1、初等数论第一次作业解答：一、单项选择题1、 （C ）.),0(bA B C D 0b2、如果 ， ，则(D ).abA B C D bbaba3、如果 ，则 =（C ）.1),(),(A B C D a4、小于 30 的素数的个数（A ）.A 10 B 9 C 8 D 75、大于 10 且小于 30 的素数有（ C ）.A 4 个 B 5 个 C 6 个 D 7 个6、如果 ， ，则 15（A ） .n3nA 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定7、在整数中正素数的个数（C ）.A 有 1 个 B 有限多 C 无限多 D 不一定二、计算题1、 求 24871 与 3468 的最大公因数?解：
2、 24871=3468 7+5953468=595 5+493595=493 1+102493=102 4+85102=85 1+1785=17 5,所以,(24871,3468)=17.2、 求24871,3468=?解：因为（24871,3468）=17 所以24871,3468= 1734682=5073684 所以 24871 与 3468 的最小公倍数是 5073684。3、求136,221,391=?;三、证明题1、如果 是两个整数, ,则存在唯一的整数对 ,使得 ,其中 .ba0brqrbqabr0证明 ：首先证明唯一性.设 , 是满足条件的另外整数对,即qr, .rba0所以
3、,即 , .又由于 ,rbq rqbr0,所以 .如果 ,则等式 不可能成立.r0q因此 , . r其次证明存在性.我们考虑整数的有序列, ,32,0,3bb则整数 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数 使a q.aq1我们设 ,则有 , . qbrrab02、证明对于任意整数 ,数 是整数. n6233n证明： 因为 = = , 32)(2)2(1n而且两个连续整数的乘积是 2 的倍数,3 个连续整数的乘积是 3 的倍数, 并且(2,3)=1, 所以从 和 有 ,)(12n)(1n)2(16n即 是整数. 633n3、任意一个 位数 与其按逆字码排列得到的数 的差必是 9 的12an
4、na121倍数.证明： 因为 , 12an 122100aann = , n1 nn012所以, - =12n1).10()10(323nnnaa而上面等式右边的每一项均是 9 的倍数, 于是所证明的结论成立. 4、证明相邻两个偶数的乘积是 8 的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为 )2(,n所以 = )2(n)1(4而且两个连续整数的乘积是 2 的倍数 即 是 8 的倍数. )1(4初等数论第二次作业解答：一、单项选择题1、如果( A ), 则不定方程 有解.cbyaxA B C D cba),),( ab),(2、不定方程 （A ）.210352yxA 有解 B 无解 C 有正数解 D 有
5、负数解 二、求解不定方程1、 .1429yx解：因为（9，21）=3， ，所以有解； 143化简得 ； 873yx考虑 ，有 ， 11,2yx所以原方程的特解为 ， 48,96因此，所求的解是 。 Ztytx,3,72、 .1876yx解：因为 ,所以有解; ),(考虑 , ; yx13yx所以 是特解, 854即原方程的解是tytx618,7543、 .210yx解：因为（107，37）=1 ，所以有解； 5考虑 ，13710yx有 ， 26,9所以，原方程特解为 =225， =-650， 259x256y所以通解为 tyt1076,3724.求不定方程 的整数解.415zx解 我们将它分为
6、两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为25(-t)+13(2t)= t, 32+7 (-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为, .1253ktyx247kzt消去 t 就得到所求的解,22146kzyx这里 是任意整数.21,k5.求不定方程 的整数解.8594zyx解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因为4(-2t)-9(-t)= t, 48+5 (-8)=8,所以,上面两个方程的解分别为, .1492ktyx285kzt消去 t 就得到所求的解,221854096
7、kzyx这里 是任意整数.21,k初等数论第三次作业解答：一、选择题1、整数 5874192 能被( B )整除 .A 3 B 3 与 9 C 9 D 3 或 92、整数 637693 能被(C )整除 .A 3 B 5 C 7 D 93、模 5 的最小非负完全剩余系是( D ).A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,44、如果 , 是任意整数,则（A ）)(modbacA B C D cbac)(modbba二、解同余式（组）（1） .)132(5x解 因为(45,132)=321,所以同余式有 3 个解. 将同余式化简为等
8、价的同余方程 . )4(mod715x我们再解不定方程, 7415yx得到一解(21,7). 于是定理 4.1 中的 . 210x因此同余式的 3 个解为, )(mod21x, )132(mod652. 09)(3x（2） )45(od01解 因为(12,45)=315,所以同余式有解,而且解的个数为 3. 又同余式等价于 ,即 . )15(mod04xyx154我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理 4.1 中的 . 0因此同余式的 3 个解为, )45(od1x,)45(mod20.0)(32x三、证明题1、 如果整数 的个位数是 5,则该数是 5 的倍数.a证明
9、设 是一正整数,并将 写成 10 进位数的形式:a= , . 1010nna 1i因为 10 0(mod5), 所以我们得到)5(mod0a所以整数 的个位数是 5,则该数是 5 的倍数. a2、证明当 是奇数时，有 .n)12(3n证明 因为 ,所以(od1. )3(mod1)nn于是,当 是奇数时,我们可以令 .n2k从而有 , 3(od0)(212k即 . (3初等数论第四次作业解答：一、计算：（1） .)321(mod75x解 因为(111,321)=375,所以同余式有 3 个解. 将同余式化简为等价的同余方程 . )107(od57x我们再解不定方程, 251073yx得到一解(-
10、8,3). 于是定理 4.1 中的 . 80x因此同余式的 3 个解为, )21(mod8x, )321(mod9. 06)(3x（2） .)9(od871x解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理 5.1.我们先解同余式, , ,)7(mod12x)8(od163x)9(mod156x得到 .于是所求的解为948),7(od41 x).(od4)9(50 )(563（5） .)9(mod7321x(参考上题)二、证明题：1、 证明形如 的整数不能写成两个平方数的和.14n证明 设 是正数,并且 , )4(od1如果 , 2yx则因为对于模 4, 只与 0,1,2,-1 等同余, ,所以
11、只能与 0,1 同余, 2,yx所以, )4(mod2,102yx而这与 的假设不符, )4(mod1n即定理的结论成立. 2、 素数写成两个平方数和的方法是唯一的.证明 设 ,则22dcbap)(2= 22bcac= .)()(d),()()( 22 cabpcdbac又所以 .pap或如果 ,那么 ,将其代入前面 的表达式,则有)(ckdc2p.22)(bcadp所以 ,即 .于是 ,即必有 ,0)(bcadrbca, )(22drca.如果 ,那么 ,我们将其代入前面 的表达式后与上面的方法一致,可)(pkpd2p以得到 .于是 ,即必有 ,所以 .rcba, 22)1()(crbrcbda
