1、,三角形的边,古埃及金字塔,看一看: 观察下面几幅图中老师所指的部分有什么共同特点?,第七章 三角形,7.1与三角形有关的线段,7.1.1三角形的边,探究1:,下列哪些是三角形？,( 1 ),( 2 ),( 3 ),( 4 ),( 5 ),三角形的定义：由 的所组成的图形 叫三角形 。,不在同一直线上,三条线段,首尾顺次相接,想一想:什么叫三角形？,A,认 识 三 角 形,1、三角形的顶点：,分别是点A、点B、点C。,2、三角形的边：,分别是线段AB、,3、三角形的内角（简称角）：,分别是A、B、C。,B,C,线段BC、,线段CA。,三 角 形 的 表 示,三角形的表示：,A,B,C,表示为：
2、,用三个顶点字母表示。,或表示为:BAC或ACB。,ABC,读作：三角形ABC,ABC的三边,有 时也用a、b、c来表示. 一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c。,三角形边、角的表示,A,B,C,1、边的表示：,2、角的表示：,c,a,b,A、B、 C。,可用一个大写字母、,三个大写字母、希腊字母、数字表示。,线段AB、线段BC、线段CA。,图中的角应表示为：,思考：什么时候用三个大写字母表示？,学以致用:读出图中的各个三角形，并把它们的顶点、边和角表示出来。,D,B,A,C,1.图中有几个三角形？用符号 表示这些三角形。,2.以BD为边的三角形有哪些？,3.
3、以点A为顶点的三角形有哪些？,答：有 ABD 、BCD。,答：三个。分别是： ABD 、ABC、 DBC。,答：有 ABD 、ABC 。,活学活用：,探究2：,观察下列三角形的角，你有什么发现？,直角三角形,锐角三角形,钝角三角形,归纳,三角形,直角三角形,锐角三角形,钝角三角形,三角形按角分类,探究3：,观察下列三角形的边，你有什么发现？,不等边三角形,等腰三角形,等边三角形,等腰三角形,归纳,三角形,不等边三角形,等腰三角形,底和腰不相等 的等腰三角形,底和腰相等的 等边三角形,三角形按边分类,巩固,判断下列说法是否正确：,( ),探究4：,蚂蚁要从点去点觅食，请你帮忙选择最佳的路径。,A
4、,1.从A到B有几条路？,两条。,2.哪条路最近？为什么？,AB,AC,+,BC,两点之间线段最短。,BC,AB,+,AC,AC,AB,+,BC,能用简练的语言说一说这三边的关系吗？,小结：三角形中，任意两边之和大于第三边。,这三个式子同时存在,问题：,A,动手试一试：如何填下列空？,小结：三角形中，任意两边之差小于第三边。,BC,AB,AC,AC,AB,-,BC,AC,-,BC,AB,-,能用简练的语言说一说三边之间的关系吗？,（1）,（2）,（3）,这三个式子同时存在,归纳,三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。,A,B,C,c,a,b,如：AB+BCCA,c+ab,三角形三边
5、关系定理：三角形任意两边之差小于第三边。,如：AB-BCCA,c-ab,a - b c a + b,有人说，自己步子大，一步能走3米多，你相信吗？说说你的理由！,考考你！,答：不能。如果此人一步能走3米多，由三角形三边的关系得，此人两腿得长大于3米多，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多。,做一做！,有三根木棒长分别为3cm、6cm、 2cm，它们能否围成三角形？为什么？,你有什么更好的办法吗？,用两条小边之和与大边比较,用最大边减中边之差与最小边比较,巩固,下列长度的三条线段能否组成三角 形？为什么？ (1) 3cm、4cm、8cm （ ） (2) 11cm 、5cm、6 cm （ ）
6、 (3) 6cm、10cm、5cm （ ）,不能,不能,能,下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？,（1） 3cm，8cm，4cm （ ） （2） 6cm，5cm ，2cm （ ） （3） 5cm，6cm，10cm （ ） （4） 2cm，8cm ，5 cm （ ）,不能,能,能,不能,再练一练,4米,3米,5米,A,B,学校草坪弄不好就会走出一条小路来,其实我们离文明很近,4,学以致用,你能不能运用今天所学的知识解释这一现象?,C,能力提升：,在ABC中，若a =3，b=7，则第 三边c的取值范围是 。,既要考虑“两边之和大于第三边”， 又要考虑“两边之差小于第三边”,a - b c a
7、 + b,在ABC中，若a =3，b=7，则其周 长l的取值范围是 。,4 c 10,14 l 20,课堂小结：,三角形,定义,分类法,三边关 系定理,按边分类,按角分类,a - b c a + b,课后作业：,习题7.1 第1、2、7题,课本第69页,谢谢大家!,7.1.2 三角形的高 角平分线 和中线,请画一个三角形，并画出它的高。高线有何特点？,1. 高线的特点：,每个三角形都有三条高线,锐角三角形：,直角三角形：,钝角三角形：,三条高线相交于一点，交点在直角三角形的直角的顶点处,三条高线相交于一点，交点在三角形的内部,三条高线相交于一点，交点在三角形的外部,A,D,C,B,AD为BAC
