1、笛卡尔坐标系下三维非稳态导热微分方程为：(a 式 )()()( ztytxttc如何得到圆柱坐标下的方程？有 2 种方法，一是按照类似笛卡尔坐标的方法，通过能量守恒及傅里叶定律得到（我还没推出来） ；二是由笛卡尔坐标变换得到，ppt 中为第二种方法。以下给出变换过程：转换的目的是用 消去 xyz。rz涉及多元复合函数求导，可参见同济版微积分(下) 第 80 页例题 9。（ b 式） （ c 式）怎么理解这个公式？ 表示某个式子对变量 x 求偏导，例如 表示函数x xzyt),(对变量 x 求偏导，不要被这种写法吓到。直角坐标时，xyz 是基本未知量；圆柱),(zyxt坐标时， 是基本未知量。它
2、们是一一对应的，彼此可以互相表示对方。 （b 式）就是r用 表示 x（当然，z 跟 x 是不存在函数关系的，即 ，ppt 上这么写只是为了形0xz式上的对应。 ）这个公式是怎么来的？涉及多元复合函数求导法则，见同济版微积分(下) 第 77 页“情形 2”，用一个简图来理解：假设有一个温度场函数 ，温度 t 是 xyz 的函数，把 ),(zyt r看成中间变量， ，z2yxrxarcntzrxryx ryyz 0xtrtxzttxrt 类似地，就有 ytrtyzttyrt （圆柱坐标下 z 跟直接坐标完全没有变化）zt理解了 b 式子以后，我们发现这个式子中仍然含有 x y，要进一步运算消掉 x
3、 y：， ， ，cosrxsinry2yxarctn求导得（如果忘了怎么求看微积分(上) ） osc)22ryxx rryxx sini)(arctn22上面两项代入 b 式，得（d）rxzxr sico类似地，sini)(22 ryxyxrryxycos)(arctn22上面两项代入 c 式，得（e）ryzyr cssin（d） （e）式实现了用 取代 x y 的目的。r 将(d)式代入(a 式)中的 项，得：)(xt)(sin)(cosin )(cosin)(sin)(sincoic i(icoi)i(os)s(cos )snc)in)22 22 trtr rtrtrtrrtt tttrt
4、r trxt第 2 个等号是乘进去得到的。第 3 个等号用到了“乘积的求导” ，看清楚对谁求导谁是变量。 将(e)式代入(a 式)中的 项，得：)(yt)(cos)(sinco )(sinco)(cos)(cosinsi (in)(in)i(si )cossi)cos) 222 trtr rtrtrtr tttrrtr tryt于是， （a）式中的（把、中的结果代进来，)(1)()()( 2 trtrtytxt对应项消去或相加，即可得到该结果）进一步处理，逆运用“乘积的求导” ，可得： )(1)(1)()( 2 trtrytxt于是有：由直接坐标转换为圆柱坐标没多大意思，运算而已，我认为理解好直接坐标下的推导就可以了。
