1、1第六章 微分方程习题 6.1 3用微分方程表示下列命题. (1)曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点的横坐标与纵坐标之比的相反数. (2)某大洲的人口总量 Q(t)的增长速度与当时的人口总数成比例. 解: (1) 根据导数的几何意义, y = f (x) 在点（x，y ）处的切线的斜率可用导数 y = f (x)来表示, 由题目的条件知y = ,这就是所求的微分方程.(2) 人口总量 Q(t)的增长速度可用导数 Q(x) 来表示, 设题目所说的比例系数为 k0，就得到所求的微分方程: Q(t) = kQ(t) 或简写成 Q = kQ.4. 已知曲线族 y = C1cos2x+C2sin2
2、x，求其中满足条件 y(0) = 2，y(0) = 0 的曲线.解: 对 y = C1cos2x+C2sin2x 求导得到 y = 2C1sin2x+2C2cos2x. 把初始条件 y(0) =2， y(0) = 0 分别代入这两个方程得: 2 = C1, 0 = 2C2, 即 C1 = 2, C2 = 0. 把它们代入曲线族方程得到y = 2cos2x,这就是所求的曲线的方程.习题 6.23放射性物质镭的衰变速度与它现存量 Q 成正比，比例系数 k = 0.00433，求在时刻 t（以年为单位）镭的存量与时间 t 的函数关系，经过多少年后，镭的质量只剩下原始量的一半？解: 设镭的存量与时间
3、t 的函数为 Q = Q(t), 那么衰变速度可用导数 Q(x) 来表示, 根据题目条件得到微分方程: Q = 0.00433Q,解这个方程得出镭的存量与时间 t 的函数为 Q = Q0e0.00433t .假定经过 T 年后，镭的质量只剩下原始量的一半, 即 Q(T) = 0.5 Q0. 代入 Q(t)中得到0.5 Q0 = Q0e0.00433T,由此可求出 T = 160(年).043.2ln4在某种化学反应中，物质 A 转变成物质 B 的速度与物质 A 的瞬时存量的平方成正比. 如果物质 A 的初始质量为 60 克，1 小时后物质 A 的瞬时存量减少到 10 克，求 2 小时后物质 A
4、 的瞬时存量.解: 设物质 A 在时刻 t 的存量为 y = y(t), 那么由题目条件得到微分方程 y(t) = k (y(t)2, 或 y = ky2, 其中 k 是比例系数,且 y(0)=60, y(1)=10. 解这个方程得到通解y (t) = ,C1把 t = 0, y =60 代入通解表达式, 可求出 C =1/60, 即得出特解 y (t) = = ;601kkt2因为 t = 1 时 y =10, 代入特解表达式 ,可求出 k = 1/12, 从而物质 A 的存量函数为y = .1560t把 t = 2 代入函数 ,求得 y = = 5.45(g). 即 2 小时后物质 A 的
5、瞬时存量为 5.45g.125605假定有一笔钱 s0 存在银行，每个月可按 2%的利率获取复利息. 求得该款存入后任何时刻的资金（连本带利）是多少？解: 设在时刻 t 的资金（连本带利）为 s = s(t). 那么由题目条件得到微分方程( 初值问题):,0|)2.)sttt求出通解为 s = Ce0.02t. 把 t = 0, s = s0 代入求得 C = s0. 从而所求的解为 s = s0e0.02t. 即该款存入后任何时刻 t 的资金（连本带利）是 s =s0e0.02t.6. 用 x(t)表示时刻 t 的销售量, 设销售量的变化率 x(t)与销售量 x(t)及销售接近饱和水平的程度
6、 ax 之乘积成正比（比例系数 k = 0.1）. 假定 x(0)=100, 饱和水平 a=1100，求销售函数 x(t).解: 由题目条件得到微分方程 x(t)= 0.1x (ax). 求出通解为x = , 其中 c = .tce1.00因为 x0 =x(0)=100, 饱和水平 a=1100，所以 c =10, 销售函数 x(t)为x = .t107 （生物种群生长模型） 在一个孤立小岛上红蚂蚁迅速繁殖, 经一阶段增长后逐渐接近生长极限 N. 假定在时刻 t0= 0 时的红蚂蚁量 x0 为生长极限 N 的 m 分之一（m 10 为整数）, 红蚂蚁量 x(t)的增长率与 x(t)本身和其接近
