得,BCA17此时， ，001|bA所以方程组的通解为 ，也就是满足100214321Cx的矩阵 C 为BAC，其中 为任意常数21121,23. 【详解】证明：（1） 321321 32132132321 3211321321321 2312332, , , )()(),( xxxxxbxxaxbaxf TTT所以二次型 对应的矩阵为 f T证明（2）设 ，由于AT20,1则 ，所以 为矩阵对应特征值22T的特征向量；1，所以 为矩阵对应特征值222TTA的特征向量；而矩阵 A 的秩 ，所以 也2)()2()() TTTrrr 0318是矩阵的一个特征值故 在正交变换下的标准形为 f 21y