8、的平分线， 你得到什么结论？,BAD =CAD,一个三角形有几条角平分线？,在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。,2。三角形的角平分线的定义：,AD是 ABC的 角平分线,动手试一试,任意画一个三角形， 然后利用量角器画 出这个三角形的三 条角平分线，你有 什么发现？,特点：三角形的三条角平分线相交于一点，角平分线和交点都在三角形内部。,如图：ABC中，D为BC中点，连结AD，你能根据此图得到哪些结论？,A,D,B,C,3。三角形的中线的定义：,AD是 ABC的 中线,BD = CD = BC,在三角形中，连接一个顶点与它对边 中点的
9、线段,叫做这个三角形的中线.,D,一个三角形有几 条中线？,动手试一试,任意画一个三角形， 然后利用刻度尺画 出这个三角形的三 条中线，你有什么 发现？,特点：三角形的三条中线相交于一点，中线和交点都在三角形内部。,注意：三角形的角平分线，中线，高都是线段。,拓广探索,如何把一个三角形分成4个面积相等的三角形,4.结论：三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形。,例1. 如图，AE是ABC的角平分线，已知B=45，C=60，求BAE AEB的度数：,例2.已知，CABC=18cm,BE,CF是边AC，AB的中线，BE,CF交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF=3cm,AE=2cm,
10、 求的BD长.,例3. ABC中, BD、CE是角平分线,BD与CE交于点I, A=54,C=40, 求BIC的度数. 若ABC=a，ACB=，探究BIC与A的关系并证明。,例4：已知，ABC中,D,E分别是BC,AD的中点，SABC=4，求SABE,练一练,1.已知如图，在ABC中， ACB=90，CE是ABC的 角平分线，CEB=110， 求A和B的度数。,2.已知ABC中, AB=AC ,BD为中线,点D将三角形的周长分为15cm,6cm 两部分.求ABC的各边长.,我们每天都在努力, AB=AC=10cm，BC=1cm AB=4cm,BC=13cm( 舍 ),知识回顾,1. 什么是三角
11、形的角平分线？,2. 什么是三角形的中线？,3. 它们都有什么性质？,7.1.3三角形的稳定性,那是四边形不稳定性的应用.,将四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后再扭动它,这时木架的形状还会改变吗?,思考,要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成两个三角形使它保持形状,那么要使五边形,六边形木架,七边形木架保持稳定该怎么办呢?,想一想,n-3,在多边形中，不相邻的两个顶点的连线段称为多边形的对角线，利用对角线，我们可以将不稳定的多边形变为稳定的三角形请问： （）从一个顶点出发，四边形可画 条对角线，五边形可画 条对角线，边形可画 条对角线,（）一个十二边形有 条对角
12、线,（）从（）中可知，一个边形实际上可画 条对角线,（）因为边形有个顶点，所以若可重复计算，总共可画 条对角线,1,2,n(n-3),54,一天数学小博士听到三角形和四边形在一起争论：具有稳定性好，好是没有稳定性好，且听它们是怎么说的： 三角形：“具有稳定性的我最好，因为我牢固，不易变形，所以我最受欢迎，不像你四边形，你没有坚定的立场！” 四边形：“灵活性强，可伸可缩，我的这些优点比起你三角形那呆板、简单、一成不变的形式不知有多优越！” 三角形：“我广泛应用于人类的生产生活中，如三角尺、钢架桥、起重机、屋顶的钢架，我的用途大！” 四边形：“我的用途广，像活动衣架、缩放尺、活动铁门等，人类的生活
13、因为我而丰富多彩！” 假如你是数学小博士，你会如何来调解他们的争论？,新人教版-七年级（下）-数学-第七章,7.2.1 三角形的内角,学习目标:,重点 ：,难点：,1、会阐述三角形内角和定理。 2、会应用三角形内角和定理进行计算；(求三角形的角的度数) 3、能通过动手实践去验证三角形的内角和定理。,1、能用多种方法证明三角形内角和定理 2、会在证明中添加合适的辅助线。,通过对三角形内角和定理内容的学习，会利用它解决生活实际中一些简单的有关角度计算的问题。,三角形两边的夹角叫做三角形的内角,三角形的内角,在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾
14、气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了”“为什么？”老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？,内角三兄弟之争,如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?,想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗?,思考与探索,三角形的三个内角和是多少?,把三个角拼在一起试试看？,你有什么办法可以验证呢?,从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?,180,实践操作,2,1,E,D,C,B,A,三角形的内角和等于1800.,延长BC到D，,于是CEBA,(内错角相等，两直线平行).,B=2,(两直线平行，