7、生长极限的程度( N x(t)之乘积成正比（比例系数 k0） . 求红蚂蚁量 x(t)的函数表达式. 又,假定生长极限 N =100000 单位, x0 为 N 的五千分之一, 10 天后红蚂蚁量达到 x0 的 10 倍, 问经过多少时间红蚂蚁可达到其生长极限的百分之六十.解: 由题目条件得到微分方程 x(t) = kx (Nx). 求出通解为x = , 其中 c = .ktce10x因为在时刻 t0= 0 时的红蚂蚁量 x0 为生长极限 N 的 m 分之一, x0= N/m, c = m1. 所以,红蚂蚁量 x(t)的函数表达式为x = .kte)1(假定 N =100000 单位, x0
8、为 N 的五千分之一, 10 天后红蚂蚁量达到 x0 的 10 倍, 那么 x0=20, m=5000, c = m1=4999, t =10, k =0.23106. 因此函数 x(t)为x = .teN230491假定经过 T 天红蚂蚁可达到其生长极限的百分之六十. 那么,30.6N = ,Te23.0491从中可求出 T=38.739(天).习题 6.33. 求一曲线方程，它经过坐标原点并且在点(x，y)处的切线的斜率为 2x(1y). 解: 设曲线方程为 y = f (x), 由题目的条件知y = 2x(1y).解这个方程dy = 2dx,1ln |y1|= x2+C,得到方程的通解y
9、1= C1 .2xe因为曲线经过坐标原点(0, 0), 把 x=0,y=0 代入通解表达式,得 C1=1. 因此, 所求的曲线方程为 y = 1 .2xe4. 一个物体从水池表面落下，所受的阻力与速度成正比，求下落速度 v 与时间 t 的函数关系. 解: 取坐标轴 V 方向朝下(地心), 设下落速度 v= v(t), 那么 t = 0 时速度 v = v(0) = 0. 运动的加速度为 v = v (t), 物体受到重力 mg 和阻力kv 的作用（其中 k0 是比例系数）, 两个力的方向相反. 根据牛顿第二定律得出如下微分方程: mg kv =m v, 或 ,gmdt这是一个一阶线性方程，根据
10、公式求得通解:v = (g dt+C) = +C .kedmtketke由于 t = 0 时速度 v = 0, 故可求出 C = , 从而下落速度v = (1 ).ktmke5. 设有一质量为 m 的机车在铁轨上由静止开始运动，它同时受到两个力的作用，一是与运动方向一致的牵引力的作用，大小与时间成正比（比例系数为 k1） ，另一个是阻力，其大小与速度成正比（比例系数为 k2）. 求火车运动的速度与时间的关系.解: 设火车运动的速度 v= v(t), 那么 t = 0 时速度 v = v(0) = 0. 那么牵引力为 k1t, 阻力为 k2v. 两个力的方向相反. 根据牛顿第二定律得微分方程:
11、k1t k2v =m v, 或 t,mkdt12这是一个一阶线性方程，根据公式求得通解:v = ( )dt+C = t dt +C = (t )+C .mtk1ked2tkdm21mke2tmk2121tmke24由于 t = 0 时速度 v = 0, 故可求出 C = , 从而火车运动的速度为2kmv = t (1 ).21tmke2习题 6.43一质量为 m 的物体，在粘性液体中由静止自由下落 . 假设液体阻力与运动速度成正比，比例系数为 k, 试求物体下落的距离 s 与时间 t 的函数关系.解: 设物体下落的距离为 s = s (t), 那么为运动速度 v= s (t), 那么 t =
12、0 时 s = s (0) =0, v = v(0) = 0. 运动的加速度为 v = v (t) = s(t), 物体受到重力 mg 和阻力kv 的作用(其中k0 是比例系数), 两个力的方向相反 . 根据牛顿第二定律得微分方程: mg k s =m s, 或 ,gdtsmkt2这是一个可降阶的二阶线性方程. 事实上, 令 v= s (t), 就得到,gvkdt这是一个一阶线性方程, 根据公式求得通解:v = (g dt+C) = +C .kemtkedmtmke由于 t = 0 时速度 v = 0, 故可求出 C = , 从而下落速度v = (1 ), 或ktmkes (t) = (1 )
13、.gtk把最后的方程两边积分,求得通解:s (t) = ( t + + C1)ktmke由初值条件 s (0) = 0 得出 C = . 从而得到距离 s 与时间 t 的函数关系ms (t) = t + ( 1).kg2tmke习题 6.51判断下列函数组在其定义区间是否线性无关？(1) x，x 2 ; (2) e x，e x ;(5) ln x，ln x 2; (6) 0，x ，cos x.解: 设常数 C1 ,C2 使的 C1x+C2x2 0, x, . 我们断定 C1=C2= 0. 否则, 若 C1 0, 当 x 0 时,等式两边同除于 x 得 C1 C2 x, x 0. 这时,若 C2
