1、二次函数之存在性问题考情分析本讲内容主要包括函数及其图象，一次函数，反比例函数，二次函数下表为 2009 年、2010 年、2011 年北京市中考数学函数部分所考内容对照表：考点年份函数及其图象 一次函数 反比例函数 二次函数2011 年8 题，4 分（综合）17 题，5 分（综合）23 题，7 分（综合）25 题，8 分（综合）17 题，5 分（综合）7 题，4 分23 题，7 分（综合）2010 年23 题，7 分（综合）6 题，4 分24 题，7 分（综合）2009 年8 题，4 分（综合） 17 题，5 分（综合）25 题，7 分（综合）17 题，5 分（综合）23 题，7 分（综合）
2、24 题，8 分（综合）解题策略：假设存在数形结合、分类讨论求出点的坐标（多个） 因动点产生的等腰三角形问题：一般已知两个点，问是否存在第三个点使这三个点所构成的三角形为等腰三角形此时要数形结合与分类讨论，先把三角形的三条边分别列出来，再令它们两两分别相等例 1例 2 因动点产生的直角三角形问题：一般已知两个点，问是否存在第三个点使这三个点所构成的三角形为直角三角形此时对直角顶点进行分类讨论作直角后可利用互相垂直的两条直线斜率乘积为 来求解析式，利用联立方程组求两1函数图象交点坐标或者用相似求点的坐标例 3例 4 因动点产生的平行四边形问题：一般已知三个点，问是否存在第四个点使这四个点所构成的
3、四边形为平行四边形此时要先利用函数关系式设出未知点的坐标，再分情况讨论，利用平行四边形的性质，根据具体已知条件求点的坐标例 5例 6例 7关键在函数的图象上用分类讨论思想探求符合几何条件的点 因动点产生的梯形问题：一般已知三个点，问是否存在第四个点使这四个点所构成的四边形为梯形？这一类型的题先要考虑哪条边是梯形的底，梯形的底是平行的，作底的平行线与另一函数图象相交于一点，联立方程组求交点坐标；还要考虑梯形的底不相等，也就是它们所在直线的斜率（k）相同，但底所在线段的长度是不同的求线段的长度可以用勾股定理，也可以用两点之间距离公式 （设点 ，点 ） 特殊需要注2211ABxy1,Axy2,Bxy
4、例 8例 9意的是，有的时候四边形的四个顶点的顺序是给定的，有的时候是任意的，这两种情况得到的结果是不同的因动点产生的等腰三角形问题例 1. （2009 上海市宝山区中考模拟题，24 ，12 分）在直角坐标系中，如图，把点 向1,Aa为 常 数右平移 4 个单位得到点 ，经过点 、 的抛物线 与 y 轴的交点的纵坐标为 2AA2yaxbc（1 ）求这条抛物线的解析式；（2 ）设该抛物线的顶点为 P，点 B 的坐标为 ，且 ，若ABP 是等腰三角形，求点 B 的1,m3坐标例 2. （2009 年重庆市中考题，26 ，10 分）已知：如图，在平面直角坐标系 中，矩形 OABC 的边 OAxOy在
5、 轴的正半轴上，OC 在 轴的正半轴上， , 过原点 O 作AOC 的平分线交 AB 于yx2OA3C点 D，连结 DC，过点 D 作 DEDC，交 OA 于点 E（1 ）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；（2 ）将EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OCy交于点 G如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 ，那么 是否成652EGO立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3 ）对于（2 ）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的PCG
6、 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由D BAECO xyxOy因动点产生的直角三角形问题例 3. （2010 北京市丰台区模拟,25 ,8 分）已知抛物线 2yx（1 ）求抛物线顶点 M 的坐标；（2 ）若抛物线与 x 轴分别交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，点 N 为线段BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q当点 N 在线段 BM 上运动时（点 N 不与点 B、点 M 重合） ，设 NQ 的长为 t，四边形 NQAC 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（3 ）在对称轴右
7、侧的抛物线上是否存在点 P，使PAC 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由例 4. （2010 上海市黄浦区模拟，24 ，12 分）已知点 P 是函数 图象上一点， 轴于点102yxPAxA，交函数 图象于点 M， 轴于点 B，交函数 图象于点 N（点 M、N10yxy不重合）（1 ）当点 P 的横坐标为 2 时，求PMN 的面积；（2 ）证明： ；NAB（3 ）试问：OMN 能否为直角三角形？若能，请求出此时点 P 的坐标；若不能，请说明理由因动点产生的平行四边形问题例 5. （2009 北京西城模拟题，24 ，8 分）已知：如图，在平面直角坐标系 x