15、同位角相等).,1+2+ACB=180,A+B+ACB=180,在ABC的外部，以CA为一边，,CE为另一边作1=A，,证法一,2,1,E,D,C,B,A,三角形的内角和等于1800.,延长BC到D，,过C作CEBA，, A=1,(两直线平行，内错角相等),B=2,(两直线平行，同位角相等),1+2+ACB=180,A+B+ACB=180,证法二,F,2,1,E,C,B,A,三角形的内角和等于1800.,过A作EFBC，,B=2,(两直线平行,内错角相等),C=1,(两直线平行,内错角相等),2+1+BAC=180,B+C+BAC=180,证法三,C,B,E,A,三角形的内角和等于1800.,
16、过A作AEBC，,B=BAE,(两直线平行,内错角相等),EAB+BAC+C=180,(两直线平行,同旁内角互补),B+C+BAC=180,证法四,在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。,为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.,思路总结,(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?,（2）60， 40， 90,（3）30， 60， 50,（1）3， 150， 27,（是 ）,（ 不是）,（ 不是）,巩固练习,（1）在ABC中，A=35， B=43 则 C= . （2）在ABC中，
17、A :B:C=2:3:4 则A = B= C= .,（3）一个三角形中最多有 个直角？为什么？ （4）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？ （5）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？ （6）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为 .,102 ,80 ,60 ,40 ,60,2,1,1,应用新知,A,B,C,已知ABC中,ABCC=2A , BD是AC边上的高，求DBC的度数。,解：设Ax0，则ABCC2x0,x2x2x180,（三角形内角和定理）,解得x36,C2360720,DBC1800900720（三角形内角和定理）,在BDC中，BDC900 (三角形高的定义）,DBC180,?,例
18、题讲解1,如图,C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向。求下面各题.,（1）DAC_ DAB_ EBC_ CAB _,A,(2)从C岛看A 、B两岛的视角C是多少?,50,80,40,北,解： ADBE, DABABE180, ABE 180DAB, 180 80 100,在ABC中,C 180 CAB ABC, 18030 60 90, ABCABECBE,30 ,1004060,例题讲解2,D,C,E,北,A,50,B,40 ,北,M,N,在AMC中 AMC=90, MAC=50,解：过点C画MNAD分别交AD、BE于点M、N,1,2,例:如图,
19、C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向。,1=180 -90-50 =40, ADBE, AMC+ BNC =180 , BNC =90,同理得2 =50, ACB =180 -1 -2,=180 -40-50 =90,例题讲解2,B,你能想出一个更简捷的方法来求C的度数吗？,1,2,50,40,解： 过点C画CFAD 1DAC50 ,F, CFAD, 又AD BE, CF BE,2CBE 40 , ACB12 50 40 90 ,例题讲解2,解：在ACD中 CAD 30 D 90 , ACD =180 -30 -90 =6 0 ,在BCD中 CBD
20、 = 45 D 90 , BCD = 180 - 90-45 =45 , ACB = ACD - BCD = 6 0 - 45 ,巩固练习,1.如图,从A处观测C处时仰角CAD30,从B处观测C处时仰角CBD45.从C处观测A、B两处时视角ACB是多少?,2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( ),(A)带去 (B)带去 (C)带去 (D)带和去,C,巩固练习,3.ABC中,若ABC,则ABC是( ) A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形,4. 一个三角形至少有（ ） A、一个锐角 B、两个锐角
