1、1力学（二） （供题者：程根宝 姚遐林）1、长为 L 的细绳一端固定于 O 点，如图所示，另一端拴一质量为 m 的小球，把线拉至最高点 A 以水平抛出，求当 v0为下列值时，小球运动到最低点 C 时线中的张力大小。 （1）v 0=2 （2） ggL解：（1） 由于 v0=2 大于作圆周运动最高点的最小速度 ，故小gL球做圆周运动。由机械能守恒得： 2201mvgL又 T-mg=m 故 T=9mgv（2）由于 小于作圆周运动最高点的最小速度 ，故小球开始做平抛运动。设20gLgL小球运动到 B 点时绳张紧，此时悬线与水平方向夹角为 ，由平抛运动规律有：Lcos =v0t L(1-sin )= g
2、t2 得 =0说明 B 与 O 在同一水平线上。此时 vBx= , vBy= 。1 20gL接着，由于绳子瞬时张紧，产生瞬时冲量，使小球水平冲量变为零，机械能损失。然后小球以的速度从召开始作圆周运动到 C 点，机械能守恒有： ,在最低点gL2 2211CBymL有：T-mg= , 故小球在最低点 C 时绳的拉力 T=5mgmvc22、如图所示，光滑水平面上物块 A 质量 mA=2 千克，物块 B 与物块 C 质量相同 mB=mC=1 千克，用一轻质弹簧将物块 A 与 B 连接，现在用力使三个物块靠近， A、 B 间弹簧被压缩，此过程外力做功 72 焦，然后释放，试问：（1）当物块 B 与 C
3、分离时， B 对 C 做功多少？（2）当弹簧被拉到最长时，物块 A 和 B 的速度各为多少？（3）当弹簧被拉到最长后又恢复到原长时，物块 A 和 B 的速度各为多少？（4）当弹簧再次被压缩到最短面后又伸长到原长时，物块 A 和 B 的速度各为多少？解答： （1）18J（2） v=2m/s 方向向右（3） vA=2m/s 方向向左 vB=10m/s 方向向右（4） vA =2m/s 方向向左 vB =10m/s 方向向右vA =6m/s 方向向右 vB =6m/s 方向向左AC B23、在光滑水平面上，有一质量 m1=20kg 的小车，通过一要几乎不可伸长的轻绳子与另一质量m2=25kg 的拖车
4、相连接，一质量 m3=15kg 的物体放在拖车的平板上，物体与平板间的动摩擦因数 =0.2。开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图所示，小车靠惯性以 v0=3m/s 的速度前进，求：（1）当 m1、 m2、 m3以同一速度前进时，其速度的大小。（2）物体在拖车平板上移动的距离。3 解：（1）取 1、2、3 研究 设三者共同速度为 v2032vv1/ms（2）先取 1、2 研究，它们的共同速度为 v10121m14/3vs又根据能量守恒 0.3sm4、2002 年 12 月 30 日凌晨， “神舟四号”飞船发射升空，飞船按预定轨道在太空飞行六天零十八小时（用 t 表示） ，环绕地球一百零八圈（用 n
5、表示） ，返回舱于 2003 年 1 月 5 日顺利返回地面。 “神舟四号”运行过程中由于大气摩擦等因素，会逐渐偏离预定的轨道，因此“神舟四号”先后进行了三次精确的“轨道维持” （通过发动机向后喷气，利用反冲校准轨道） 。设总质量为 m 的“神舟四号”飞船的预定圆形轨道高度为 h，当其实际运行高度比预定轨道高度衰减了 h 时，控制中心开始启动轨道维持程序，开始小动量发动机，经时间 t 后，飞船恰好重新进入预定轨道平稳飞行。地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g。（1）求“神舟四号”轨道离地面高度 h 的表达式（用题中所给的数据表示） ；（2）已知质量为 m 的物体在地球附近的万有引力势能 （
6、以无穷远处引力势能为2PmEr零， r 表示物体到地心的距离） ，忽略在轨道维持过程中空气阻力对飞船的影响。求在轨道维持过程中，小动量发动机的平均功率 P 的表达式（轨道离地面高度 h 不用代入（1）问中求得的结果） 。m1m2m334 答案：（1）234Rgthn（2）卫星的动能 EK=mv2/2=GMm/2r=R2mg/2r卫星的机械能为 E=EP+EK =-R2mg/2r由发动机做功 W=E2-E1 及 P=W/t 有RmgthAA5、质量为 M=4.0kg 的平板小车静止在光滑的水平面上，如图所示，当 t=0 时，两个质量分别为mA=2kg、m B=1kg 的小物体 A、 B 都以大小
