1、3.3 条件分布,当一个随机向量的部分分量的取值确定以后，我们考虑另外一些分量的分布问题，这就产生了条件分布的概念.例如：对二维随机变量（X,Y )（身高，体重），当身高（X )确定后，我们研究体重（Y )的分布.,随机变量X 的取值确定包括多种情况： X= x , X( a, b), X(,a)等，本节主要研究,二维随机变量（X,Y ) 当 X= x ，或Y= y 时， 另外一个分量的分布问题.,一 二维离散型随机变量的条件分布,定义1 设离散型随机变量( X,Y )的联合概率分布为,关于X和Y的边缘概率分布为,若对某一固定的 i ，若 则称,若对某一固定的 j ，若 则称,为在 X=xi
2、的条件下，随机变量Y 的条件分布.,为在 Y=yj 的条件下，随机变量X 的条件分布.,例1 把三个球等可能地放入编号为1,2,3 的三个盒子中,每盒可容球数无限. 记 X 为落入1号盒的球数,Y 为落入2号盒的球数,求(1)在Y = 0 的条件下，X 的分布律；(2)在X= 2 的条件下，Y 的分布律.,解: 先求联合分布，,其联合分布与边缘分布如下表所示,0 1 2 3,0 1 2 3,1/27 1/9 1/9 1/27 8/27 1/9 2/9 1/9 0 4/9 1/9 1/12 0 0 2/9 1/27 0 0 0 1/27 8/27 4/9 2/9 1/27 1,p j,pi,将表
3、中第一行数据代入得条件分布,(1),X,0 1 2 3,(2)当X = 2时，Y 只可能取0与1.,将表中第三列数据代入下式,得Y 的条件分布,Y,0 1,例2 一射手进行射击,击中目标的概率为 p(0p1),射击到击中目标两次为止.设以X 表示首次击中目标所进行的射击次数, 以Y 表示总共进行的的射击次数.试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律.,解,现在求条件分布律,由于,二 二维连续型随机变量的条件分布,当(X, Y)是二维连续型随机变量时 P(X=x)=0， P(Y=y)=0. 所以不能直接利用条件概率去定义条件分布.,X=x 可以理解为 xx X x. 由于x 0 时,定义2 若
4、 f (x,y) 在点(x, y)连续, f X (x)在点 x 处连续且 f X (x) 0, 则称,为X = x 时，Y的条件分布函数, 记作,此时，Y 是连续型随机变量，其密度函数,称为X=x 时，X 的条件概率密度函数.,Y = y 的条件下， X 的条件概率密度函数为.,类似地有 Y = y 时，X 的条件分布函数为,每一 f X (x) 0 的x 处，只要符合定义的条件,都能,定义相应的函数. 当f X (x) = 0 时，可定义,注意：（1） 仅是y的函数，x是常数，对,（2）类似于乘法公式,例3 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,求,解,r,x,-r
5、,边缘分布不是均匀分布！,非均匀分布,当 r x r 时, 这里 x 是常数，当X = x 时，,同理,均匀分布,当 r y r 时, 这里 y 是常数，当Y = y 时，,y,例4： 已知 ( X ,Y ) N(1, 2 ,12,22, ). 试求,解,同理,所以,二元正态分布的条件分布仍然是正态分布！,例5： 设 . 试求：,解,x,y,当0 y 1 时，,当0 x 1 时，,例6： 已知,试求：,解：当 f X (x) 0 时，即 0 x 1 时，,当 f X (x) = 0 时，f (x,y) = 0 . 故,x + y =1,0.5,0.5,0.5,说明,联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下,联合分布,2 二维正态分布,（1） 密度函数,（2） 边际分布,