21、 C、一个钝角 D、一个直角,B,B,巩固练习,5. 如图ABC中,CD平分ACB,DEBC, A70,ADE50, 求BDC的度数.,解:,A70,ACB=180 -A-B,=180-70-50,=60,DE/BC,B=ADE50, CD平分ACB,巩固练习,甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？,甲,乙,450,？,450,16米,解:由题意知,A,B,C,BC=AB=16,答:两楼的距离是16米.,拓展与思考1,2、在中，如果= B= C，那么是什么三角形？,解:设A=x,那么B
22、=2x,C=3x,根据题意得:,解得,A=30,B=60,C=90,所以是直角三角形,拓展与思考2,小结,1、三角形的内角和：三角形三个内角之和为180,2、由三角形内角和等于180，可得出,(1)、直角三角形两锐角互余；,(2)、一个三角形最多有一个直角或钝角；,(3)、任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；,(4)、一个三角形中至少有一个角小于或等于60,3、三角形按角分类：,三角形,直角三角形,斜三角形,锐角三角形,钝角三角形,三角形的内角是三角形内部的骄子,什么都没有呀，让人感到很无奈,那三角形的外部呢？,只要你添上一笔就精彩了,外角,7.2.2 关注三角形的外角,那就让我
23、们,观察下面一组图形中 1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？,外角定义：,三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.,三个特征:1. 1的顶点在三角形的一个顶点上;2. 1的一条边是三角形的一条边;3. 1的另一条边是三角形的某条边的延长线,大家一起画一画,想一想: 1、每一个三角形有几个外角？ 2、每一个顶点处相对应的外角有几个？ 3、这些外角中有几个外角相等？ 4、三角形的每一个外角与三角形的三个内角有什么位置关系,画一个三角形，再画出它所有的外角。,归纳：,1、每一个三角形都有个外角;,2、每一个顶点相对应的外角都有个;,4、一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内
24、角和两个不相邻的内角。,3、这6个外角中有3个外角相等。,趁热打铁:你能在下图中填出已知角是哪个三角形的外角或内角吗？,1. BEF是（ ）的外角，也是（ ）的内角。,2. BDC是（ ）的外角，也是（）的内角。,3. BFC是（ ）的外角， 也是（ ） 的内角。,内外角是相对而言的.,内外角是相对而言的.,内外角是相对而言的,AEC,BEF、,BEC,ABD,BDC,、 CDF,BEF、 CDF,BFC,想一想：三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？,1.三角形的一个外角与它相邻的内角之间有何关系？,已知如图:ACD是ABC的外角，则 ACD与ACB有何关系？并说明理由?,ACD是A
25、BC的外角，(已知), ACD+ACB=180(邻补角性质),解:,三角形的一个外角与它相邻内角的和是180,答: ACD与ACB互补。理由如下：,即： ACD与ACB互补。,想一想：,动手长智慧：在一张白纸上任意画一个三角形ABC，如图2，把B、C剪下拼在一起，放到CAD上，看看会出现什么结果？,CAD=B+C,探究: 你能用推理的方法来论证ACD= B+ A吗？你能用几种方法呢？相信你一定能行！,D,D,ACD+ ACB=180,又A+ B+ ACB=180,A+ B= ACD,解：,ACD =180 ACB,A+ B =180 ACB,（邻补角的定义）,（三角形内角和180 ）,(等量代
26、换),方法一:,1,（CE/BA）,A,E,方法二：,擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同学证明一下。,C,B,D,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。,D,ACD= A+ B,ACDAACD B,结论：,3、三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小关系?,三角形外角的性质： 性质1、三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的 和。 B+C=CAD,性质2、三角形的一个外角大于任何 一个与它不相邻的内角。 CAD B， CAD C,学有所用,例1:如图，D是ABC的BC边上一点
27、， BBAD，ADC80,BAC=70. 求：（1）B的度数；（2）C的度数.,例题2：一个零件的形状如图所示，按规定BAC=90, B=21, C=20,检验工人量得BDC=130，就断定这个零件不合格，你能运用所学的知识说出其中的道理吗？,提示：可以先计算出合格时BDC的度数，但是BDC与A 、B、 C不在同一个三角形内，因而无法找到它们之间的数量关系，因此需要添加辅助线。那如何添加辅助线才能建立这几个角之间的联系呢？,例3 已知:如图6-14,在ABC中, 1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE. 求证: 12.,证明: 1是ABC的一个外角(已知), 13(三角形
