1、2019/4/28,1,5.4 关系模型和关系代数 5.4.1 关系模型,关系模型就是用二维表格结构来表示实体及实体之间联系的模型。 关系模型是各个关系的框架的集合，即关系模型是一些表格的格式，其中包括关系名、属性名、关键字等。 教师关系课程关系C 授课关系SC,2019/4/28,2,从各个关系的框架中，我们可以很容易看出哪两个关系之间有联系。例如： 教师关系和授课关系有公共的属性“教师号”，则表明这两个关系有联系。 而课程关系和授课关系有公共的属性“课程号”，则表明这两个关系也有联系。 至于元组之间的联系，则与具体的数据有关。只有在公共属性上具有相同属性值的元组之间才有联系。,2019/4
2、/28,3,由上例可以看出，在一个关系中可以存放两类信息： 一类是描述实体本身的信息 一类是描述实体（关系）之间的联系的信息 在层次模型和网状模型中，把有联系的实体（元组）用指针链接起来，实体之间的联系是通过指针来实现的。 而关系模型则采用不同的思想，即用二维表来表示实体与实体之间的联系，这就是关系模型的本质所在。 所以，在建立关系模型时，只要把的所有的实体及其属性用关系框架来表示，同时把实体之间的关系也用关系框架来表示，就可以得到一个关系模型。 如上例中的教师课程数据库的关系模型就是这样建立的。,2019/4/28,4,5.4.2 关系的性质,尽管关系与二维表格、传统的数据文件是非常类似的，
3、但它们之间又有重要的区别。 严格地说，关系是种规范化了的二维表中行的集合，为了使相应的数据操作简化，在关系模型中，对关系作了种种限制，关系具有如下特性：1. 关系中不允许出现相同的元组。,2019/4/28,5,2. 关系中元组的顺序（即行序）是无关紧要的,在一个关系中可以任意交换两行的次序。根据关系的这个性质，可以改变元组的顺序使其具有某种排序，然后按照顺序查询数据，可以提高查询速度。,2019/4/28,6,3. 关系中属性的顺序是无关紧要的,即列的顺序可以任意交换。交换时，应连同属性名一起交换，否则将得到不同的关系。 例如：关系T1作如下交换时，无任何影响,2019/4/28,7,而作如
4、下交换时，不交换属性名，只交换属性列中的值，则得到不同的关系，如下表:,2019/4/28,8,4. 同一属性名下的各个属性值必须来自同一个域：是同一类型的数据。5. 关系中各个属性必须有不同的名字：不同的属性可来自同一个域，即它们的分量可以取自同一个域。,2019/4/28,9,例如，有如下表中关系，职业与兼职是两个不同的属性，但它们取自同一个域职业教师，工人，辅导员。,2019/4/28,10,6. 关系中每一分量必须是不可分的数据项,或者说所有属性值都是原子的，即是一个确定的值，而不是值的集合。属性值可以为空值，表示“未知”或“不可使用”，即不可“表中有表”。 满足此条件的关系称为规范化
5、关系，否则称为非规范化关系。,2019/4/28,11,例如，在表1中，籍贯含有省、市县两项，出现了“表中有表”的现象，则为非规范化关系，而把籍贯分成省、市县两列，将其规范化，如表2所示。,2019/4/28,12,5.4.3 关系的码,一、候选码与主码 能唯一标识关系中元组的属性或属性集，则称该属性或属性集为候选码(Candidate Key)，也称候选键。如 “学生关系”中的学号能唯一标识每一个学生，则属性学号是学生关系的候选码。 在“选课关系”中，只有属性的组合“学号+课程号”才能唯一地区分每一条选课记录，则属性集“学号+课程号”是选课关系的候选键。,2019/4/28,13,2019/
6、4/28,14,下面给出候选码的形式化定义： 设关系R有属性A1，A2，An，其属性集K=（Ai，Aj，Ak），当且仅当满足下列条件时，K被称为候选码：1. 唯一性（Uniqueness）：关系R的任意两个不同元组，其属性集K的值是不同的。2.最小性（Minimally）：组成关系键的属性集（Ai，Aj，Ak）中，任一属性都不能从属性集K中删掉，否则将破坏唯一性的性质例如：“学生关系”中的每个学生的学号是唯一的，“选课关系”中“学号+课程号” 的组合也是唯一的。对于属性集“学号+课程号” 去掉任一属性，都无法唯一标识选课记录。,2019/4/28,15,如果一个关系中有多个候选码，可以从中选择