14、=0, 则推出 C1=C2= 0,与假设矛盾; 若 C2 0, 则推出 C1 不是常数, 也与假设矛盾. 因此 C1= 0. 从而 C2 x2 0, x, , 由此推出 C2 = 0. 因此 x 与 x2 线性无关.(2) ex 与 ex 线性无关. 事实上 , 设常数 C1 ,C2 使的 C1ex+C2ex 0, x, . 我们断定5C1=C2=0. 否则 , 若 C1 0, 等式两边同除于 ex 得 C1 C2 e2x, x 0. 这时,若 C2=0, 则推出C1=C2 = 0,与假设矛盾; 若 C2 0, 则推出 C1 不是常数, 也与假设矛盾. 因此 C1= 0. 从而 C2 ex 0
15、, x, , 由此推出 C2 = 0. 因此 x 与 x2 线性无关.(5) 由于 lnx2 = 2ln x, x0, , 可见 ln x 与 lnx2 线性相关.(6) 由于选取 C1=1, C2= C3= 0 时，有 C10+ C2x+ C3cos x=10+ 0x+0cos x 0, x, . 所以 0，x，cos x 是线性相关的 .习题 6.62求下列方程满足初始条件的特解(3) y+2y+y=0， y|x=0 = 2，y| x=0= 0，y| x=0 = 1;(4) +2 + s =0， s| t=0 = 4，s| t=0 = 2.2dt解: (3) 特征方程为 r3r2 + r
16、= 0，它有 3 个的实根: r1 = 0，r 2,3 = 1. 所以微分方程的通解为 y = C1+ C2ex + C3 x ex. 由 y|x=0 = 2 得出 C1+ C2 = 2. 因为y = C2ex + C3 ex C3 x ex, y = C2ex 2 C3 ex + C3 x ex.由 y|x=0= 0，y| x=0 = 1 得出 C2 + C3 = 0, C2 2 C3 = 1. 解这个方程组得 C2 = C3 =1. 从而C1 = C2 + 2=1.所以满足初始条件的特解为 y = 1+ ex + x ex.(4) 特征方程为 r22r +1 = 0，它有两个相等的实根是
17、r1,2 = 1. 所以, 微分方程的通解为 s = C1e t + C2 t et. 由此得出 s = C1e t C2 t et+ C2 et.由 s| t=0 = 4，s| t=0 = 2 得出 C1 = 4, C1 + C2 = 2. 解得 C2 =6. 所以满足初始条件的特解为s = 4e t + 6 t et.习题 6.72. 确定下列方程的特解的形式(1) y+3y= 2x4+x2e3x ;(2) y+2y+2y = 3ex + 2excos x.解: (1) y +3y= 0 对应的特征方程为 r2r = 0，它的根为 r1 =0, r2 = 3.由于 r1 =0, 方程 y+
18、3y= 2x4 的特解具有形式 y1*= x (a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4);由于 r2 = 3, 方程 y+3y= x2e3x 的特解具有形式 y *= x (b1x +b2x+b3) e3x;因此 y+3y= 2x4+x2e3x 的特解具有形式y*= x (b1x +b2x+b3) e3x+ x (a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4).(2) y+2y+2y =0 对应的特征方程为 r2r = 0，它的根为 r1 =i, r 2 =1 i.由于1 不是特征方程的根，所以 y+2y+2y = 3ex 的特解具有形式 y1*= a1ex.由于 r1 =i 是特征方程的根
19、，所以 y+2y+2y = 2excos x 的特解具有形式y *= ex (b1x cos x +b2x sin x).因此 y+2y+2y = 3ex + 2excos x 的特解具有形式y*= a1exe x (b1x cos x +b2x sin x)3. 求下列方程满足初始条件的特解(1) y2y+y = xex +4，y |x=0 = 1，y | x=0 =1;(2) y+4y = x2+3ex， y|x=0 = 0，y| x=0 = 2;解：y 2y+y =对应的特征方程为 r2r = 0，它的根为 r1 =, r2 =1.所以齐次方程的通解为：Y = C1e x +C2 x e
