1、 第 页1山 西 建 筑 职 业 技 术 学 院 教 案第十三章 弯曲变形梁只满足强度要求是不够的。如果变形太大，也会因刚度不足而不能正常使用。第一节 梁的挠度和转角一、挠曲线及挠曲线方程y = f (x)梁的挠曲线方程或弹性曲线方程。二、挠度和转角 挠度 梁弯曲时，任一横截面的形心（即轴线上的各点）在垂直于 x 轴方向（即沿 y 轴方向）的线位移，称为该截面的挠度，用 y 表示。挠度规定为：向下为正。第 页2山 西 建 筑 职 业 技 术 学 院 教 案挠度的单位是 m、mm。常用 mm。 转角 梁弯曲时，任一横截面绕其中性轴相对于原来位置所转的角度，称为该截面的转角，用 表示。转角规定为：
2、顺转为正。转角的单位是度或弧度，常用弧度（rad） 。 转角方程 yxdtanf上式表明：梁任一横截面的转角等于挠曲线在该点的切线斜率，即转角等于挠曲线 y = f (x) 的一阶导数。我们把转角随截面位置变化的函数式 称为转角方程。关键是确定梁的挠曲线方程。第二节 梁的挠曲线近似微分方程为了求得梁的挠曲线方程，我们先来建立挠曲线的近似微分方程。第 页3山 西 建 筑 职 业 技 术 学 院 教 案在第十二章推导出了梁在纯弯曲时的曲率表达式 zEIM1等截面直梁纯弯曲时，M 和 为常数，曲率 是常1数。横力弯曲时，上式可以适用。不过，这时式中的弯矩 M 和曲率半径 都是随 x 变化的函数了。曲
3、率表达式为zEIxMx1从高等数学知识可知，平面曲线的曲率可以写作 232d1dxyx对于工程中常用的梁，变形均为小变形，转角 是dxy一个很小的量（例如 0.01rad） ， 是比 1 小的多的一2dxy个微量，可忽略不计，所以上式可近似地写为2d1xyx第 页4山 西 建 筑 职 业 技 术 学 院 教 案根据式(a) 和 (b)可得zEIxMxy2d上式中的正负号，取决于坐标系的选择和弯矩正负号的规定。弯矩 M(x)的正负号与挠曲线二阶导数 的正负号2dxy总是相反。因此上式应取负号，即或 zEIxxy2d xMyEIz上式（13-3）就是梁的挠曲线近似微分方程。是计算梁变形的基本方程。
4、只适用于弹性范围内的小变形情况。第三节 积分法计算梁的挠度和转角对于等截面直梁，抗弯刚度 为常数，M(x) 通常为zEIx 的函数，将式（ 13-3）两边积分一次可得到转角方程。第 页5山 西 建 筑 职 业 技 术 学 院 教 案（13-4 ） CxMyEIzd再积分一次，得到梁的挠曲线方程（13-5） DxxyIz d积分式中出现的积分常数 C、D 可通过梁的边界条件确定。所谓边界条件是指：梁产生弯曲变形时挠曲线上由变形相容条件确定的一些已知位移条件。用积分法计算梁的转角和挠度时基本步骤是： 建立坐标系，列出梁的弯矩方程。 对应各梁段的弯矩方程，列出挠曲线近似微分方程，并进行积分。 利用边
5、界条件确定积分常数。 确定转角方程和挠曲线方程，并按要求计算指定截面的转角和挠度或求最大转角、最大挠度等。例 13-1 例 13-2第 页6山 西 建 筑 职 业 技 术 学 院 教 案积分法求梁的变形时，积分常数的确定非常重要。而当梁受到较复杂的荷载时，在列弯矩方程时，段数增多，积分常数的个数也增多，运算过程比较繁琐。而求复杂荷载作用下梁的变形时用其它方法。如：下节介绍的叠加法、本书第二十章介绍的单位荷载法。作 业：13-1 a. b第 页7山 西 建 筑 职 业 技 术 学 院 教 案简要复习上节内容1. 梁的挠曲线近似微分方程。或 zEIxMxy2d xMyEIz2. 用积分法计算梁的转
6、角和挠度时基本步骤 列梁的弯矩方程。 列出挠曲线近似微分方程，并进行积分。 利用边界条件确定积分常数。 确定转角方程和挠曲线方程，计算指定截面的转角和挠度或求最大转角、最大挠度等。第 页8山 西 建 筑 职 业 技 术 学 院 教 案第四节 叠加法计算梁的挠度和转角用叠加法求挠度和转角的步骤是： 荷载分组。 查表 13-1 求梁在简单荷载作用下的挠度和转角。 叠加简单荷载作用下的各挠度和转角，求出复杂荷载作用下的挠度和转角。需要灵活使用表 13-1，才能查到梁的挠度和转角。根据类型查序号，分析变形找公式，代入参数求变形。例 13-3 第 页9山 西 建 筑 职 业 技 术 学 院 教 案例 1
7、3-4作 业：13-2 c d简要复习上节内容用叠加法求挠度和转角的步骤是： 荷载分组。 查表 13-1 求梁在简单荷载作用下的挠度和转角。 叠加简单荷载作用下的各挠度和转角，求出复杂荷载作用下的挠度和转角。第五节 梁的刚度校核与提高梁刚度的措施第 页10山 西 建 筑 职 业 技 术 学 院 教 案一、梁的刚度校核梁的刚度是指梁抵抗变形的能力。对挠度进行校核。梁的挠度容许值通常用许可挠度与梁跨长的比值作为标准。lf在土建工程中， 的值取 。lf2501 梁的刚度条件 lflymax 梁的刚度条件在工程中的应用三方面的应用：刚度校核、设计截面、计算许用荷载。通常在设计梁时是按强度条件计算截面或
8、许用荷载，按刚度条件进行校核。若刚度不满足要求时，再按刚度设计截面或求许用荷载。例 13-5 第 页11山 西 建 筑 职 业 技 术 学 院 教 案例 13-6二、提高梁刚度的措施 EIlyn系 数荷 载提高梁的刚度，应设法降低挠度。从以下几方面 改变荷载的作用方式在结构和使用条件允许的情况下，合理调整荷载的位置及分布情况，使梁的挠度减小。第 页12山 西 建 筑 职 业 技 术 学 院 教 案 减小梁的跨度或增加支承改变结构形式梁的挠度与其跨度的 n 次方成正比。因此，设法减小梁的跨度，将能有效地减小梁的挠度，从而提高梁的刚度。这里，减小跨度的方法主要是根据实际情况，在各种条件允许的情况下调整跨长或增加支承改变结构。 增大梁的抗弯刚度 EI而同类材料的弹性模量 E 值相差不大。所以，用高强度钢并不能显著提高梁的刚度。设法在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，使截面面积尽可能分布在远离中性轴的部位。如：优先采用工字形、箱形、环形、T 形等截面。作 业：13-4 5 7