7、一个作为查询、插入或删除元组的操作变量，被选用的候选键称为主码(Primary Key)，或称为主键、关键字。 例如，假设在学生关系中没有重名的学生，则“学号”和“姓名”都可作为学生关系的候选键。如果选定“学号”作为数据操作的依据，则“学号”为主关系键。 主码是关系模型中的一个重要概念。每个关系必需选择一个主码，选定以后，不能随意改变。每个关系必定有且仅有一个主码，因为关系的元组无重复，至少关系的所有属性的组合可作为主码。,2019/4/28,16,二、主属性与非主属性,主属性（Prime Attribute）：包含在主码中的的各属性称为主属性。 非主属性（Non-Prime Attribut
8、e）：不包含在任何候选码中的属性称为非码属性。 在最简单的情况下，一个候选码只包含一个属性，如学生关系中的“学号”，教师关系中的“教师号”。 在最极终端的情况下，所有属性的组合是关系的候选码，这时称为全码（all-key）。,2019/4/28,17,下面是一个全码的例子：,假设图书馆有借书关系TCS，分别有三个属性读者编号（T）、图书编号（C）和借阅时间（S）。 在这种情况下，T，C，S三者之间是多对多关系，(T,C,S)三个属性的组合是关系TCS的候选码，称为全码，T,C,S都是主属性。,2019/4/28,18,三、外码（Foreign key）,如果关系R2的一个或一组属性X不是R2的
9、主码，而是另一关系R1的主码，则该属性或属性组X称为关系R2的外码或外部关系键。并称关系R2为参照关系(referencing relation)，关系R1为被参照关系(referenced relation)。,2019/4/28,19,因此，“学号” 属性是选课关系的外码。 学生关系为被参照关系 选课关系为参照关系,2019/4/28,20,由外部关系键的定义可知，被参照关系的主码和参照关系的外码必须定义在同一个域上。 如选课关系中的“学号”与学生关系的主码“学号”定义在同一个域上。,2019/4/28,21,关系数据库（Relation Database）,其型是关系模式的集合，即数据库
10、描述 其值是某一时刻关系的集合例如教学数据库中，共有五个关系，其关系模式分别 学生（学号，姓名，性别，年龄，系别） 教师（教师号，姓名，性别，年龄，系别） 课程（课程号，课程名，课时） 选课（学号，课程号，成绩） 授课（教师号，课程号）,2019/4/28,22,在每个关系中，又有其相应的数据库的实例 例如：与学生关系模式对应的数据库中的实例有如下6个元组：,2019/4/28,23,四、关系模型的完整性,为了维护数据库中数据与现实世界的一致性，对关系数据库的插入、删除和修改操作必须有一定的约束条件，这就是关系模型的三类完整性： 实体完整性 参照完整性 用户定义的完整性,2019/4/28,2
11、4,域完整性：规定了属性的值必须是域中的值，一个属性值能否为“空”由实际的应用语义决定 实体完整性：关系中的主关键字不能为空且主关键字的值不能相同，保证主关键字能唯一地标识关系中的每个元组 参照完整性：不允许引用数据库中不存在的外键数据，外键（或叫外部关键字）是指一个表中的某个属性是另一个表的主关键字。 应用语义完整性:保证数据库中的数据是有意义的 例如学生的年龄定义为两位整数，范围还太大，我们可以把年龄限制在1530岁之间：,2019/4/28,25,关系的完整性实例,修课表中不允许出现“学生”表中没有的学号，同时也不允许出现“课程”表中没有的课程号，修课表中“学号”的值是在学生表的“学号”
