1、第三节 高斯定理,高斯定理是静电场的一个重要定理，它是关于电场中闭合曲面电通量的定理，在讨论这个定理之前先介绍电通量的概念。,一、矢量场与电通量,通量是描述矢量场性质的一个物理量，流体力学中流量的概念是大家熟知的，我们就从流量来引入通量的概念，,由矢量描述的物理场，称为矢量场；用标量描述的物理场，则称为标量场。,如图所示，在流速场中（在流体力学中，速度v是一个矢量函数，整个流体是一个速度场） ，取一微小面元s,n为面元s的法线方向的单位矢量.,单位时间内流过S的流体体积叫做S的通量，由于S很小，可以认为其上各点的流速v处处相等。单位时间内通过S的流体体积，它在数值上等于以S为底以v为母线的柱体
2、体积，即,（称为矢量 对面元 的通量）,将上面通量的定义推广到任意矢量场 ，则,即场强 与面元 在场强方向的投影的乘积就是面元的电通量。,下面，我们对电通量作进一步的讨论 （1）电通量是代数量。场强 和面元矢量 的夹角之不同，电通量有正、负。,（2）电通量是场强 在曲面上的积分量，它不仅与场强有关，还与曲面的大小、方向有关，因此，它不是点函数，只能说某曲面的电通量，不能讲某点的电通量。,（3）如果是有限曲面S，则面上各点场强大小和方向一般是不同的，这时可以把此曲面分成无限多个面元ds,整个曲面S的电通量 就是所有面上的电通量的代数和，即面积分为,如果是封闭曲面，则其电通量为,二、 高斯定理,如
3、何实际地计算电场中任一曲面，尤其是闭合曲面的电通量呢？1839年，德国科学家高斯在这方面作了重要工作，高斯定理可以表述为：静电场中任意闭合曲面s的电通量e，等于该曲面所包围的电荷的代数和qi除以0，与闭合面外的电荷无关。这里s通常是一个假象的闭合曲面，习惯上叫高斯面。其数学形式为：,（1）包围点电荷 q 的同心球面的电通量都等于,以正点电荷q所在处为中心，任意半径r作一球面，根据库仑定律，球面上场强具有球对称性，在球面上任取一小面元ds，其外法线矢量n也是沿半径方向向外的，即n与E 的夹角为0，,高斯定理的证明：（根据库仑定律和场强叠加原理从特殊到一般，分几步来证明这个定理。）,因此通过整个闭
4、合球面的电通量为：,当点电荷为负时（q0），球面上各点场强方向与该点所在面元法线方向相反，整个球面的电通量为负，所以上式仍然成立。这一结果的重要性在于，电通量e与球面半径r无关。,需补充一点数学知识立体角,平面角:一个园，其半径为r，弧长为 那么平面角为：,整个圆周所张的角：,（2）包围点电荷q的任意闭合曲面的电通量都等于,对于两个同心圆，半径不同，弧长也不同，但可对应同一个平面角，即,（与半径r的选择无关）,立体角：,一个球面上的面元 ds，对球心所张的角，在空间包围一定的范围，可想象为一个锥体的“ 顶角 ”，用 表示，仿照度量平面角的方法，即,（与半径r的选择无关）,（4）多个点电荷的场,
5、总通量为：,注意： a) Gauss定理与库仑定律不是两个独立的物理定律，只是用不同的方式表达同一定律，Gauss定理取决于相互作用平方反比的性质，还取决于作用的迭加性质，它揭示了场与场源间的联系，是库仑定律的逆定律。b) 高斯定理只告诉我们，闭合面的总通量仅由面内的电荷决定的，并没有说面上各点的场强仅由面内的电荷产生。 场强 仍应理解为所有电荷（包括闭合面外的电荷）的总场强，要注意区别的通量和本身。,三、高斯定理的应用举例：,能够直接运用高斯定理求出场强的情形，电场的分布必须具有一定的对称性。,例1 求无限长均匀带电导线（电荷线密度为）的场强。 分析：场的分布有怎样的对称性？高斯面怎样作？,
6、通过Gauss面的通量为：,由Gaussian theorem可得,写成矢量形式，即为:,例2 求无限大均匀带电平面的场强，电荷面密度为。 分析：场的分布具有怎样的对称性？高斯面怎样作？,通过Gauss面的通量为：,由Gaussian theorem可得,写成矢量形式，即为,利用上面的结果请同学们思考：两带等量异号电荷 相互平行的无限大平面之间的场强为 ，外部场强为为O。,例3 求均匀带电球面内外的场强分布，球面半径为R，所带电量为q。,类似分析：,例4电荷电量均匀分布于半径为的球体内，求其场强的分布？ 解答：设球体内为区，球外为区。场强分布具有球对称性：空间任一点的场强方向必沿半径方向.在球
7、内距球心距离为r处取一点P，取高斯面为半径 r (rR)的球面 S1 ，则由高斯定理可得：,设Q为球体外一点，距球心距离为r，取高斯面为半径 r (rR)的球面 S 2，则由高斯定理可得：,总结：利用高斯定理的关键在于对称性分析，其次是高斯面的选取，一般做法：高斯面的各个部分或者与 平行，或者与 垂直；与 垂直的那部分高斯面上，各点的场强应相等。虽然这样的带电体系并不多，但在几个特例中得到的结果都是很重要的。这些结果的实际意义往往不限于这些特例本身，很多实际的场合都可用它们来作近似的估算。利用高斯定理求场强， 只体现这个定理重要性的一个方面，更重要的意义在于它是静电场两个基本定理之一。高斯定理
8、一个方面揭示了静电场的性质有源场.,从各种带电体的电力线的共同特征，可以归纳出静电场的电力线有如下一些性质： 性质一:电场（力）线疏的地方场强弱，密的地方场强大。 性质二:任意两条电场（力）线不相交。 性质三：电场（力）线发自正电荷（或无限远），终止负电 荷（或无限远），在无电荷处不中断。（高斯定理） 性质四:电场（力）线不能构成闭合曲线。（环路定理） 注意:电场（力）线是人们为了形象地表示出电场的强弱和方向而引入的，它不是电场中实际存在的线，更不要认为电力线是电荷在电场中的运动轨迹，这是因为电力线的切线方向是电荷受力的方向不是运动速度的方向。,四、电场（力）线的性质,作业1：电荷电量均匀分布于内外半径为1和R2的球壳上，求其场强的分布？并作出Er的分布图。,作业2： P90: 16题； 17题,
