1、1 平面点集与多元函数,2 二元函数的极限,3 二元函数的连续,第十六章 多元函数的极限与连续,1 平面点集与多元函数,一 平面点集,三 多元函数的概念,一、平面点集,1. 邻域:,以点 X0 = (x0, y0)为中心, 以 为半径的圆内部点的全体称为 X0 的 邻域.,即,记 (X0, ) = U (X0, ) X0 , 称为 X0 的去心 邻域.,如图,U (X0, ), (X0, ),当不关心邻域半径时, 简记为U (X0 )和 (X0).,2. 内点:,设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)E, 若存在邻域 U(X0 , ) E , 则称 X0 为 E 的内点.,E 的全
2、体内点所成集合称为 E 的内部, 记为E0.,D = (x, y)| x2 + y2 1 ,如图,易知, 圆内部的每一点都是 D 的内点. 但圆周上的点不是 D 的内点.,又如 z = ln (x+y)的定义域 D = (x, y)| x+y 0,易见, 直线上方每一点都是D的内点. 即 D=D,但直线上的点不是D的内点.,3. 边界点:,设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)是平面上一个点. 若 X0的任何邻域 U(X0 , )内既有属于 E 的点, 又有不属于 E的点, 则称 X0 为 E 的边界点.,E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界. 记作 E.,如, 例1中定义域
3、D 的边界是直线 x +y = 0 上点的全体. 例2中定义域 D 的边界是单位圆周 x2 + y2 = 1上的点的全体. 如图,E 的边界点可以是 E 中的点, 也可以不是 E 中的点.,D,4. 开集,设 E 是一平面点集, 若 E 中每一点都是 E 的内点.,即 E E0, 则称 E 是一个开集.,由于总有 E0 E, 因此, E E0 E = E0,故也可说,比如, 例1中 D 是开集, (D = D0 ), 而例2中 D 不是开集.,若E = E0 , 则称 E 是一个开集.,规定, , R2为开集.,又比如, E 如图,若 E 不包含边界, 则 E 为开集.,若 E 包含边界, 则
4、 E 不是开集.,结论: 非空平面点集 E 为开集的充要条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点. 即 E 不含有 E 的边界点.,证:,必要性. 设 E 为开集, X E,由开集定义知 X 为 E 的内点. 故 X 不是 E 的边界点.,充分性. 若 E 中每一点都不是 E 的边界点.,要证 E 为开集.,X E,由于 X 不是 E 的边界点.,故必存在X的一个邻域U(X, ),在这个邻域 U(X, )内或者全是 E 中的点. 或者全都不是 E 中的点, 两者必居其一.,由于X E, 故后一情形不会发生.,因此, U(X, )内必全是 E 中的点. 故 X E0, 即, E E0 , 所以
5、E 是开集.,5. 连通集,设 E 是一非空平面点集, 若X ,YE. 都可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集.,如图,X,Y,E 连通,从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是连成一片的. E 中的点都可用折线连接.,例1, 2中的 D 都是连通集.,如图,6. 开区域(开域),设 E 是一平面点集.,比如, 例1中 D 是开区域.,如图.,从几何上看, 开区域是连成一片的, 不包括边界的平面点集.,若 E 是连通的非空开集, 则称 E 是开区域.,7. 闭区域 (闭域),若 E 是开域, 记,称为闭区域.,如图.,易见, 例2中的 D 是闭区域. 从几何上看
6、, 闭区域是连成一片的. 包括边界的平面点集.,(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.,8. 设 E R2, 若存在 r 0, 使 E U(O, r), 则称 E 为有界集. 否则称 E 为无界集.,易见, 例1中 D 是无界集, 它是无界开区域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界闭区域.,9. 聚点.,设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点. 若X0的任一邻域内总有无限多个点属于 E . 则称 X0 是E 的一个聚点.,从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点. 即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.,如图,1. 聚点定义也可叙
7、述为: 若 X0 的任一邻域内至少含有 E 中一个异于 X0 的点. 则称 X0 为 E 的 一个聚点. (自证).,2. E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E .,3. E 的内点一定是 E 的聚点.,4. 若 E 是开区域. 则 E 中每一点都是 E 的聚点.,即, 区域中的任一点都是该区域,的聚点.,邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义.,（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0, 0) 是聚点
8、但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,（4）n 维空间,实数 x,数轴点.,数组 (x, y),实数全体表示直线(一维空间),平面点,(x, y) 全体表示平面(二维空间),数组 (x, y, z),空间点,(x, y, z) 全体表示空间(三维空间),推广：,n 维数组 (x1, x2, , xn),全体称为 n 维空间，记为,n 维空间中两点间距离公式,设两点为,特殊地，当 n =1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,n 维空间中邻域概念：,区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,三 多元函数的概念,回忆,点集 D -定义域，,- 值域.,x、y -自变量，z -因变量.,1.二元函数的定义,与一元函数相类似，对于定义域约定：,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,例 求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,2.多元函数的概念,