28、的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角).,3是CDE的一个外角 (外角定义).,32(三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角)., 12(不等式的性质).,课堂反馈:,1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定,c,2.如图所示,若A=32,B=45,C=38,则DFE等于( ) A.120 B.115 C.110 D.105,B,3.如图所示,1=_.,120 ,4.已知等腰三角形的一个外角为150,则它的底角为_.,30或75,5.如图所示,A=50,B=40,C=30,则BDC=_.,120,
29、6.把图中1、 2、 3按由大到小的顺序排列,1,2,3,探究,如图，BAE，CBF，ACD是ABC的三个外角，你能利用三角形的内角和等于1800求出这三个外角的和吗？,这节课你有哪些收获?,小结,三角形的三个性质, 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。,三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。,三角形的一个外角与它相邻的内角,1、预习 P84-P86 2、P81 1-4、6题,三角形,人教版数学教材七年级下,7.3多边形及其内角和(1),（1）节日彩旗,（4）景点掠影,（3）墙砖,（2）地砖,（5）蜜蜂窝表面,欣赏图片:,（6）钟面边缘,浙江金华兰溪-诸葛八卦村布局精巧玄
30、妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。,想一想,生活中的平面图形,由这图形你抽象出什么几何图形？,三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形,既然我们已经知道什么叫三角形，你能根据三角形 的定义，说出什么叫四边形吗？,四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD,四边形,五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE,生活中的平面图形,生活中的平面图形,由这图形你抽象出什么几何图形？,生活中的平面图形,由这图形你抽象出什么几何图形？,一般地，由n条不
31、在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形,那么多边形的定义呢？,多边形的定义,下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范围内,注 意 我们现在研究的是如右图所示的多边形，也就是所谓的凸多边形,有什么不同？,凹多边形,凸多边形,关于多边形的几个概念,顶点,内角,边,对角线,1.如图所示，A、D、C、ABC是四边形ABCD的四个内角,3.CBE和ABF都是与ABC相邻的外角， 两者互为对顶角，四边形有八个外角.,既然三角形有三个内角、三条边，六个外角，那么四边形有几个内角？几条边？几个外角呢？,2.AB，BC，CD，DA是四边形ABCD的四条边,关于多边形的角,那
32、么五边形有几个内角？几条边？几个外角呢？,那么六边形有几个内角？几条边？几个外角呢？,那么n边形有几个内角？几条边？几个外角呢？,n边形有n个内角，n条边，2n个外角,六边形有6个内角，6条边，12个外角,五边形有5个内角，5条边，10个外角,关于多边形的角,请大家细心地填一填，多边形的内角，边，外角三者的关系表，你能发现什么规律？,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,n,n,6,8,10,12,14,2n,三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这样的三角形就叫做正三角形。,如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形.如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形
33、等等 .,正三边形,正四边形,正五边形,正六边形,正八边形,(或正三角形),(或正方形),关于特殊的多边形,连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.,线段AC是四边形ABCD的一条对角线； 多边形的对角线常用虚线表示。,关于多边形的对角线,四边形ABCD共有2条对角线。,试一试,请大家思考：五边形ABCDE共有几条对角线呢？,共有5条对角线,关于多边形的对角线,六边形ABCDEF共有几条对角线呢？,共有9条对角线,有没有什么 规律呢？,四边形从一个顶点出发，能引出_条对角线,五边形从一个顶点出发，能引出_条对角线,六边形从一个顶点出发，能引出_条对角线,n边形从一个顶点出发，能引出