8、Oy 中，直线 与364yxx 轴、 y 轴的交点分别为 A、B，将OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C.（1 ）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2 ）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T，Q 为线段 BT 上一点，直接写出 的取值范QAO围.例 6. （2011 山东威海，25，12 分）如图，抛物线 交 轴于点 ，点 ，交2yaxbcx3,0A1,B轴于点 点
9、 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 F 是线段 BC 的中点，直线 过点 F 且与 轴y0,3E ly平行直线 过点 C，交 轴于 D 点yxmy（1 ）求抛物线的函数表达式；（2 ）点 K 为线段 AB 上一动点，过点 K 作 轴的垂线与直线 CD 交于点 H，与抛物线交于点 G，求x线段 HG 长度的最大值；（3 ）在直线 上取点 M，在抛物线上取点 N，使以点 A，C ，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，l求点 N 的坐标O例 7. （2009 烟台市，26，14 分）如图，抛物线 与 轴交于 A，B 两点，与 轴交于 C 点，23yaxbxy且经过点 ，对称轴是直线 ，顶点是
10、M2,3a1x（1 ）求抛物线对应的函数表达式；（2 ）经过 C，M 两点作直线与 轴交于点 N，在抛物线上是否存在这样的点 P，使以点P，A ，C，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）设直线 与 y 轴的交点是 D，在线段 BD 上任取一点 E（不与 B，D 重合） ，经过3yxA， B，E 三点的圆交直线 BC 于点 F，试判断 的形状，并说明理由；AEF（4 ）当 E 是直线 上任意一点时， （3 ）中的结论是否成立？（请直接写出结论） 因动点产生的梯形问题例 8. （2007 北京西城模拟题，24 ，8 分）如图，在直角坐标系 x
11、Oy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C在 y 轴上，且 ， ，将OAC 沿 AC 翻折使点 O 落在坐标平面内的 B 点43OC3tanOAC处（1 ）求 B 点的坐标；（2 ）二次函数 的图象经过 O、B、A 三点，求这个二次函数的解析式；2yaxbc（3 ）在（2 ）中的二次函数图象上是否存在一点 P，使以 P、A 、B 、O 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由O B xyAMC13xyCO A例 9. （2010 上海市奉贤区中考模拟题，24 ，12 分）已知，矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 A 的坐标为 ，点 C 的坐标为
12、 ，直线 与边 BC 相交于点 D4,00,223yx（1 ）求点 D 的坐标；（2 ）抛物线 经过点 A，D，O，求此抛物线的表达式；2yaxbc（3 ）在这个抛物线上是否存在点 M，使以 O、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由思考题例 10.（2009 黄冈市，20，14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴正214089yx半轴的交点为 A，与 y 轴的交点为 B，过点 B 作 x 轴的平行线 BC，交抛物线于点 C，连结 AC现有两动点 P、Q 分别从 O、C 两点同时出发，点 P 以每秒 4 个
13、单位的速度沿 OA 向终点 A 移动，点 Q以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动，点 P 停止运动时，点 Q 也同时停止运动，线段 OC 与 PQ相交于点 D，过点 D 作 DEOA 交 CA 于点 E，射线 QE 交 x 轴于点 F设动点 P、Q 移动的时间为t（单位：秒） （1 ）求 A、B 、C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；（2 ）当 t 为何值时，四边形 PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；（3 ）当 时，PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；902（4 ）当 t 为何值时， PQF 为等腰三角形？请写出解答过程例 11.（2005 北京市，25,9 分）已知：在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 的图象与 x 轴交4ykx于点 A，抛物线 经过 O、A 两点2yaxbc（1 ）试用含 a 的代数式表示 b；（2 ）设抛物线的顶点为 D，以 D 为圆心，DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分若将劣弧沿 x 轴翻折，翻折后的劣弧落在D 内，它所在的圆恰与 OD 相切，求D 半径的长及抛物线的解析式；（3 ）设点 B 是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样的点 P，使得 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由43OA
