1、,练习课,一、复习：,1、相似三角形的定义是什么？,答：,对应角,相等，,对应边,成比例,的两个三角形叫做相似三角形.,2、判定两个三角形相似有哪些方法？,答：,A、用定义；,B、用预备定理；,C、用判定定理1、2、3.,D、直角三角形相似的判定定理,3、相似三角形有哪些性质,1、对应角相等，对应边成比例 2、对应角平分线、对应中线、对应高线、对应周长的比都等于相似比。 3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。,一.填空选择题: 1.(1) ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AED= B，那么 AED ABC，从而(2) ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED， 则 AED
2、与 ABC的相似比为_. 2.如图，DEBC, AD:DB=2:3, 则 AED和 ABC的相似比为. 3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为_cm. 4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D, 使ABC BDC, 则DC=_.,AC,2:5,5,2cm,1:2,5. 如图，ADE ACB,则DE:BC=_ 。 6. 如图，D是ABC一边BC上一点，连接AD,使 ABC DBA的条件是（ ）.A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:ADC. AB2=CDBCD. AB2=BDBC 7.
3、 D、E分别为ABC 的AB、AC上 的点，且DEBC，DCB= A， 把每两个相似的三角形称为一组，那 么图中共有相似三角形_组。,1:3,D,4,二、证明题： 1. D为ABC中AB边上一点，ACD= ABC.求证：AC2=ADAB.2. ABC中, BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.求证： MAD MEA AM2=MD ME3. 如图，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO EC.,4. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG
4、.5. ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .求证： ADE ABC（用两种方法证明）.6. 已知在ABC中，BAC=90，ADBC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.求证: AB:AC=DF:AF.,解:AED=B, A=AAED ABC（两角对应相等，两三角形相似）,1.(1) ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AED= B，那么 AED ABC，从而,解 :D、E分别为AB、AC的中点DEBC，且 ADEABC即ADE与ABC的相似比为1:2,(2) ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE， 则 ADE与 ABC的相似比为_,2.,解: DEBCADEABCAD
5、:DB=2:3DB:AD=3:2(DB+AD):AD=(2+3):3即 AB:AD=5:2AD:AB=2:5即ADE与ABC的相似比为2:5,如图，DEBC, AD:DB=2:3, 则 AED和 ABC 的相似比为.,3.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为_cm.,解: 设三角形甲为ABC ，三角 形乙为 DEF，且DEF的最大 边为DE，最短边为EF DEFABC DE:EF=6:3 即 10:EF=6:3 EF=5cm,4.,等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在 腰AC上取点D, 使ABC BDC, 则DC=_
6、.,解: ABC BDC即 DC=2cm,5.,解: ADEACB且,如图，ADE ACB, 则DE:BC=_ 。,6. D、E分别为ABC 的AB、AC上的点，DEBC，DCB= A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_组。,解: DEBCADE= B,EDC=DCB=A DEBCADE ABC A= DCB, ADE= BADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA= DCE, A= EDC ADC DEC,7. D为ABC中AB边上一点，ACD= ABC.求证：AC2=ADAB,分析:要证明AC2=ADAB，需要先将乘积式改写为比例式 ，再证明
7、AC、AD、AB所在的两个三角形相似。由已知两个三角形有二个角对应相等，所以两三角形相似，本题可证。,证明: ACD= ABCA = A ABC ACD AC2=ADAB,8. ABC中， BAC是直角，过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.求证： MAD MEA AM2=MD ME,分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是 MAD 与 MEA 的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。,证明：BAC=90M为斜边BC中点AM=BM=BC/2 B= MAD 又 B+ BDM=90
8、E+ ADE= 90BDM= ADE,B=E MAD= E 又 DMA= AME MAD MEA, MAD MEA即AM2=MDME,9. 如图，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO EC.,分析：欲证 ED2=EOEC，即证：，只需证DE、EO、EC所在的三角形相似。,证明： ABCD C=A AO=OB，DF=FB A= B， B= FDB C= FDB又 DEO= DEC EDCEOD ，即 ED2=EO EC,10. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG .,分析：要证明
9、EA2 = EF EG ，即 证明 成立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：AEDFEB， AEB GED.,证明： ADBF ABBCAED FEB AEB GED,11. ABC为锐角三角形，BD、CE为高 . 求证： ADE ABC（用两种方法证明）.,证明一：BDAC，CEABABD+A=90， ACE+A= 90 ABD= ACE又 A= A ABD ACE A= A ADE ABC,证明二： BEO= CDO BOE=COD BOE COD 即 又 BOC= EOD BOC EOD 1= 2 1+ BCD=90，2+
10、 3= 90 BCD= 3又 A= A ADE ABC,12. 已知在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的 中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.,分析：因ABCABD，所以， 要证 即证 ，需证BDFDAF.,证明： BAC=90ADBC ABC+C= 90ABC+BAD= 90 BAD= C ADC= 90E是AC的中点， ED=EC EDC= C EDC = BDF, BDF= C= BAD 又 F =F BDFDAF. BAC=90， ADBC ABCABD ,1.已知：如图，ABC中，P是AB边上的一点，连结CP满足什么条件时 ACPABC,解:A=
11、 A，当1= ACB （或2= B）时， ACPABC A= A，当AC:APAB:AC时， ACPABC A= A， 当4ACB180时， ACPABC,答：当1= ACB 或2= B 或AC:APAB:AC或4ACB180时, ACPABC.,1、条件探索型,三、探索题,2.如图：已知ABCCDB90，ACa，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，两三角形相似,这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件 解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论成立的条件,1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全
12、等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来.,C,2、结论探索型,2.在ABC中，ABAC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.,E,E,E,E,这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论 解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明.,3、存在探索型,如图, DE是ABC的中位线，在射线AF上是否存在点M，使MEC与ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.,证明：连结MC， DE是ABC的中位线， DEBC，AEEC， 又MEAC, AMCM， 1= 2 ， B=90， 4 B= 90， AF BC，AM DE, 1= 2 ， 3= 2 , ADE MEC=90 ， ADE MEC,1,2,3,M,解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即M点(或作MCA= AED).,4,所谓存在性问题，一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题 解题思路是：先假定所需探索的对象存在或结论成立，以此为依据进行计算或推理，若由此推出矛盾，则假定是错误的，从而给出否定的结论，否则给出肯定的证明,