34、_条对角线,1,2,3,n-3,四边形从一个顶点出发，能引出1条对角线 它把四边形分成了几个三角形？,五边形从一个顶点出发，能引出2条对角线？ 它把五边形分成了几个三角形？,关于多边形的对角线,课本P86的练习题，完 成后同学之间互相交流.,学习了本节课你有哪些收获？,1. P90，1,作 业,天空的幸福是穿一身蓝 森林的幸福是披一身绿 阳光的幸福是如钻石般耀眼,致我亲爱的同学们,老师的幸福是因为认识了你们 愿你们努力进取，永不言败,人教版数学教材七年级下,7.3多边形及其内角和(2),布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。,想一想,
35、浙江金华兰溪诸葛八卦村,你能算出八卦图的内角和吗？,你能算它的内角和吗？,它们的内角和该怎么计算呢？ 其他多边形的内角和呢？,想一想,你知道长方形和正方形的内角和是多少？其它四边形的内角和是多少？,你还记得三角形内角和是多少度？,（三角形内角和 180）,（都是360）,让我们从简单的多边形的内角和开始探索！,Why?,在探究四边形的内角和时，有的同学不是用量角器度量、计算得到，而是 按照如图所示，利用辅助线将四边形分割成两个三角形的方法，利用三角形内角和等于180，得到四边形内角和等于360。你能说明它的合理性吗？并且能否启发你借助辅助线找到解决其他多边形的方法吗？,四边形内角和,那么如何求
36、此五边形的内角和呢?,选捷径，我能行！,3 180 =5400,说说你的 探索思路？,从一个顶点出发添两条对角线，目的是把五边形分割成三个三角形，再利用三角形的内角和求得。,三角形,四边形,五边形,1800,2 180 = 3600,3 180 =5400,探索过程一掠:,六边形,七边形,4 180 =7200,5 180 =9000,那么六边形、七边形的内角和呢？,学一学,这种探索方法你掌握了吗？请完成下表,n-2,31800,41800,51800,(n-2)x1800,n,试一试 找规律,3,4,5,说明： 从n边形的一个顶点出发可以引 条对角线，这些对角线把n边形分成 个三角形,内角和
37、为 .,(n-3),(n-2),(n-2)x180,探索多边形的内角和,百家争鸣,其他方法,其他方案,我们也可以利用以上不同的方法分割多边形，得到n边形的内角和公式,照猫画虎,n边形内角和等于,最终结论,（n2） 180,2、已知一个多边形每个内角都等108 ，求这个多边形的边数？,解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得： (n2) 180=108n 解得：n=5 答：这个多边形是五边形。,1、八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？,（82) 180= 1080,(102) 180= 1440,抢 答,解：如图四边形ABCD中，,例1、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
38、,这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。,典型例题,求下列图形中x的值：,随堂练习,那么正五边形、正六边形、正八边形、正n边形的每个内角分别是多少度呢？, 正n边形,（5-2）1805=108,（6-2）1806=120,（8-2）1808=135,（n-2）180n,Now I can ,（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ （3）在上图中，你能求出1+ 2+ 3+ 4+ 5=吗？你是怎样得到的？,（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是 哪 个 角？,清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。,结论： 1， 2， 3， 4， 5的和
39、等于360,多边形 内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。,多边形的外角和等于360,如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？,多边形的外角和,各抒己见,多边形的外角和等于360,多边形 外角与内角有何关系？还有其他方法可以推导出多边形外角和？,多边形的任何一个内角加上与它相邻的内角都等于180（平角），n个外角连同它们的各自相邻的内角，共有n个180，总和为n 180 ，再用它减去n个内角的和，剩下的就是多边形的外角和了！,1.正五边形 的每一个外角等于_.每一个内角等于_,72,10