12、的值的子集。修课表中的“课程号” 的值也必须是课程表中“课程号”的子集。可以通过定义外键来实现，定义修课表中的学号是学生表的外键，修课表中的课程号是课程表的外键。注意是先有主关键字值，后有外键值,学生情况表,课程表,学生修课表,主关键字,2019/4/28,26,Relational Data Model 关系数据模型,2019/4/28,27,实体完整性和参照完整性是关系模型必须满足的完整性约束条件，系统都应该支持这两类完整性。 除此之外，不同的关系数据库系统由于应用环境的不同，往往还需要一些特殊的约束条件，这就是用户定义完整性。,2019/4/28,28,5.4.4 关系代数,关系模型与其
13、他模型相比，最有特色的是它的数据库语言。 这种语言灵活方便、表达能力和功能都很强。 目前关系数据库所使用的语言一般都具有定义、查询、更新和控制一体化的特点，而查询是最主要的部分。 所以说，关系数据库的核心部分是查询，故又称为查询语言，而查询的条件要使用关系运算表达式来表示。 因此，关系运算是设计关系数据语言的基础。 按表达查询的方法不同，关系运算可分为关系代数和关系演算两大类。,2019/4/28,29,一、 关系代数的分类及其运算符,关系代数是对关系进行集合代数运算，是基于关系代数的操作语言，称为关系代数语言，简称关系代数。 它是由IBM在一个实验性的系统上实现的，称为ISBL(Inform
14、ation System Base Language)语言。 ISBL的每个语句都类似于一个关系代数表达式。,2019/4/28,30,关系代数的运算对象是关系，运算结果也是关系，关系代数用到的运算符主要包括四类： 集合运算符：（并），-（差），（交），X（广义笛卡尔积）； 专门的关系运算符：(选择)，（投影），（连接），*（自然连接），（除）； 算术比较运算符：（大于），（大于等于），（小于），（小于等于），=（等于），（不等于）； 逻辑运算符：（与）,（或）,（非）,2019/4/28,31,关系代数的运算按运算符的不同主要分为两类：,传统的集合运算：把关系看成元组的集合，以元组作为集合中
15、元素来进行运算，其运算是从关系的“水平”方向即行的角度进行的。包括（并），-（差），（交），X（广义笛卡尔积）；专门的关系运算：不仅涉及行运算，也涉及列运算，这种运算是为数据库的应用而引进的特殊运算。包括(选择)，（投影），（连接），*（自然连接），（除）,2019/4/28,32,二、 传统的集合运算,传统的集合运算是二目运算 1. 并（Union） 关系R和关系S的并由属于R或属于S的元组组成，即R和S的所有元组合并，删去重复元组，组成一个新关系，其结果仍为n目关系。记作：RS=t|tRtS 对于关系数据库，记录的插入和添加可通过并运算实现。,2019/4/28,33,2019/4/28,
16、34,2. 差（Difference）,关系R与关系S的差由属于R而不属于S的所有元组组成，即R中删去与S中相同的元组，组成一个新关系，其结果仍为n目关系。记作：R-S=t|tRtS 通过差运算，可实现关系数据库记录的删除。,2019/4/28,35,2019/4/28,36,3. 交（Intersection）,关系R与关系S的交由既属于R又属于S的元组组成，即R与S中相同的元组，组成一个新关系，其结果仍为n目关系。记作：RS=t|tRtS 如果两个关系没有相同的元组，那么它们的交为空。 两个关系的并和差运算为基本运算（即不能用其他运算表达的运算），而交运算为非基本运算，交运算可以用差运算来
17、表示：RS=R-(R-S),2019/4/28,37,2019/4/28,38,4. 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）,两个分别为n目和m目关系R和S的广义笛卡尔积是一个（n+m）列的元组的集合，元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系R和关系S的广义笛卡尔积有k1*k2个元组，记作RS=trts| trR,tsS 关系的广义笛卡尔积可用于两关系的连接操作（连接操作将在一节中介绍）。,2019/4/28,39,广义笛卡儿积运算实例,2019/4/28,40,三、 专门的关系运算,由于传统的集合运算，只
