1、3.2.6 解三对角方程组的追赶法,如果矩阵A满足,以下先以gauss消元法导出三对角方程组的解法,设,经过n-1消元以后,再依次回代回去就可以求解了：,3.3 迭代法,对于变量个数不多的方程组直接法是很有 效的求解方法，但由于采用直接方法在多次消 元、回代的过程中，四则运算的误差积累与传 播无法控制，致使计算结果精度也就无法保证。 对此这里先将介绍另一种数值解法：迭代法。,根据所给的方程组AX=b ，设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一个初始向量 ，按照一定的迭代公式产生一个向量序列 ，当收敛时，其极限即为原方程组的解。,迭代法的基本思想,3.3.1、迭代（解）法的一般形式,基本思想：设有
2、方程组：Ax=b，其中A为非奇异矩阵。,方程组的等价变换：,初始向量的选取：,迭代向量的构造 ：,迭代序列的收敛性：,主要方法：雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法以及超松弛迭代法,迭代方法求解方程的根,例1 求解线性方程组,矩阵形式：,解：有精确解,首先将Ax=b转化为等价方程组,分析有什么特点？,迭代公式,如果取初始向量,数值解,精确解,并不是每一个迭代公式所构造的迭代序列都收敛。于是，计算方法的目的就是要寻求一个使得构造收敛序列的方法。因此，产生了各种各样的迭代方法，根据迭代矩阵的不同构造方法，形成了不同的迭代方法。这里介绍两种迭代方法： 雅可比迭代方法、高斯-塞德尔迭代方法以及超松弛迭代方
3、法。,迭代结果分析,1、雅可比迭代公式,从第i个方程,中分离出xi，得到等价的方程组,雅可比迭代公式,控制迭代结束的实用标准：,解向量,其中是指定的精度要求。,2.Jacobi迭代法的矩阵形式,记：,则,等价于,即：,由于：,迭代格式,令：,则有迭代格式：,雅可比迭代法框图,例 用雅可比迭代法求解方程组,精度要求为=0.005。,解 等价的方程组为,构造雅可比迭代公式,计算结果:,迭代计算,所以x=x(5)满足精度要求，得 x1=0.999 90 , x2=0.99974 , x3=0.999 81,3.3.3、高斯-塞德尔迭代公式(G-S),雅可比迭代公式,思想：设想把x1(k+1) 算出后
4、立即代替x1(k)用于后面分量的计算，当x2(k+1)算出后立即代替x2(k)用于后面分量的计算，期望这样会收敛得快些。,高斯-赛德尔(Seidel)迭代公式,Gauss-Seidel迭代法的计算过程如下：,例,解,用高斯-赛德尔迭代法求解方程组,方程组化为等价的方程组,迭代计算：,(7+20.9+0)/10 = 0.88,(4+0.88)/5 = 0.976,(4+0.99712)/5 = 0.99942,(9+0.976)/10 = 0.9976,(7+20.9976+0.976)/10 = 0.99712,高斯-赛德尔迭代公式,0.9,计算结果:,x1=0.999 94 , x2=0.999 93 , x3=0.999 99,故x(3)即为满足精度的近似解，得,2.gauss_seidel 矩阵的形式,我们知道,可以解出：,故,gauss_seidel 矩阵的迭代形式,5 松弛法,换个角度看Gauss - Seidel 方法：,其中ri(k+1) =,余项,相当于在 的基础上加个余项生成 。,其中ri(k+1) =,通过选取,实现迭代的加速,
