1、1,4.1 不定积分的概念与性质. 4.2 基本积分公式和直接积分法. 4.3 换元积分法和分部积分法. 4.4 定积分的概念及其性质. 4.5 定积分的计算. 4.6 定积分的应用 4.7 广义积分,第四章 积分及其应用,2,4.1 不定积分的概念与性,主要内容: 1.不定积分的概念. 2.不定积分的性质. 3.不定积分的几何意义.,3,一、不定积分的概念,1、引例 2、原函数概念 3、原函数存在定理 4、不定积分概念 5、不定积分的例子,4,1、引例 已知自由落体的运动速度 v =gt，求自由落体的路程公式,由导数的力学意义可知，速度,联想到,并且常数的导数为0所以,于是路程为,又当 t
2、= 0 时 s(0) = 0 ，代入上式得 C = 0 ，,故所求的路程公式为,解,设自由落体的路程为,5,该物理问题是已知速度求路程抽象为数学问题，就是已知导数求原来的函数，这是求导数的逆运算这里需要解决两个问题：,一是逆运算是否存在？,二是如果逆运算存在的话，结论有几个？,现在就来围绕这两个问题解决求导数（或微分）的逆运算问题,就引例引出的思考：,6,设函数 f (x)在区间I上有定义，若存在函数F(x) ，使得对于I上的任一点 x ，都有,则称函数F(x)为f (x)在I上的一个原函数,由于常数 C 的导数是0，因此若一个函数有原函数，那么它就有无穷多个原函数。,设F(x)是f (x)的
3、一个原函数，则 F(x)+C (C是任意常数)都是 f (x)的原函数，而且只F(x)+C 才是f (x)的原函数。,2、原函数概念,定义1,7,某区间上的连续函数一定存在原函数,3、原函数存在定理,由于初等函数在其有定义的区间上是连续的，因而初等函数在其有定义的区间上存在原函数,定理1,8,设 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全体原函数 F(x) +C 称为 f (x)的不定积分，记为:,即,4、不定积分概念,定义2,9,因为,所以,5、不定积分的例子,例1,解,10,当 x 0时，,所以,当 x 0 时，,所以,因此，不论 x 0 或 x 0，都有公式,例2,解,11,
4、二、 不定积分的性质,求不定积分与求导数(或微分)互为逆运算，即有：,可见，微分号与积分号相遇时可以抵消，但先微分后积分，最后需加任意常数C.,12,解,两边同时求导，,得 f (x) = 2 x,从而有,故所求不定积分为,例3,13,三、不定积分的几何意义,函数f (x)的原函数 F(x)的图象称为f (x)一条积分,曲线,不定积分,表示全体原函数 F(x) + C,所以不定积分,在几何上表示曲线y = F(x),沿 y 轴上下平移|C|个单位而得到的一族积分曲线。,由性质（1）可知，这一族积分曲线上相对于同一横坐标x0 的点的切线斜率相等，即这些切线互相平行。,14,x0,几何意义图示,1
5、5,求过点（0,0）,且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值,求此曲线.,设所求曲线为yf (x),(x,y)为曲线上任一点，,由此可求得,又曲线过点（0,0）,代入上式得C=0，于是所求的曲线为,y = sin x,若要求出积分曲线族中的一条特定曲线，就必须另外附加条件，根据这个条件确定积分常数C 的值，就可以求出所需曲线。题中的“曲线过点（0, 0）”就是这个附加条件。,例4,注意：,由导数的几何意义可知,解,16,1、原函数,在某区间上，若F(x) = f (x)，则称 F (x)是 f (x)的一个原函数。 且 f (x) 的原函数有无穷多个， F (x)+C 是 f (x) 的全体原函数。,2、不定积分,f (x) 的不定积分即 f (x) 的全体原函数 F(x)+C ，即,求 f (x) 的不定积分是先求 f (x) 的一个原函数F (x)再加任意常数C。求不定积分和求导数是互为逆运算，可以用求导来检验积分结果的正确性。,四、小结,17,3、不定积分的几何意义,f (x) 的原函数F (x)的图象称为 f (x)的一条积分曲线，,在几何上称为 f (x)的积分曲线族，族中的曲线上,相对于同一横坐标的点的切线斜率相等，即切线,不定积分,互相平行。,18,作业： 习题4.1,