18、是从行的角度进行，而要灵活地实现关系数据库多样的查询操作，必须引入专门的关系运算。在讲专门的关系运算之前，为叙述上的方便先引入几个概念。（1）设关系模式为R(A1,A2,An)，它的一个关系为R，tR表示t是R的一个元组，tAi则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量。,2019/4/28,41,（2）若A=Ai1,Ai2,，Aik，其中Ai1,Ai2,Aik是A1,A2,，An中的一部分，则A称为属性列或域列，则表示A1,A2,，An中去掉Ai1,Ai2,，Aik后剩余的属性组。tA=tAi1,tAi2,tAik表示元组t在属性列A上诸分量的集合。 （3）R为n目关系，S为m目关系，trR,
19、tsS,trts称为元组的连接(concatenation)，它是一个n+m列的元组，前n个分量为R的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。 （4）给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组，定义当tX=x时，x在R中的象集(image set)，为Zx=tZ|tR,tX=x,它表示R中的属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。,2019/4/28,42,样板数据库(学生-课程数据库),2019/4/28,43,1. 选取（Selection）,选取运算是单目运算，是根据一定的条件在给定的关系R中选取若干个元组，组成一个新关系，记作： F(R)=t|tRF(t)为真 其中，为选取运算符，F
20、为选取的条件，它由运算对象（属性名、常数、简单函数）、算术比较运算符（ ，=，）和逻辑运算符（ ）连接起来的逻辑表达式，结果为逻辑值“真”或“假”。 选取运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式为真的元组，是从行的角度进行的运算。,2019/4/28,44,2019/4/28,45,2019/4/28,46,2. 投影（Projection）,投影运算也是单目运算，关系R上的投影是从R中选择出若干属性列，组成新的关系，即对关系在垂直方向进行的运算，从左到右按照指定的若干属性及顺序取出相应列，删去重复元组。记作：A(R)=tA|tR 其中A为R中的属性列，为投影运算符。 从其定义可看出，投影运算是
21、从列的角度进行的运算，这正是选取运算和投影运算的区别所在。选取运算是从关系的水平方向上进行运算的，而投影运算则是从关系的垂直方向上进行的。,2019/4/28,47,2019/4/28,48,投影运算可以改变关系的属性次序,2019/4/28,49,例4 查询教师关系中有哪些系,SNO(SC) 结果如右图所示 由例4可以看出，投影后取消了某些属性列后，就可能出现重复行，应该取消这些完全相同的行。所以投影之后，不但减少了属性，元组也可能减少，新关系与原关系不相容。,2019/4/28,50,例2.8 查询选项了1课程的学生号,SNO(CNO=1(SC)结果如右图所示。 本例中选取运算和投影运算相
22、结合，先在选课表中选取满足条件的元组，再于SNO属性上进行投影。,2019/4/28,51,3. 连接（Join）,连接运算是二目运算，是从两个关系的笛卡尔积中选取满足连接条件的元组，组成新的关系。 设关系R（A1,A2,An）及S（B1,B2,Bm）,连接属性集X包含于A1,A2,An,及Y包含于B1,B2,Bm，X与Y中属性列数目相等，且相对应属性有共同的域。若Z=A1,A2An/X (/X:去掉X之外的属性) 及W=B1,B2Bm/Y,则 R及S可表示为R(Z,X)，S(W，Y),2019/4/28,52,关系R和S在连接属性X和Y上的连接，就是以RS笛卡尔积中，选取X属性列上的分量与Y