20、x.6先考虑 y2y+y = xex 的特解 . 由于 i1 是特征方程的二重根，所以 y2y+y = xex的特解具有形式y1*= Q(x) ex = ex( a1xa2) x .由于 Q(x)= x, 可令 Q (x) = ,即得到 y1*= ex.6363再考虑 y2y+y = 4 的特解. 由于i0 不是特征方程的根，所以 y2y+y = 4 的特解具有形式 y2*= C, 代入方程得 C=4.因此 y2y+y = xex+4 的一个特解是 y*= ex +4. 其通解为63y = C1e x +C2 x ex+ ex +4.3把初值条件 y |x=0 = 1，y |x=0 =1 分别
21、代入y = C1e x +C2 x ex+ ex +4 和 y = C1e x +C2 ex+ C2 x ex+ ex + ex,63 632得出 C1+4=1, C1 +C2=1, 解得 C1= 3, C2 = 4. 因此,满足初始条件的特解为y = 3e x +4 x ex + ex +4.63(2) y+4y =0 对应的特征方程为 r24 = 0，它的根为 r1 =2i, r2 = 2i. 所以齐次方程的通解为：Y = C 1cos 2x +C2 sin 2x.先考虑 y+4y = x2 的特解. 由于 i0 不是特征方程的根，所以 y+4y = x2 的特解具有形式 y1*= a0x
22、2+a1x+a2. 代入方程得 2 a0+4(a0x2+a1x+a2)= x2. 比较两边系数得 a0 = , a1 = 0, 4a2 = . 所以 y1*= x2 .848再考虑 y+4y =3ex 的特解. 由于 i1 不是特征方程的根，所以 y+4y =3ex 的特解具有形式 y2*=bex. 代入方程得bex+4 bex =3ex. 比较两边系数得 b = . 于是 y2*= ex.53综合上述讨论得出, 原方程的通解为：y = C 1cos 2x +C2 sin 2x+ x2 + ex. 41853由于 y|x=0 = 0， y|x=0 = 2, 代入通解及其导数求得 C1 + =
23、0, 2C2+ =2, 即 C1= , 853409C2= . 因此,满足初始条件的特解为17y = sin 2x cos 2x + x2 + ex.107497习题 6.82、确定微分方程 m +ks = F cos t，其中 ，满足如下初始条件的解：2dtsmk/(1) s| t=0 = s0，s | t=0 = 0；解:令 h =F/m，而=k/m ，则原方程改写为+2x = h cos t. (*)dts这时，齐次方程对应的特征方程的根为i ，于是齐次方程的实值通解为X = C1cos t+C2sin t.由于 ，则利用待定系数法可求得方程 (*)的一个的一个特解 cos t，因此方程
24、(*)的2h通解为s = C1cos t+C2sin t+ cos t.2h由初值条件 s| t=0 = s0，s | t=0 = 0 可求出 C1= s0 , C2=0. 因此,满足初始条件的特解为s = s0 cost+ cost.2h总习题 66. 设 y = ex 是微分方程 xy+p(x)y = x 的一个解，求此微分方程满足条件 y |x=ln2 = 0 的特解.解:因为 y = ex 是微分方程 xy+p(x)y = x 的一个解, 把 y = ex 代入方程得xex+p(x)ex = x,求得 p(x) = x ex x. 因此原方程为 xy+( x ex x)y = x,或y
25、+( ex 1)y = 1,这是一个一阶线性方程，根据公式求得通解:y = ( )dx+C)d)1xedx)1(e= ( dx+C) = ( d(ex)+C) = ( +C) = +C .exexxxexe根据条件 y |x=ln2 = 0, 由上式求出 C = . 从而, 所求特解为2/1y = .xe2/1x7. 已知连续函数 f (x)满足条件 f (x) = dt + e2x，求 f (x).f30)(解: 根据变上项积分的求导公式得:f (x) = 3 f (x) + 2e2x, 或 y 3y = 2e2x.这是一个一阶线性方程,根据公式求得通解:y = (2e2x dx+C) = (2e2x dx+C) = (2 dx+C) 3d3ddx3y = (2 +C) .e38由 f (x) = dt + e2x 知, 当 x=0 时 y=1, 代入上式求得 C = 3. 从而f30)(y = f (x) = 2 +3 .xe3