7、为 v0=7m/s。方向相反的水平速度，同时从小车板面上的左右两端相向滑动。到它们在小车上停止滑动时，没有相碰，A、 B 与车间的动摩擦因素 =0.2，取 g=10m/s2,求：（1）A 在车上刚停止滑动时，A 和车的速度大小（2）A 、 B 在车上都停止滑动时车的速度及此时车运动了多长时间。（3）在给出的坐标系中画出小车运动的速度时间图象。5 解：（1）当 A 和 B 在车上都滑行时，在水平方向它们的受力分析如图所示：由受力图可知，A 向右减速， B 向左减速，小车向右加速，所以首先是 A 物块速度减小到与小车速度相等。设 A 减速到与小车速度大小相等时，所用时间为 t1，其速度大小为 v1
8、，则：v1=v0-aAt1 mAg=mAaB v1=a 车 t1 mAg- mBg=Ma 车 由联立得：v 1=1.4m/s t1=2.8s （2）根据动量守恒定律有：mAv0-mBv0=(M+mA+mB)v v=1m/s总动量向右， 当 A 与小车速度相同时，A 与车之间将不会相对滑动了。设再经过 t2 时间小物体 A 与 B、车速度A Bv0 v0O t/sv/m.s-11 2 3 4 512A Bv0 v0fA fBf车O t/sv/m.s-11 2 3 4 5124相同，则：-v=v1-aBt2 mBg=mAaB 由式得：t 2=1.2s 所以 A、B 在车上都停止滑动时，车的运动时间
9、为 t=t1+t2=4.0s （3）由（1）可知 t1=2.8s 时，小车的速度为 v1=1.4m/s，在 0t1 时间内小车做匀加速运动。在t1t2 时间内小车做匀减速运动，末速度为 v=1.0m/s,小车的速度时间图如图所示6、在光滑的水平面上，有一个长为 L 的木板 C， C 的两端各有一竖直的挡板，在木板 C 的中央处有两个长度均为 d 的物体 A 和 B， A 的质量为 mA，在 A、 B 之间安放微量炸药，并控制炸药爆炸只对 A、 B 产生沿木板 C 方向的水平冲力。开始 A、 B、 C 都静止， A、 B、 C 的质量之比为mA mB mC=149， A、 B 与 C 之间摩擦不
10、计。炸药爆炸产生能量为 E，其中一半转化为 A、 B 的动能。 A、 B 与 C 两端的挡板碰撞后便与 C 连成一体。求（1）炸药爆炸使 A、 C 相碰后 C 的速度；（2）从 A、 C 相碰后到 B、 C 相碰的时间内 C 的位移。7 解：（1）A、B 物理系统水平方向动量守恒 m AvA-mBvB=0 又由能量关系 vBA22解得 ， E5/4AmE5/41再考察 A、C 物体系统，水平方向动量守恒 CvvAACAvmv/10/（2）自 A、B 分离到 A、C 相碰历时 AvdLvdt 2/21时间 t1内 B 向右的位移 8/1ltvsBA、C 相碰时，B 与 C 右端的距离 8/232
11、dsdLB设从 A、C 相碰到 B、C 相碰的时间为 t2 ,则 AvvLt 14/5/2 故 t2内 C 的位移 832dLtsC8、如图所示，光滑轨道上，小车 A、B 用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在 A、B上然后使 A、B 以速度 v0沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A 的速度刚好为 0，已知 A、B 的质量分别为 mA、m B，且 mAmB求：（1）被压缩的弹簧具的有弹性势能 EP（2）试定量分析、讨论在以后的运动过程中，小车B 有无速度为 0 的时刻？解：（1）设弹簧第一次恢复自然长度时 B 的速度为 v B以 A、B 弹簧为系统动量守恒（m A