40、8,2.如果一个正多边形的一个内角等于120,则这个多边 形的边 数是_,6,3.如果一个正多边形的一个内角等于150,则这个多边形的边数是_,A.12 B.9 C. 8 D.7,A,3.如果一个多边形的每一个外角等于30,则这个多边形的边数是_,12,随堂练习,学习了本节课你有哪些 收获？,课后思考,1、小明在计算某个多边形的内角和时，由于 粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680 ，你能否求得正确结果呢？2、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。将一个多边形截去一个角后(没有过顶点）得到多边形的内角和将会（ ）A、不变 B、增加 180 C、减少 180 D、无法确定,人教版数学七年级下
41、册,第七章 三角形,7.4 课题学习 镶嵌,7.4 课题学习,镶嵌,七年组 于宝会,请您欣赏,7.4 课题学习,镶嵌,观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成的？拼接时有什么特点？,定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、没有重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌。,1. 不留空隙2. 没有重叠,特点:,今年，我校打算重新铺设教学楼大厅的 地面，采购员去建材商店选购地砖时，发现 可供选择的地砖形状有：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形，如果仅选 用一种多边形镶嵌，你有几种选择方式？请 您动手探索.,问题探究1：,观察拼接,拼接
42、在同一点的各个角的度数和是360,用多边形进行平面镶嵌的条件：,注意：相邻的多边形有公共边。,1、 正三角形的平面镶嵌,探究：正多边形的镶嵌,2、 正方形的平面镶嵌,探究：正多边形的镶嵌,3、 正六边形的平面镶嵌,探究：正多边形的镶嵌,为什么单独用正五边形拼不成地面？,因为正五边形的每个内角是108 不能组成360的角。,仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内角和为360,正三角形,正方形,正六边形,6,4,3,仅用一种正多边形进行平面镶嵌的只有三种图形,任意形状的同一种三角形能 进行平面镶嵌吗？ 任意形状的同一种四边形呢？,问题探究2：,结论：形状、大小完全相同 的
43、任意三角形能镶嵌成平 面图形。,结论：形状、大小相同 的任意四边形能镶嵌 成平面图形,课堂达标,你是最棒的！,1、形状、大小完全相同的任意三角形、四边形 能否单独作镶嵌 （ ） 2. 用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放 ( )个三角形;用任意四边形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放( )个四边形. 3、下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的是( ).,能,6,4,C,4、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ ）A、三角形 B、正方形 C、任意四边形 D、正八边形,5、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的 正方形的个数是（ ）A、 3 B 、4 C、5 D 、6,6、如果
44、只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的 每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ ）A、3 B、4 C、5 D、6,D,B,A,如果允许用两种正多边形组合起来镶嵌，由哪几种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？,问题探究3：,我们一起探讨吧！,1.正三角形与正方形 2.正三角形与正六边形 3.正四方形与八边形 4.正三角形与正十二边形,图案,(1)正三角形与正方形的平面镶嵌,每个顶点处三角形3个，正方形2个。,(2)正三角形与正六边形的平面镶嵌,图案（）,每个顶点处正三角形2个，正六边形2个,(2)正三角形与正六边形的平面镶嵌,图案（）,每个顶点处正三角形4个，正六边形1个。,(3)正四边形与正八边形的平面镶嵌,图案,每个顶点处正四边形1个，正八边形2个.,(4)正三角形与正十二边形的平面镶嵌,图案,每个顶点处正三角形1个，正十二边形2个.,如果允许用三种正多边形组合起来镶嵌，由哪几种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？,问题探究4：,正四边形、正六边形与正十二边形的平面镶嵌,图案,每个顶点处正方形1个，正六边形1个，正十二边形1个.,用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。,