23、属性列上的分量满足给定比较条件的那些元组，也就是在RS上选取在连接属性X,Y上满足条件的子集，组成新的关系。新关系的度为n+m。,2019/4/28,53,记作： RS=t rts |trRtsStrXtsY为真XY 其中，是连接运算符，为算术比较运算符，也称连接； XY为连接条件； 为“=”时，称为等值连接； 为“”时，称为大于连接。 连接运算为非基本运算，可以用选取运算和广义笛卡尔积运算来表示： RS=xy(RS),2019/4/28,54,在连接运算中，一种最常用的连接是自然连接。 所谓自然连接就是在等值连接的情况下，当连接属性X与Y具有相同属性组时，把在连接结果中重复的属性列去掉。即如
24、果R与S具有相同的属性组Y，则自然连接可记作： R*S=t rts |trRtsStrY=tsY 自然连接是在广义笛卡尔积RS中选出同名属性上符合相等条件元组，再进行投影，去掉重复的同名属性，组成新的关系。,2019/4/28,55,例2.9 如图2.9(a)、(b)所示的两个关系R与S，(c)为R和S的大于连接（CD），(d)为R和S的等值连接（C=D），(e)为R和S的等值连接（R.B=S.B），(f)为R和S的自然连接。R S(a) (b),2019/4/28,56,大于连接（CD） 等值连接（C=D）(c) (d),2019/4/28,57,等值连接(R.B=S.B) 自然连接 (e)
25、 (f)图2.9 连接运算举例,2019/4/28,58,结合上例，我们可以看出等值连接与自然连接的区别：1. 等值连接中不要求相等属性值的属性名相同，而自然连接要求相等属性值的属性名必须相同，即两关系只有在同名属性才能进行自然连接。如上例R中的C列和S中的D列可进行等值连接，但因为属性名不同，不能进行自然连接。,2019/4/28,59,2. 等值连接不将重复属性去掉，而自然连接去掉重复属性，也可以说，自然连接是去掉重复列的等值连接。如上例R中的B列和S中的B列进行等值连接时，结果有两个重复的属性列B,而进行自然连接时，结果只有一个属性列B。,2019/4/28,60,例2.10 查询讲授数
26、据库课程的教师姓名。 TN(CN=数据库(C)*TNO,CNO(TC)*TNO,TN(T)或 TN(TNO(CN=数据库(C)*TC)*TNO,TN(T) 结果如右图所示。,2019/4/28,61,4. 除法(Division),除法运算是二目运算，设有关系R（X，Y）与关系S（Y，Z），其中X，Y，Z为属性集合，R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但对应属性必须出自相同的域。关系R除以关系S所得的商是一个新关系P（X），P是R中满足下列条件的元组在X上的投影：元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合。记作： RS=trX|trRy(S)Yx 其中，Yx为x在R中的象集，x= t
27、rX。 除法运算为非基本运算，可以表示为： RS=x(R)x(x(R)SR),2019/4/28,62,除(Division),象集：给定一个关系R(X, Y)，X和Y为属性组。当tX=x时，x在R中的象集为：Yx=tY| tR, tX=x 除：给定关系R(X, Y)和S(Y,Z)，其中X，Y，Z 为属性组。R中的Y和S中的Y可以有不同的名字，但必须取自同一个域，R与S除得到一个新关系P(X), P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合。记作：R S=trX| trRy(S) Yx,2019/4/28,63,象集,(a1,b1)的象,(a1,b2)的象,(a4,b5)的象,X,Y,2019/4/28,64,除,X,Y,(a4,b5),=,Y,R上分量值X 的象集Yx包含S在Y上的投影,2019/4/28,65,关系除法运算的步骤,将被除关系属性分为象集属性和结果属性 对象集属性进行投影目标数据集 将被除关系分组：结果属性值一样的元组分为一组 找出结果集,2019/4/28,66,除运算实例,=,选课,必修课,选择了所有必修课表 中的课程的学生的学号和成绩,