12、+mB）v o=mB vo (1) 机械能守恒：5（m A+mB）v o+Ep= mB vB2 (2) 211由（1） 、 （2）解出(3) 2)(oBAEp（2）设以后运动过程中 B 的速度为 0 时，A 的速度为 vA此时弹簧的弹性势能为 Ep用动 量守恒（m A+mB）v o=mB vo （4） 机械能守恒（m A+mB）v o+Ep= m4vA2 + Ep （5） 211由（4） 、 （5）解出（ 6）22)()( oABoBAvEpm AmBEp0 弹性势能小于 0 是不可能的，所以 B 的速度没有等于 0 的时刻9、一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为 ，在弹簧的上端与空心物体 A
13、 连mNk/4接，物体 B 置于 A 内， B 的上下表面恰与 A 接触，如图所示。 A 和 B 的质量均为 1kg，先将 A 向上抬高使弹簧伸长 5cm 后从静止释放， A 和 B 一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧形变大小（ g 取，阻力不计）求：2/0sm（1）物体 A 的振幅（2）物体 B 的最大速率（3）在最高点和最低点 A 对 B 的作用力解：（1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩 x 。xkgmBA)(cx5/开始释放时振子处在最大位移处，故振幅 A 为： A=5cm+5cm=10cm （2）由于开始时弹簧的伸长量恰等于振子在平衡位置时弹簧的压
14、缩量，故弹性势能相等，设振子的最大速率为 v，从开始到平衡位置，根据机械能守恒定律：2/mAgsv4.1即 B 的量大速率为 1.4m/s（3）在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，根据牛顿第二定律：2/0)(xkaBA6A 对 B 的作用力方向向下，其大小 为：1NgmaN101在最低点，振子受到的重力和弹力方向相反，根据牛顿第二定律：2/)()( smAxkBA 对 B 的作用力方向向上，其大小 为 ： 2NgamNB30210、如图所示，长木板 A 右边固定着一个挡板，包括挡板在内的总质量为 1.5M，静止在光滑的水平地面上.小木块 B 质量为 M，从 A 的左端开始以初速度 v0 在
15、 A 上滑动，滑到右端与挡板发生碰撞，已知碰撞过程时间极短，碰后木块 B 恰好滑到 A 的左端就停止滑动.已知 B 与 A 间的动摩擦因数为 ，B 在 A 板上单程滑行长度为 l.求：（1）若 l= ，在 B 与挡板碰撞后的运动过程中，摩擦力对木g6032v板 A 做正功还是负功？做多少功？（2）讨论 A 和 B 在整个运动过程中，是否有可能在某一段时间里运动方向是向左的.如果不可能，说明理由；如果可能，求出发生这种情况的条件.13 解：(1)B 与 A 碰撞后，B 相对于 A 向左运动，A 所受摩擦力方向向左，A 的运动方向向右，故摩擦力做负功.设 B 与 A 碰撞后的瞬间 A 的速度为 v
16、1,B 的速度为 v2, A、 B 相对静止后的共同速度为 v，整个过程中 A、 B 组成的系统动量守恒，有 Mv0=(M+1.5M)v,v= .50碰撞后直至相对静止的过程中,系统动量守恒,机械能的减少量等于系统克服摩擦力做的功，即Mv2+1.5Mv1=2.5Mv, 1.5Mv12+ Mv22- 2.5Mv2=M gl, 可解出 v1= v0(另一解 v1= v0 因小于 v 而舍去)3这段过程中，A 克服摩擦力做功 W= 1.5Mv12- 1.5Mv2= Mv02(0.068Mv02).47(2)A 在运动过程中不可能向左运动，因为在 B 未与 A 碰撞之前，A 受到的摩擦力方向向右，做加
17、速运动，碰撞之后 A 受到的摩擦力方向向左，做减速运动，直到最后，速度仍向右，因此不可能向左运动.B 在碰撞之后，有可能向左运动，即 v20.先计算当 v2=0 时满足的条件，由式，得v1= - ,当 v2=0 时，v 1= ，代入式，得 1.5M - 2.5M =M gl,303019420v15420v解得 gl= .5B 在某段时间内向左运动的条件之一是 l .gv1520另一方面，整个过程中损失的机械能一定大于或等于系统克服摩擦力做的功，即7Mv02- 2.5M( )22M gl, 解出另一个条件是 l ,150v gv203最后得出 B 在某段时间内向左运动的条件是 lgv1520320
